江西省部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（A卷）（Word版附解析）

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数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（ ）
A. 1B. 45C. D.
2. 双曲线的离心率为，则（ ）
A. 1B. C. D.
3. 若随机变量X服从正态分布，，则（ ）
A. 0.45B. 0.55C. 0.1D. 0.9
4. 直线与椭圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定
5. 如图，正方体棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
6. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 60B. 120C. D.
7. 甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 108种B. 96种C. 84种D. 72种
8. 球的两个相互垂直的截面圆与的公共弦的长度为2，若是直角三角形，是等边三角形，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 直线与平面夹角为D. 三棱锥是正四面体
10. 已知椭圆，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E，若点A，B分别在C，E上，，分别为C，E的中心，则（ ）
A. E的方程为B. C和E没有交点
C. A，B的纵坐标之差可以为7D. 的最大值等于的最大值
11. 已知F为抛物线的焦点，M，N，P，Q是C上四个不同的动点，满足直线，过F，其中M，P在第一象限，若直线与x轴的交点为，，，，的面积分别为，，，，则（ ）
A. 时，B. 直线与x轴的交点为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______．
13. 已知正方体的棱长为1，点P在平面内，若P到直线的距离与到直线的距离相等，则P到的距离的最小值为______．
14. 在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，直线与平面的夹角为______，三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心．
（1）证明：；
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
16. 已知点为椭圆焦点，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）求C方程；
（2）若D为的中点．
①求D的轨迹方程；
②求的最大值．
17. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技（E-Sprts）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表：
（1）从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过35人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过25人的概率；
（2）某省代表队准备进行为期3个月霹雳舞封闭训练，对Pwermve中的Swipe、Windmill、Air tracks、Flare、Headspin动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项评分，有一个动作达到“优秀”即可得1分．已知在一轮测试的5个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4分的次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
18. 如图1，在四边形中，，，，将沿着折叠，使得（如图2），过D作，交于点E．
（1）证明：；
（2）求；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 双曲线的焦距为，点在C上，直线交y轴于点P，过P作直线交C于G，H两点，且的斜率存在，直线，交l分别于M，N两点．
（1）求C的方程；
（2）求与的斜率之积；
（3）证明：A，O，M，N共圆．省代表队
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
电子竞技人数
45
52
24
38
57
19
26
47
34
29
霹雳舞人数
26
18
44
43
32
27
56
36
48
20