2023-2024学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y+n2024=0的倾斜角为( )
A. π3B. π2C. 5π6D. π6
2.已知空间中点N(e,d,f)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A. (e,d,−f)B. (e,−d,−f)C. (−e,d,−f)D. (e,−d,f)
3.两平行直线5x−12y+2=0和10x−24y−3=0间的距离为( )
A. 526B. 726C. 513D. 713
4.抛物线x2=16y的焦点到点(2,5)的距离为( )
A. 2B. 5C. 7D. 4
5.将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法( )
A. 15种B. 18种C. 21种D. 24种
6.一条经过点M( 2,−1)的直线l与圆C：(x−1)2+y2=30交于A，B两点，若|AB|=2 29，则l的方程为( )
A. x= 2或x−y+ 2−1=0B. y=−1或x−y+ 2−1=0
C. x= 2或x−y− 2−1=0D. y=−1或x−y− 2−1=0
7.在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AB=2，MA= 5，点F在线段MC上，且CF=λCM，当BC⋅AF=43时，λ=( )
A. 12B. 23C. 13D. 14
8.已知椭圆x29+y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上位于x轴上方一点，直线AP与直线x=4交于点C，直线BP与直线x=4交于点D，若|CD|=83，则直线AP的斜率为( )
A. 16B. 121C. 13或121D. 120或13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l： 3x+y+ 3−2=0，则下列说法正确的有( )
A. l的一个方向向量为k=(1,− 3)
B. l的截距式方程为x2 3−3+y2− 3=1
C. 若l与直线x−ay+4=0(a∈R)互相垂直，则a=− 3
D. 点(−1,0)到l的距离为1
10.(2x−1x)5的展开式中( )
A. 二项式系数之和为32B. 最高次项系数为32
C. 所有项系数之和为−1D. 所有项系数之和为1
11.双曲线T：x2a2−y2=1的焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，过F1的直线l1与双曲线的左支相交于A，B两点，过F2的直线l2与双曲线的右支相交于C，D两点，若四边形ABCD为平行四边形，则( )
A. a= 3
B. |AF1|−|CF1|=2 3
C. 平行四边形ABCD各边所在直线斜率均不为± 33
D. S▱ABCD≤8 33
12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，DE=12DD1，BF=FB1，则下列说法正确的是( )
A. FC1//平面AB1E
B. 直线FC1与底面ABCD所成的角的正弦值为 55
C. 平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为13
D. 点C1到平面AB1E的距离为 25
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若二元二次方程x2+y2−ax+(3a−1)y+54=0表示圆，则实数a的取值范围是______．
14.第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名.其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为______．
15.抛物线y2=6x上有一动点P，过P作曲线x2−4x+y2+154=0的切线，其中一个切点为A，则|PA|的最小值为______．
16.已知实数x，y满足2x= 1−y2，则yx−2的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
判断5555+9是否能被8整除？并推理证明．
18.(本小题12分)
已知M为过点A(2,2)，B(1,3)，C(1,1)三点的圆．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线l：y=x+m与圆M有交点，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
在空间直角坐标系O−xyz中，A(2,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,1)，D(3,4,−1)．
(1)求AB⋅AD；
(2)判断点A，B，C，D是否共面，并说明理由．
20.(本小题12分)
已知过x轴正半轴上一点N的直线l：x=my+a交抛物线C：y2=4x于P，Q两点，且|NP|⋅|NQ|=|PQ|，证明点N为定点，并求出该定点的坐标．
21.(本小题12分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，底面ABCD是菱形，∠BAD=π3，E为AB的中点，且CC1上一点P满足CP=λCC1(00，
∴a−1=0，即a=1，
故此时点N为定点，N(1,0)．
【解析】设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立直线和抛物线的方程可得关于y的一元二次方程，由韦达定理和弦长公式可求|NP|，|NQ|，|PQ|，结合已知条件可得a的值，即可得结论．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式的运用，是中档题．
21.【答案】(1)证明：直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，底面ABCD是菱形，
连接AC，BD交于点O，如图所示．
∴AC⊥BD，且AC，BD互相平分．
又AB=2,∠BAD=π3，
∴OA=OC= 3，OB=OD=1，
连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1，
则OO1⊥平面ABCD，
∴OB，OC，OO1两两相互垂直，故以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,− 3,0)，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，D(−1,0,0)，
E(12,− 32,0)，A1(0,− 3,2)，C1(0, 3,2)，
∴BC=(−1, 3,0)，
∴A1E=(12, 32,−2)， 3
∴CP=(0,0,2λ)，
∴λ=14时，BP=BC+CP=(−1, 3,12)．
∵A1E⋅BP=−12+32−1=0，∴A1E⊥BP．
(2)解：由(1)可得BP=BC+CP=BC+λC1=(−1, 3,2λ)，
DB=(2,0,0)，A1E=(12, 32,−2)，
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，
则DB⋅n=0,BP⋅n=0,即2x=0,−x+ 3y+2λz=0,
∴x=0，令y=2 3，得z=−3λ，
则n=(0,2 3,−3λ)，A1E=(12, 32,−2)，
设A1E与平面PBD所成角为α，
则sinα=|cs〈A1E,n〉|=|A1E⋅n||A1E||n|= 154，
化简得84λ2−64λ+11=0，
解得λ=12或λ=1142(舍去)．
【解析】(1)连接AC，BD交于点O，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系．通过向量的数量积为0，证明A1E⊥BP．
(2)求解平面PBD的法向量，设A1E与平面PBD所成角为α，利用直线与平面所成角转化求解即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量数量积的应用，是中档题．
22.【答案】解：(1)因为OA=(x+1)i+yj，OB=(x−1)i+yj，且|OA|+|OB|=4，
所以 (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=4，
该式子可看作是点P(x,y)到两个定点(−1,0)，(1,0)的距离之和为4，
由椭圆定义可得，2a=4，c=1，则a=2，b= a2−c2= 3，
所以点P的轨迹C的方程为x24+y23=1．
(2)直线l斜率不为0，设直线l的方程为x=ty+1，
直线l与椭圆方程联立x=ty+1,3x2+4y2−12=0,
消去x，整理得(3t2+4)y2+6ty−9=0，
Δ=36t2+36(3t2+4)>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
可得根与系数的关系为y1y2=−93t2+4，y1+y2=−6t3t2+4，①
由DF平分∠MDN知|DM||MF|=|DN||NF|，
即|y1y2|= x12+(y1− 3)2 x22+(y2− 3)2，又x2=4−43y2，
则(y1y2)2=−13y12−2 3y1+7−13y22−2 3y2+7．
整理得7(y1+y2)=2 3y1y2．
把①式代入上式，化简得42t=18 3，解得t=3 37，
所以直线l的方程为x=3 37y+1．
【解析】(1)利用数量积运算律化简得 (x−1)2+y2+ (x+1)2+y2=4，利用椭圆定义即可求解方程；
(2)设l：x=ty+1，联立直线与椭圆方程，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得根与系数的关系，再根据平分线的性质得点的坐标关系，结合根与系数的关系求解t，即可解答．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．