河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题

这是一份河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题，共16页。

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
2．设，，，则（ ）．
A．B．C．D．
3．已知直三棱柱，，，点为棱的中点，则四棱雉外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
5．已知直线与圆相交于两点，点为圆上一动点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，，则（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．随的增大而增大D．随的增大而减小
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9．对于任意实数，表示为不超过的极大整数，如，，（ ）
A．若时，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．已知函数，则（ ）
A．图象的一条对称轴方程为
B．图象的一个对称中心为
C．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象
D．将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．矩形的面积为D．双曲线的渐近线方程为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数在上的最大值为，若函数有个零点，则实数的取值范围为 ．
13．某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ．
14．已知直线与圆相交于两点，且，则 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在中，角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)若为钝角三角形，且，求的取值范围.
16．（15分）如图，在三棱锥中，，，.
(1)求证：；
(2)求二面角平面角的余弦值.
17．（15分）杭州第届亚运会，是继年北京亚运会、年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为人）.
(1)已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
(2)当取到最大值时，求的值.
18．（17分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
19．（17分）某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．
(1)求X，Y的分布列；
(2)求；
(3)若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．）
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【答案】A
【解析】设，则，
令，所以函数在上单调递增.
当时，则，即，充分性成立；
当时，有，得，
所以不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．【答案】A
【解析】，，又，，，
，即，又，，，所以.
3．【答案】B
【解析】如图，连接，因为为直三棱柱，且点为棱的中点，
则由对称性可知四棱锥为正四棱锥，连接，交于点，连接，
则面，又，易知，
在中，，，
所以，则可得，
即是四棱锥外接球的球心，所以外接球的表面积为，
故选：B.
4．【答案】C
【解析】令且，，要使最大有，
如下图示，在中，
所以
，
当且仅当时，
所以的最大值为.故选：C
5．【答案】A
【解析】圆心到直线的距离为，
所以，
直线与圆相交于两点，
设到直线的距离为，
面积的最大值即为的最大值，即
面积为.
故选：A.
6．【答案】A
【解析】取的中点，连接，，，
正方体，平面，
平面，，
是的中点，，且，
四边形是矩形，
且，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
，平面，平面，
平面平面，
即平面为过点且平行于平面的平面截正方体所得平面，
，，，
.
故选A.
7．【答案】D
【解析】设，则，
对任意，，对任意，，在上单调递减，
，，由，得，的解集为.
8．【答案】D
【解析】由，，
则，
因为，所以，则，
令，则，
所以在单调递减，所以，则，
所以在单调递减，即随的增大而减小，且无最值.
故选：D
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9．【答案】ABD
【解析】由题意，对于任意实数，表示为不超过的极大整数，
设，其中分别是的整数部分，分别是的小数部分，A项，，故，则，故A正确；B项，，，
，
∴，B正确；
C项，，，，
∴，故C错误；
D项，，
∴，故D正确；
故选：ABD.
10．【答案】CD
【解析】，
令，，则，，故A错误；
令，则，所以图象的对称中心为，故B错误；
将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线的图象，再向下平移2个单位长度得到曲线的图象，故C正确；
将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线方程为，其为偶函数，故D正确.
故选：CD
11．【答案】AB
【解析】如下图所示：设，所以，
由双曲线的定义可知，
因为四边形为矩形，所以，
因此，所以选项A正确；
由，所以选项B正确；
矩形的面积为，所以选项C不正确；
因为，
所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确，
故选：AB
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．【答案】
【解析】当时，为偶函数，此时；
当时，；
当时，，
所以，则，
由，得，
画出函数，的图象如下图所示，
若，则，
当抛物线过点时，，
当抛物线与直线斜切时，当时，消去得，
由判别式得，
要使，的图象有个交点，则需满足.
当时，要使，的图象有个交点，
则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
13．【答案】
【解析】设小明迟到为事件，小明自驾为事件，
则，，
所以在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为.
故答案为：.
14．【答案】
【解析】由题知，圆的圆心为，半径为2，，
如图，， 两边平方得，
所以，解得 故答案为:.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，得，
即，所以，
又，所以，又且，所以.
（2）由正弦定理，得，
所以，，
因为是钝角三角形，不妨设角为钝角，则，所以
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围是.
16．（15分）【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取的中点，连接，，
由，所以，
由，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）由（1）知平面，又平面，所以平面平面，
由，，所以，
又，所以为正三角形，
取，的中点，则，平面平面，
平面，，则，两两垂直，
以为原点，，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间坐标系；
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
所以即，
令，所以，，即；
设是平面的一个法向量，
所以即，
令，则，，即，
设二面角的平面角为，所以，
二面角平面角的余弦值为.
17．（15分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
，
整理可得，即，
又因为且，解得.
（2）解：“”表示第一次在个人中抽取个，
第二次抽取的个人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的个人在第一次抽取的人中，
，记，
由，
解得，又，所以时，取最大值.
18．（17分）【答案】(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【解析】（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
19．（17分）【答案】(1)，，
(2)
(3)选择方案二
【解析】（1）可取值，可取值，
当时，摸球次数为，没有抽中新皮肤的概率为，
故，，
．
（2）令，
则，故，
整理得到，
所以，
若玩家按方案一抽卡，花费元时抽到皮肤，则抽取次数为，
而，其中，.
则
，
因为玩家按方案一抽卡次数无限制，
且当时，，，
所以.
（3），即，
由（2）可得故；
若玩家按方案二抽卡，则可取值，
且，其中，
，
故，
因为，故选择方案二．