人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理第二课时 勾股定理的逆定理的应用（课件）

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勾股定理的逆定理的应用R·八年级数学下册命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2．命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形．复习回顾 例 2　如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q、R 处，且相距 30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思考】1.已知哪些条件？ 2.需要解决的问题是什么？速度已知时间已知距离已知其中一艘船的航向已知求另一艘船的航向【分析】通过已知条件可以求出：PQPRQR∠1利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角从而确定∠2的度数解：根据题意，PQ = 16×1.5 = 24，PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.因为 242 + 182 = 302，即PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°.∠1 = 45°.因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20，BC = 15，CD = 7，AD = 24，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积.转化思想练习1. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段 组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形.∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.【选自教材 P33】2. 说出下列命题的逆命题. 这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立.其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立.如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3.【选自教材 P33】 （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平 分线上.其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立.其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立.3. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地 的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？解：由图知：△ABC 中，AB = 12，BC = 5，AC = 13.∵ AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，∴AB2 + BC2 = AC2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形，且∠B = 90°.∵A 地在 B 地的正东方向，∴C 地在 B 地的正北方向.【选自教材 P33】复习巩固1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a = 7，b = 24，c = 25；∵ a2 + b2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625，c2 = 252 = 625，∴ a2 + b2 = c2.由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.【选自教材 P34】习题17.2（2）a = ，b = 4，c = 5；（3）a = ，b = 1，c = ；（4）a = 40，b = 50，c = 60；∵ a2 + b2 = 402 + 502 = 1600 + 2500 = 4100，c2 = 602 = 3600，∴ a2 + b2 ≠ c2.∴这个三角形不是直角三角形.2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行；其逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”；这个命题成立.（2）如果两个角是直角，那么它们相等；其逆命题为“如果两个角相等，那么它们都是直角”；这个命题不成立.【选自教材 P34】（3）全等三角形的对应边相等；其逆命题为“如果两个三角形的三组边对应相等，那么这两个三角形全等”；这个命题成立.（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.其逆命题为“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立.3. 小明向东走 80 m 后， 沿另一方向又走了 60 m，再沿第三个方向走 100 m 回到原地. 小明向东走 80 m 后是向哪个方向走的？解：小明的行走路线恰好构成三角形.∵ 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 = 1002，∴ 这个三角形是直角三角形.∵小明向东走 80 m，∴小明又向北或南走 60 m.【选自教材 P34】综合运用4. 在△ABC 中，AB =13，BC = 10，BC 边上的中线 AD =12. 求 AC.【选自教材 P34】5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12， AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积.【选自教材 P34】6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF = CD. 求证∠AEF = 90°. 证明：设 CF = x，则 EC = BE = 2x，DF = 3x，AD = AB = 4x. 由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2，AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2，∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°.【选自教材 P34】拓广探索7. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果 a，b， c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）也是 一组勾股数吗？【选自教材 P34】解：3k，4k，5k 也是一组勾股数.∵ (3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，∴(3k)2 + (4k)2 = (5k)2.如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck也是一组勾股数.∵a，b，c 是勾股数，则 a2 + b2 = c2，(ak)2 + (bk)2 = a2k2 + b2k2 = (a2 + b2)k2 = c2k2，(ck)2 = c2k2，故(ak)2 + (bk)2 = (ck)2，∴ak，bk，ck 也是一组勾股数.勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形判断航行方向计算不规则四边形面积课堂小结