河北省保定市高阳县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份河北省保定市高阳县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共16个小题：1-6小题，每题3分；7-16小题，每题2分：共38分．）
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．C．D．
3．若点与点关于x轴对称，则（ ）
A．B．C．1D．5
4．若( )·(-3xy2)=-6x2y3，则括号内应填的代数式是（ ）
A．2xB．2xyC．-2xyD．3xy．
5．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为
A． kgB． kg
C．kgD． kg
6．2022年2月4日，北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩，简约，唯美，浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则A可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则（ ）
A．16B．25C．32D．64
9．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A．B．C．D．
10．下列因式分解中：①；②；③ ；④，正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，已知，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．
A．1B．2C．3D．4
13．小刚在化简时，整式看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是，则整式是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线交于点G．
若，的面积为18，则的面积为（ ）
A．12B．18C．24D．27
15．老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（ ）
A．5B．4C．3D．2
16．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．9B．15C．24D．27
二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共10分．请将答案写在答题卡的横线上）
17．如图，，若，，则 ；
18．已知分式（为常数）满足表格中的信息：
（1） ；
（2） ．
19．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
①当 秒时，为等边三角形；
②当 秒时，为直角三角形．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分。解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置）
20．计算
(1)因式分解：
(2)计算：
(3)计算：
(4)计算：
21．小明在物理课．上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，．
(1)试说明；
(2)求的长．
22．如图，位于平面直角坐标系中，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与，的交点分别是点D，E．

(1)画出直线l；
(2)写出点A关于l的对称点A的坐标______；
(3)若点P在直线l上，，请直接写出点P的坐标．
23．【调查活动】
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，
随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少．
【交流质疑】
小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究．
(1)【问题解决】
聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
(2)【解后反思】
以上解题的过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？
24．阅读材料：
我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线．则四边形内角和就转化为和内角和的和，为．
(1)解决问题：如图1，四边形是凹四边形，请探究（）与，，三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：，他证明如下．
请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接并延长到点．
(2)联系拓广：下面图的五角星和图的六角星都是一笔画成的（即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图中，的度数为______．
②图中，的度数为______．
25．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：

(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，
方法2：______；
(2)从中你得到什么等式？______；
(3)运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
26．数学课上，老师出示了如下的题目：
“在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“＝” ）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：_______（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作，交于点F，请你完成解答过程．
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点E在射线上，点D在射线上，且．若的边长为1，，画出符合条件的图，求的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】解：A、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
B、具有稳定性，故此选项符合题意；
C、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
D、不具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
2．D
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，合并同类项，积的乘方依次计算判断即可．
【详解】解：A、，选项不符合题意；
B、，选项不符合题意；
C、，选项不符合题意；
D、，选项符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查同底数幂的乘法、除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
3．C
【分析】本题考查了关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据此解题即可．
【详解】解：点与点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．
∴，，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】根据单项式的除法法则进行计算.
【详解】因为( )·(-3xy2)=-6x2y
所以
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式转化为单项式的除法来运算.
5．B
【分析】利用科学记数法的表示方法进行表示即可.
【详解】解：∵
∴100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为kg，
故选：B.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数.一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
6．C
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和=和正多边形的性质即可求解．
【详解】解：∵正六边形的内角和为：，
又∵正六边形的6个内角都相等，
∴它的每一个内角=．
故选C．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式和正多边形的性质．掌握多边形的内角和=与正多边形的每一个内角都相等是解题关键．
7．C
【分析】用举反例结合分式的基本性质进行逐一判断即可．
【详解】A.如：，，故此项错误；
B. 如：，，故此项错误；
C. ，故此项正确；
D. 如：，，故此项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握基本性质，会用举反例的方法进行判断是解题的关键．
8．D
【分析】利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可．
【详解】解：∴，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了幂的乘方和同底数幂相乘的法则，熟练掌握法则是解题的关键．
9．C
【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可．
【详解】解：∵、分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
10．B
【分析】本题考查了判断因式分解是否正确，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的方法逐个判断即可．
【详解】解：①，故①不符合题意；
②，故②符合题意；
③，故③符合题意；
④，故④不符合题意．
故选：B．
11．C
【分析】根据任意多边形外角和都等于，进行计算即可解答．
本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握“任意多边形外角和都等于”是解题的关键．
【详解】由题意得，
∵，
∴，
故选：C．
12．C
【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,根据轴对称图形的概念进行设计即可．
【详解】解：如图所示：
故选：C
【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念．
13．B
【分析】先根据题意列出等式，再化简即可得出选项．
【详解】∵化简的结果是，
∴．
∴．
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减运算法则是解题的关键．
14．D
【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质及三角形面积公式的应用；
作，，根据作图过程可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，再根据的面积为18，求出的长，进而可得结果．
【详解】如图，过点作于点，于点
根据作图过程可知：
是的角平分线
∵
故选：D．
15．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案．
【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A．
16．B
【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质；
连接．求出的最小值可得结论．
【详解】如图，连接，
垂直平分线段，
，
当P和E重合时，的值最小，最小值为，
，
的最小值为9，
的周长的最小值为，
故选：B
17．7
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：7．
18． ## 5
【分析】本题主要考查分式，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程是解题的关键，
（1）根据当时，分式无意义，即分母为0，即可求出b值；当时，分式的值为0，即可求出a值，即可求解；
（2）由（1）可得分式为，再根据分式的值，解分式方程即可求出c的值，
【详解】解：（1）由表格数据得：当时，分式无意义，
当时，分式的值为0，
解得：，
分式为，
故答案为：
（2）当分式的值为3时，即
解得：，
检验：为分式方程的解．
故答案为：5．
19． 2 1.5或2.4
【分析】先求出，；由等边三角形的性质得到，由此建立方程进行求解；当为直角三角形可分当时和当时两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①当为等边三角形时，，则，解得；
当时，则，
∴，则，解得；
②当时，
则，
∴，
则，
解得；
故答案为：2；1.5或2.4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分解因式，分式的混合运算：
（1）先提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用多项式除以单项式的法则计算解题即可；
（3）先运用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并解题即可；
（4）先对括号内的分式通分，然后运算除法解题即可．
【详解】（1）

；
（2）

；
（3）
；
（4）

．
21．(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键，
（1）由直角三角形的性质证出，利用证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，．
【详解】（1）
又
在和中
（2）
．
22．(1)见解析
(2)
(3)和
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的性质，垂直平分线的性质．恰当分类并构造等腰直角三角形是解题的关键．
（1）根据点B与点C的坐标求出中点坐标D，然后过点D作的垂线即可得出直线l；
（2）根据轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等，结合点的坐标求解即可；
（3）分两种情况：当在直线上方时，当在直线下方时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴中点D的坐标为，
过点D作的垂线，即为所求作的直线l，如图所示：

（2）解：∵，直线l为，
∴，
∴点A关于l的对称点A的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵B与点C关于直线l对称，
∴直线l垂直平分，
∵点P在直线上，
∴，
∵，
∴平分，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当在直线上方时，如图所示：

此时点P的纵坐标为：，
∴此时点P的坐标为；
当在直线下方时，如图所示：

此时点P的纵坐标为：，
∴此时点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为和．
23．(1)见解析
(2)方程思想
【分析】（1）问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可；问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x人．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可；
（2）这充分体现了方程思想，即可．
【详解】（1）解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设：乙校的人数为x人．根据题意可列方程：

解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
人 ，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设：乙校的人均图书册数为x人．根据题意可列方程：

解得：
经检验，是原方程得解，且符合题意，
册
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
（2）解后反思：方程思想
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)① ②
【分析】本题主要考查三角形的外角的性质：
（1）根据，即可求得答案；
（2）①利用三角形外角的性质，将转化为三角形内角和即可；②利用三角形外角的性质，将转化为四边形内角和即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
∴．
（2）①如图所示．
∵，，
∴．
故答案为：
②如图所示．
∵，，
∴．
故答案为：
25．(1)，
(2)
(3)①；②－20.
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键.
（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
（3）①由（2）的结论，代入计算即可；
②设，，则，，求即可．
【详解】（1）解：
方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即，
故答案为：，；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，，
故答案为：；
（3）①∵，∴，
又∵，
∴；
②设，，则，，
∴原式
答：的值为．
26．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，根据等边对等角可得，再求出可得，等量代换可得；
（2）证明是等边三角形，可得，求出，，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）作于N，求出，根据含直角三角形的性质求出，可得的长，再利用等腰三角形的性质得出答案．
【详解】（1）解：∵在等边三角形中，点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：；
证明：如图2，过点E作，交于点F，
在等边三角形ABC中，，，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示：作于N，
∴，
∵等边的边长为1，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果．
x的取值
2
c
分式的值
无意义
0
3