专题18 阿氏圆小题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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A．4B．C．D．
【解答】解：在上截取，连接，，，
点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
的最小值，
故选：．
2．如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
【解答】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．
，，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
的最大值为．
3．如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为 5 ．
【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，，．
四边形是正方形，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为5，
故答案为：5．
4．如图，扇形中，，，是的中点，是上一点，，是上一动点，则的最小值为 ．
【解答】解：如图，延长使，连接，，，
，分别是的中点，
，，，
，且
，
，
，
当点，点，点三点共线时，的值最小，
，
，
的最小值为13，
的值最小值为．
故答案为：．
5．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
【解答】解：如图，取点，连接，．
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
6．如图，在中，点、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【解答】解：延长到，使得，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，，，，
，
，
的最小值为，
答案为．
7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆，为圆上一动点，则的最小值为 ．
【解答】
解：设半径为，
，，
取的中点，连接，
，
，
，
，
是公共角，
，
，
，
，
当、、在一条直线上时，最小，
作于，
，
，
，
，
最小值，
，
的最小值是．
故答案是．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 ．
【解答】解：在上截取，连接，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
在中，，，
，
的最小值，
故答案为：．
9．如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，．
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
故答案为．
10．如图，在中，，，则的最大值为 ．
【解答】解：，
求的最大值就是求的最大值，
过作于，延长到，使得，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，
为定值，
是定值，
点在的外接圆上，
，
当为直径时，最大，即，
，
解得，
，
，
故答案为：．
11．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为 ．
【解答】解：如图，在轴上取点，连接，
点，点，点，
，，，
，，
，
，
，
，
当点在上时，有最小值为的长，
，
故答案为：．
12．【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为 ．
【解答】解：以为顶点，为边，在外部作，与的延长线交于点，
，，，
，
，
，，
，
，解得：，
，，即点为定点，
点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆上，如图，过点作的垂线，交圆与点，此时点到的距离最大，即的面积最大，
．
故答案为：．
13．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
【解答】
解：作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
如图1，
连接，，
可得：四边形是正方形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
如图2，
由上知：，，
，
，
，
．
三．解答题（共2小题）
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点在上，且点也在格点上．
的值为 ；
（Ⅱ）是以点为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为连接，，当的值最小时，请用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【解答】解：（1）由题意，，
，
故答案为：．
（2）如图，取格点，，连接交于，连接交于，连接，点即为所求．
故答案为：通过取格点、，使得，构造相似三角形将转化为，利用两点之间线段最短即可解决问题．
15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别有点，，点是平面内一动点，且，设，求的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）
解：在上取点，使得，
又，．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在中，，，，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值．
【解答】解（1）在上取点，使得，
又，
．
，
，
，当取最小值时，有最小值，即，，三点共线时有最小值，
利用勾股定理得．
（2），，在上取一点，使得，
的最小值为．