山东省日照市2023-2024学年高一上学期期末校际联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省日照市2023-2024学年高一上学期期末校际联合考试数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了02， 集合，，则， 若命题， 函数的零点所在的区间为， “”是“”的， 若，则，，的大小关系为等内容，欢迎下载使用。

数学试题
2024.02
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若命题：“，”，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 若命题“，”是真命题，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 若，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ）
A. B.
C. 事件与不互斥D. 事件与相互独立
12. 对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C ，若，则
D. ，使成立
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，，…，的平均数是10，则，，，的平均数是______．
14. 已知函数，若，则实数的值为______．
15. 如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为______．
16. 设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则正实数的取值范围为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
18. 已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围．
19. 1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求实数值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
（2）若一试成绩在100分及以上试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
20. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
21. 2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地20000多名跑友相聚日照最美赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：
（1）给出以下三种函数模型：①，②，③，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（2）求该商品的日销售总收入（单位：元）的最小值（注：日销售总收入＝日销售价格×日销售量）．
22. 已知函数，．
（1）若，求最小值；
（2）令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围．（天）
5
10
15
20
25
30
（个）
205
210
215
220
215
210
参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
2023级高一上学期期末校际联合考试
数学试题
2024.02
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接由交集的概念即可求解.
【详解】由题意集合，，则.
故选：B.
2. 若命题：“，”，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
若命题：“，”，则为“，”，
故选：C.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.
【详解】函数在R上单调递增，而，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：A
4. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题为真命题可得，即可求得实数m的取值范围.
【详解】由“，”是真命题可知，
不等式，恒成立，因此只需，，
易知函数在上的最小值为1，所以.
即实数m的取值范围是.
故选：C.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】对化简，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】不等式可化为，即，即，解得，
因为“”不能推出“”，“”能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
6. 若，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果.
【详解】因为，而当时，，当时，，
所以，
因为，而当时，，所以，
因为，而当时，，所以，
由，得，，
所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示，
由图可得
综上，
故选：A
7. 中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对立事件的概率结合独立事件概率乘法求解.
【详解】设试验任务不成功的的概率是，
所以成功的概率为，
故选：D.
8. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的图象，利用换元，令，将原问题转化为的所有解的乘积为1，结合函数图象，分类讨论，即可求得答案.
【详解】由题意，作出函数的图象如图：
令，则函数，即，即，
即，由题意函数所有零点的乘积为1，
可知的所有解的乘积为1，
而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标；
结合的图象可知，
当时，函数的图象与直线有2个交点，
不妨设交点横坐标为，则，
且，即，符合题意；
当时，函数的图象与直线有3个交点，
其中最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意；
当时，函数的图象与直线有2个交点，
不妨设交点横坐标为，则，
且，即，符合题意；
综合以上可知实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1；
（2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论，解决问题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性直接判断即可.
【详解】对于A，，既是奇函数，又是增函数，符合题意；
对于B，，为增函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，定义域为，非奇非偶函数，是增函数，不符合题意；
对于D，，为幂函数，既是奇函数，又是增函数，符合题意；
故选：AD
10. 若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AD，举例判断，对于B，利用不等式的性质分析判断，对于C，利用作差法分析判断
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，，，所以，，
所以，
所以，所以C正确，
对于D，若，则，所以D错误，
故选：BC
11. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ）
A. B.
C. 事件与不互斥D. 事件与相互独立
【答案】BCD
【解析】
【分析】先利用古典概率公式分别计算，，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项.
【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，有3个，
所以，故A错误；
事件发生包含的基本事件：，，，有4个，，
事件发生包含的基本事件：有个，，故B正确；
事件发生包含的基本事件：，有2个，故事件与不互斥，故C正确；
事件发生包含的基本事件：有个，，
因为，所以与相互独立，故选项D正确；
故选：BCD.
12. 对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，若，则
D ，使成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，设，则
，故B正确；
对于C，设，则，，则，所以，故C正确；
对于D，时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
由，
可得时，成立，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，，…，的平均数是10，则，，，的平均数是______．
【答案】21
【解析】
【分析】根据平均数的性质求解即可
【详解】因为，，…，的平均数是10，所以，
所以数据的平均数，
故答案为：21.
14. 已知函数，若，则实数的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据分段函数的定义，分别在和范围内求出使时实数的值即可.
【详解】当时，，解得（舍）；
当时，，解得或（舍），
所以实数的值为3，
故答案为：3.
15. 如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用平行四边形以及平行关系，得到E和B点的坐标，再利用四边形周长，求出a即可.
【详解】设，，由题意，轴，
从而，而OABC是平行四边形，从而，
故，又E为AC中点，从而有，
而EBO三点共线，即，即
解得，即，所以，，
从而，，
从而四边形周长，故
故答案为：.
16. 设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则正实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先画出函数的图象，由图象分析，可知，即可计算的值；因为，可知，首先求出的的实数根，根据图象判断，列式求的取值范围.
【详解】函数的图如下：
的对称轴为，；当时，，
分类讨论如下：
①当时，，,
依题意，，而函数在时是增函数，
此时，，故不可能；
②当时，，
依题意，，即，
令，解得：，
则有：并且，解得：；
或者并且，无解；
综上：
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，以及数形结合分析问题的能力，本题的关键是根据图象，判断，并结合条件判断，再根据数形结合列式，即可解决.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）解不等式得到，再根据并集概念求出答案；
（2）根据题意得到是的子集，从而得到不等关系，求出答案.
【小问1详解】
不等式的解集是，所以．
当时，，故；
【小问2详解】
因为“”是“”的充分条件，所以是的子集，
故，解得，即
18. 已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据函数为幂函数且为偶函数得且为偶数，从而可求出，进而可求出的解析式；
（2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意，解得或3，
若是偶函数，代入检验可得，故；
【小问2详解】
，对称轴是，
若在上是单调函数，则或，解得或．
所以实数的取值范围为或．
19. 1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
（2）若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
【答案】19. ，70%分位数为91；
20. .
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1，即可求得m的值；根据由频率分布直方图估计百分位数的方法即可求得这50名学生一试成绩的70%分位数；
（2）根据直方图确定和内的人数，由分层抽样原则可得各组抽取人数，列举出所有的可能的事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【小问1详解】
由上表可知，，解得，
设这50名学生一试成绩的70%分位数为，
由于前三个矩形面积，前四个矩形面积，
故得，，解得，
即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91．
【小问2详解】
由图知，成绩在有人，成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有，，，，，，，，，
，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本，
所以符合条件的概率为，
即，两位同学的试卷都被抽到的概率为．
20. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集；
（2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案.
【小问1详解】
，令，
则原不等式可化为，解得，即
所以，不等式的解集．
【小问2详解】
当时，令，可得，
原不等式可化为对于能成立，
即可得对于能成立，
由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，
因此只需即可，得；
即的取值范围是．
21. 2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地20000多名跑友相聚日照最美赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：
（1）给出以下三种函数模型：①，②，③，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（2）求该商品的日销售总收入（单位：元）的最小值（注：日销售总收入＝日销售价格×日销售量）．
【答案】（1）选择合适，
（2）427元
【解析】
【分析】（1）根据数据的对称性选择模型②，再代入数据可求出函数解析式；
（2）根据题意表示出，再根据函数的单调性和基本不等式，分段计算函数的最小值，再比较即可得答案.
【小问1详解】
根据表格数据，的函数值关于220对称，故选择合适．
又，，
解得，，
故，验证均满足．
故
【小问2详解】
当，时，，
当且仅当，即时等号成立；
因为和在上单调递减，
所以当，时，在上单调递减，
故最小值为．
综上所述：当时，有最小值为427元．
22. 已知函数，．
（1）若，求的最小值；
（2）令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用换元法，将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解；
（2）利用换元法，将问题转化为二次函数的性质问题，从而得解.
【小问1详解】
因为，，
则由得，所以定义域为，
而，
设，则在上单调递增，故，
则，开口向上，对称轴为，
所以当时，．
【小问2详解】
，，
则，
设，，，
令，则开口向上，
原问题转化为对于任意，，都有，
所以在上单调递增，
①当时，即，在上单调递增，
同时满足，解得，
此时，故，满足题意，所以；
②当时，即，在上单调递减，
应满足，解得，
此时，故，满足题意，所以；
③当时，不单调，不成立，舍去．
综上，的取值范围为或．
【点睛】关键点点睛：本题第二问，构造函数，采用换元法，构造成二次函数，结合二次函数图象分析.（天）
5
10
15
20
25
30
（个）
205
210
215
220
215
210