2023-2024学年江西省宜春市丰城中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市丰城中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x+ 3y−1=0的倾斜角为( )
A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6
2.已知M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=4，则动点P的轨迹是( )
A. 一条射线B. 双曲线C. 双曲线左支D. 双曲线右支
3.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4，则异面直线AB1与DA1所成角的余弦值为( )
A. 1625B. 45C. 925D. 35
4.某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为( )
A. 310B. 910C. 25D. 35
5.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2+6x+8y+m=0相内切，则m=( )
A. 11B. −11C. 9D. −9
6.已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是( )
A. 1320B. 920C. 15D. 120
7.设X～N(μ1,σ12)，Y～N(μ2,σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C. 对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D. 对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
8.如图，小明从街道的E处出发，到F处的老年公寓参加志愿者活动，如果中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C1：4x2+3y2=48，C2：x2−y23=1，则( )
A. C1的长轴长为4B. C2的渐近线方程为y=± 3x
C. C1与C2的焦点坐标相同D. C1与C2的离心率互为倒数
10.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5(PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3)的日均值，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则( )
A. 前4天的极差大于后4天的极差B. 这组数据的众数为33
C. 这组数据的中位数为31或33D. 这组数据的第60百分位数与众数相同
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP=CM=CN，则下列说法正确的是( )
A. A1C⊥平面α
B. 存在点P，使得AC1/​/平面α
C. 存在点P，使得点A1到平面α的距离为53
D. 用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
12.已知点P为双曲线C：x24−y2=1上的任意一点，过点P作渐近线的垂线，垂足分别是E，F，则( )
A. PE+PF=4 55B. PE⋅PF=45
C. PE⋅PF=−1225D. S△PEF为825
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在二项式( x+2)6的展开式中，x2的系数是______．
14.从4位男同学，5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有______种.
15.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则P(B)=______．
16.四棱锥P−ABCD各顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AD=2，AB=2 2，设M，N分别是PD，CD的中点，则平面AMN截球O所得截面的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求直线x+2y−3=0被圆(x−2)2+(y+1)2=4截得的弦长．
(2)求过原点且与圆(x−1)2+(y−2)2=1相切的直线的方程．
18.(本小题12分)
已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有A，B，C三位毕业生应聘该单位，假设A，B，C三位毕业生笔试合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．
(1)求A，B两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
(2)记随机变量X为A，B，C三位毕业生中通过招聘的人数，求X的分布列与数学期望．
19.(本小题12分)
某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n=1.7m−0.5，投资新型项目B的投资额x(单位：十万元)与纯利润y(单位：万元)的散点图如图所示．
附：回归直线y​=b​x+a​的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−．
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若该企业有一笔资金Q(万元)用于投资A，B两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资方案？
20.(本小题12分)
已知直线x−y−2=0经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．
21.(本小题12分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面是等边三角形，AB=AA1=6，∠ABB1=60°，D，E，F分别为BB1，CC1，BC的中点．
(1)在线段AA1上找一点G，使FG//平面A1DE，并说明理由；
(2)若平面AA1B1B⊥平面ABC，求平面A1DE与平面ABC所成二面角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,1)，离心率为 22，
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别交椭圆C于A，B，
①证明：直线AB过定点；
②求点P到直线AB距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵直线x+ 3y−1=0的斜率等于− 33，设直线x+ 3y−1=0的倾斜角为θ，
则tanθ=− 33，0≤θ<π，解得θ=5π6，
故选D．
由直线的方程可得斜率等于− 33，设直线的倾斜角为θ，则tanθ=− 33，0≤θ<π，由此解得θ的值．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
用排除法做：如果是双曲线，那么a=2，c=2，与在双曲线中c>a矛盾，所以把三个关于双曲线的答案全部排除
【解答】
解：如果是双曲线，那么|PM|−|PN|=4=2a，
a=2，
而两个定点M(−2,0)，N(2,0)为双曲线的焦点，
c=2，
而在双曲线中c>a，
所以把后三个关于双曲线的答案全部排除．
故选A．
3.【答案】A
【解析】解：连接B1C，则B1C/​/A1D，
∴∠AB1C就是异面直线AB1与A1D所成的角
∵AB=BC=3，AA1=4，则在△AB1C中，AC=3 2，B1A=5，B1C=5，
∴cs∠AB1C=52+52−(3 2)22×5×5=1625，
∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为1625．
故选：A．
由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接B1C，再证明∠AB1C就是异面直线AB1与A1D所成的角，最后在△AB1C中计算此角的余弦值即可．
本题考查异面直线所成的角的定义和求法，先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想，属中档题．
4.【答案】B
【解析】解：先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有C52种分配方法，
再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有C52A44=240种分配方法，
其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有A44=24种，
∴甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为：
P=1−24240=910．
故选：B．
由排列与组合的相关计算公式能求出甲、乙2人被分配到不同的社区的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：圆C1：x2+y2=1的圆心C1(0,0)，半径r1=1，
圆C2：(x+3)2+(y+4)2=25−m的圆心C2(−3,−4)，半径r2= 25−m(m<25)，
显然点C2(−3,−4)在圆C1外，由圆C1与圆C2相内切，
得|C1C2|=r2−r1，于是 25−m−1=5，
解得m=−11．
故选：B．
求出两个圆的圆心坐标及半径，利用两圆内切列式求解即得．
本题考查两圆内切的充要条件的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，
则P(A)=C32×(23)2×(1−23)+(23)3=2027，P(AB)=13×(23)2=427，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=4272027=15．
故选：C．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．
直接利用正态分布曲线的特征，结合概率，直接判断即可．
【解答】
解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1<μ2，从图中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t)．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，中途共三次转向可以分为两类，由此分2种情况讨论：
①，右上右(即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转)，此时有3×4=12种方法，
②，上右上，此时共有4×3=12种方法．
则共有12+12=24种最短路径．
故选：D．
根据题意，按路线的不同分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：曲线C1：4x2+3y2=48整理得x212+y216=1，
则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中a12=16,b12=12，
所以c12=a12−b12=4，离心率为e1=c1a1=24=12，
故曲线C1的长轴长2a1=8，故A错误；
曲线C2：x2−y23=1是焦点在x轴上的双曲线，其中a22=1,b22=3，
所以c22=a22+b22=4，离心率为e2=c2a2=21=2，故与曲线C1的焦点位置不同，故C错误；
C2：x2−y23=1的渐近线方程为y=± 3x，故B正确；
又e1⋅e2=12×2=1，
所以C1与C2的离心率互为倒数，故D正确．
故选：BD．
根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可．
本题主要考查椭圆与双曲线的性质，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，前4天的极差36−17=19，后4天的极差42−30=12，所以前4天的极差大于后4天的极差，故A正确；
对于B，数据33出现2次，出现的次数最多，所以众数为33，故B正确；
对于C，数据从小到大排列为17，23，26，30，31，33，33，36，42，106，所以这组数据的中位数为31+332=32，故C错误；
对于D，这组数据的第60百分位数10×0.6=6是第6个数和第7个数的平均数33+332=33与众数33相同，故D正确．
故选：ABD．
利用极差、众数、中位数和百分位数的定义求解．
本题主要考查了极差、众数、中位数和百分位数的定义，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：连接AD1，D1P，AM.DB．
易得AD1//PM，CC1//PM，C1D//PN，DB//MN．
对于A，可得正方体中A1C⊥面DBC1，即可得A1C⊥平面α，故A正确．
对于B，可得面C1DB//面PMN，故AC ​1不可能平行面PMN.故错．
对于C，∵A1C⊥平面α，且A1C= 3>53，所以存在点P，使得点A1到平面α的距离为53，故正确．
对于D，用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形PMAD1，PM≠AD1，四边形PMAD1一定是梯形，故正确．
故选：ACD．
连接AD1，D1P，AM.DB.易得AD1//PM，CC1//PM，C1D//PN，DB//MN.再结合正方体的性质即可判断．
本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题
12.【答案】BCD
【解析】解：设P(m,n)，则m2−4n2=4，
双曲线C：x24−y2=1的渐近线方程为x−2y=0和x+2y=0，
则|PE|=|m−2n| 5，|PF|=|m+2n| 5，|PE|+|PF|不为常数，
|PE|⋅|PF|=|m2−4n2|5=45，故A错误，B正确；
由四边形OEPF的对角互补，可得cs∠EPF=−cs∠EOF，
由渐近线的斜率分别为±12，可得两渐近线的夹角的正切值为12+121−14=43，
则cs∠EOF=35，
PE⋅PF=|PE|⋅|PF|⋅cs∠EPF=45×(−35)=−1225，故C正确；
S△PEF=12|PE|⋅|PF|⋅sin∠EPF=12×45× 1−925=825，故D正确．
故选：BCD．
设P(m,n)，利用点到直线的距离公式可判断AB；利用向量的数量积计算可判断C；求得S△PEF可判断D．
本题主要考查双曲线的性质，点到直线的距离公式，向量的数量积，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】60
【解析】解：( x+2)6的展开式的通项为Tr+1=C6r( x)6−r2r=2rC6rx3−12r
令3−r2=2得r=2
故展开式中x2项的系数是T3=−22C62=60
故答案为：60
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具，属于中档题．
14.【答案】70
【解析】解：从4位男同学，5位女同学中选出3位同学，全是男生的选法有C43=4种，全是女生的选法有C53=10种，
所以男女生都要有的选法有C93−4−10=70种．
故答案为：70．
先计算出全是男生和全是女生的选法，再利用间接法求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15.【答案】922
【解析】解：根据题意，A1事件发生且B事件发生的概率为12×511=522，
A2事件发生且B事件发生的概率为15×411=455，
A3事件发生且B事件发生的概率为310×411=655，
故P(B)=522+455+655=922．
故答案为：922．
分析事件B所有的可能性，结合已知条件，计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】3π
【解析】【分析】
本题主要考查了棱锥的体积公式，考查了球的结构特征，及空间几何体的截面问题，属于中档题．
先求出球O的直径，再利用等体积法求出点D到平面AMN的距离，进而求出截面圆的半径，即可求解．
【解答】
解：由题设知球心O为PC中点，
所以球O的直径2R= 22+22+(2 2)2=4，
所以R=2，
所以球O的体积V=43πR3=323π，
设球心O到平面AMN的距离为d，截面圆的半径为r，
由题意可知，球心O到平面AMN的距离等于点D到平面AMN的距离，
在三棱锥D−AMN中，由等体积法得VD−AMN=VN−AMD，
即13S△AMN⋅d=13S△AMD⋅ND，
所以13×12× 2×2×d=13×12× 2× 2× 2，
解得d=1，
所以r2=R2−d2=4−1=3，
所以截面面积为πr2=3π．
故答案为：3π．
17.【答案】解：(1)易知圆(x−2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,−1)，半径r=2，
则圆心到直线x+2y−3=0的距离为d=|−3| 5，则弦长l=2 r2−d2=2 555；
(2)易知y轴与圆(x−1)2+(y−2)2=1相切，即x=0符合题意，
当切线斜率存在时可设切线方程为y=kx，
易知(x−1)2+(y−2)2=1的圆心为(1,2)，半径r=1，
则圆心到直线y=kx的距离为d=|k−2| k2+1=r=1⇒k=34，即y=34x符合题意，
综上过原点与圆(x−1)2+(y−2)2=1相切的直线为x=0或y=34x．
【解析】(1)利用弦长公式计算即可；
(2)利用直线与圆的位置关系计算即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)记“A，B两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件M．
A通过招聘的概率为13×12=16，B通过招聘的概率为12×13=16，
∴P(M)=16×56+56×16=518．
即A，B两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为518．
(2)随机变量X可能的取值为0，1，2，3．
C通过招聘的概率为14×23=16，
由(1)得A，B两位毕业生通过招聘的概率均为16．
∴A，B，C三位毕业生通过招聘的人数X～B(3,16)．
则P(X=3)=C33(16)3=1216，
P(X=2)=C32(56)1⋅(16)2=15216，
P(X=1)=C31(56)2⋅(16)1=75216，
P(X=0)=C30(56)3=125216，
随机变量X的分布列为：
数学期望E(X)=3×16=12．
【解析】(1)由独立事件乘法公式，对立、互斥事件概率的关系即可得解．
(2)由题意可得X～B(3,16)，由二项分布的概率计算公式、期望公式即可得解．
本题考查离散型随机变量分布列以及数学期望等相关知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由散点图可知，x取1，2，3，4，5时，y的值分别为2，3，5，7，8，
所以x−=1+2+3+4+55=3，y−=2+3+5+7+85=5，
b =1×2+2×3+3×5+4×7+5×8−5×3×512+22+32+42+52−5×32=1.6．
则a =5−1.6×3=0.2．
故y关于x的线性回归方程为y =1.6x+0.2．
(2)因为投资新型项目A的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n=1.7m−0.5，
所以若投资A项目，则该企业所得纯利润为1.7×Q10−0.5=(0.17Q−0.5)万元；
因为y关于x的线性回归方程为y =1.6x+0.2，
所以若投资B项目，则该企业所得纯利润的估计值为1.6×Q10+0.2=(0.16Q+0.2)万元．
因为0.17Q−0.5−(0.16Q+0.2)=0.01Q−0.7，
所以当Q<70时，投资B项目；
当Q=70时，投资A或B项目；当Q>70时，投资A项目．
【解析】(1)由散点图得到x，y的数据，计算出x−，y−代入公式即可求解．
(2)分别求出投资A，B项目所得纯利润的估计值，用作差法即可得出答案．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)依题意，抛物线C的焦点F(p2,0)在直线x−y−2=0上，
则p2−2=0，解得p=4，
所以C的方程为y2=8x．
(2)由(1)知，抛物线C的准线方程为x=−2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为M(x0,y0)，
由x−y−2=0y2=8x，消去y得x2−12x+4=0，
则x1+x2=12，有x0=x1+x22=6，y0=x0−2=4，即M(6,4)，
因此线段AB的中垂线方程为y−4=−(x−6)，即y=−x+10，
令y=0，得x=10，设所求圆的圆心为E，则E(10,0)，
又AB过C的焦点F，
则有|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=16，
设所求圆的半径为r，则r2=(|AB|2)2+|ME|2=82+42+42=96，
故所求圆的方程为(x−10)2+y2=96．
【解析】(1)求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答．
(2)根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答．
本题考查抛物线与圆的标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：取DE中点M，AA1的中点G，
连接FM，FG，A1M，如图，
在三棱柱ABC−A1B1C1中，易得MF/​/A1G且MF=A1G，
所以四边形FMA1G为平行四边形，则MA1//FG，
又MA1⊂面A1DE，FG⊄面A1DE，所以FG//平面A1DE，
即存在AA1的中点G，使得FG//平面A1DE；
(2)解：由AB=AA1=6，可得△ABB1为正三角形，取AB得中点O，可得B1O⊥AB，
因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC=AB，
B1O⊂平面AA1B1B，所以B1O⊥平面ABC，
又△ABC为等边三角形，所以OA⊥OC，
故以O为坐标原点，OC，OA，OB1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A1(0,6,3 3)，D(0,−32,3 32)，E(3 3,32,3 33)，
A1D=(0,−152,−3 32)，A1E=(3 3,−92,−3 32)，
设平面A1DE的法向量为m=(x,y,z)，
则由m⋅A1D=−152y−3 32z=0m⋅A1E=3 3x−92y−3 32z=0，令y= 3，可得x=−1，z=−5，即m=(−1, 3,−5)，
取平面ABC的法向量为n=(0,0,1)，
则|cs|=|m⋅n|m||n||=|−5 29|=5 29，
故平面A1DE与平面ABC所成二面角的正弦值为2 2929．
【解析】(1)取DE中点M，AA1的中点G，连接FM，FG，A1M，可证四边形FMA1G为平行四边形，即可证明FG//平面A1DE；
(2)根据图形特点建立空间直角坐标系，利用两平面法向量夹角的余弦的绝对值可求得结论．
本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角及其求法，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得4a2+1b2=1ca= 22
又因为a2=b2+c2，得a2=6，b2=3，
所以椭圆的方程为x26+y23=1．
(2)①证明：当直线AB斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
代入椭圆方程，整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，
由Δ>0，得6k2−m2+3>0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−61+2k2
因为PA⊥PB，所以y1−1x1−2⋅y2−1x2−2=−1，
即y1y2−(y1+y2)+1=−x1x2+2(x1+x2)−4
其中y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,y1+y2=k(x1+x2)+2m，
代入整理得4k2+8mk+3m2−2m−1=0，
即(2k+m−1)(2k+3m+1)=0，
当2k+m−1=0时，
直线AB过点P，不合题意，
所以2k+3m+1=0，
此时直线AB的方程为y=k(x−23)−13，所以直线过定点M(23,−13)．
当直线AB斜率不存在时，设其方程为x=n，
代入解得n=23或n=2(舍去)，
综上所述，直线AB恒过定点M(23,−13)．
②由①可知，当PM⊥AB时，
点P到直线AB的距离最大，最大距离为d=|PM|=4 23．
【解析】(1)结合题意建立关于a，b的方程求解即可；
(2)①当直线AB斜率存在时，设其方程为y=kx+m，根据PA⊥PB建立k，m的关系，进而得到直线过定点，再验证当直线AB斜率不存在时也过这个点，进而得到直线AB过定点；
②因为直线AB过定点，结合几何关系可得当PM⊥AB时点P到直线AB距离最大，最大距离为d=|PM|=4 23．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点问题，考查设而不求法的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．X
0
1
2
3
P
125216
75216
15216
1216