2023-2024学年陕西省西安市高新区部分学校联考九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市高新区部分学校联考九年级（下）开学数学试卷（含解析），共35页。试卷主要包含了《清朝野史大观•清代述异》称，已知抛物线y＝a等内容，欢迎下载使用。

1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣9℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．﹣11℃B．﹣7℃C．11℃D．7℃
2．《清朝野史大观•清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三视图都相同
3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
4．若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝﹣3、b＝﹣2B．k＝3、b＝﹣2C．k＝3、b＝﹣4D．k＝3、b＝4
5．如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24B．25C．26D．27
6．如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2B．5C．2D．3
8．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．﹣π，﹣3，的大小顺序是 （用“＞”号连接）．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
11．某商场一种商品的进价为96元，若标价后再打8折出售，仍可获利10%，则该商品的标价为 元．
12．已知两个反比例函数y1＝，y2＝，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点B，且OA＝2AB，则y2的解析式为 ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD﹣BD的最小值为 ．
三.解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式组：．
16．化简：．
17．尺规作图：如图，在△ABC中，∠C＝90°．在AB边上求作一点D，使DA+DC＝AB．
18．如图，在四边形ABCD中，点E在BC边上，且BE＝CD，∠B＝∠C＝∠AED．求证：AE＝DE．
19．近年来，国家林草局全面开展古树名木资源普查，第二次全国古树名木资源普查结果显示，目前我国普查范围内共有古树名木508.19万株，其中5000年以上的古树有5株，这5株古树均在陕西省，分别是渭南市的仓颉手植柏，延安市的黄帝手植柏、保生柏、老君柏，商洛市的页山大古柏．为提高学生保护古树名木的意识和热情，某校举行以“保护古树名木，共享绿水青山”为主题的摄影活动．小南从自己的摄影作品中选取了五张照片，这五张照片背面完全相同，正面分别是五棵古树，将照片背面朝上洗匀．
（1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是 ；
（2）活动规定每人可上交两张照片，小南对这五张照片都很满意，他同时从这五张照片中随机抽取两张参加该活动，请用树状图或列表法求小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率．
20．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
21．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离BC＝2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD＝2m，坡角（∠CDN）为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面MN上的影长DE长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m．请你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度．（结果保留根号）
22．如图是某机场监控屏显示的一飞机的飞行图象（高度h与距离s的函数图象），其中s表示飞机离起点O的水平距离，h表示飞机距地面的垂直高度．飞机从起点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，水平飞行3km后到达B处开始沿直线BC降落，降落时经过C处．
（1）求BC所在直线的函数表达式；
（2）当飞机距地面的垂直高度为2km时，求它距起点O的水平距离是多少？
23．某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
24．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD＝．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
25．已知抛物线L经过点A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．
26．问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD＝9，∠DCE＝15°，求△BCE外接圆的半径长．
问题解决
（2）某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花．根据设计要求，∠EGF＝∠BCF，∠EFC＝90°，DF：DC＝1：2，AE＝8米．该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣9℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．﹣11℃B．﹣7℃C．11℃D．7℃
【分析】用这天的最高气温减去最低气温即可．
解：2﹣（﹣9）＝2+9＝11（°C），
即这天的最高气温比最低气温高11°C，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2．《清朝野史大观•清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三视图都相同
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
【分析】由多边形的外角和可求得∠BCD＝60°，∠ABC＝120°，再由平行线的性质可得∠BDC＝∠1＝44°，由三角形的外角性质可求得∠3的度数，即可求∠2的度数．
解：如图，
∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
∴∠BCD＝360°÷6＝60°，EF∥BD，∠ABC＝120°，
∴∠BDC＝∠1＝44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3＝∠BDC+∠BCD＝104°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝16°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
4．若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝﹣3、b＝﹣2B．k＝3、b＝﹣2C．k＝3、b＝﹣4D．k＝3、b＝4
【分析】先求出一次函数y＝kx+2与y轴交点关于直线x＝﹣1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝﹣3x+b与y轴交点关于直线x＝﹣1的对称点，代入一次函数y＝kx+2，求出k的值即可．
解：把x＝0代入y＝kx+2得，y＝2，
∴直线y＝kx+2与y轴交点为（0，2），
∵点（0，2）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，2），
∴点为（﹣2，2）在直线y＝﹣3x+b上，
代入直线y＝﹣3x+b，可得6+b＝2，
解得b＝﹣4，
∴一次函数y＝﹣3x﹣4与y轴交点为（0，﹣4），
∵（0，﹣4）关于直线x＝﹣1的对称点（﹣2，﹣4）在直线y＝kx+2上，
∴代入直线y＝kx+2，可得﹣2k+2＝﹣4，
解得k＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
5．如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【分析】如图，设PM＝PL＝NR＝KR＝a，正方形ORQP的边长为b，构建方程即可解决问题；
解：如图，设PM＝PL＝NR＝KR＝a，正方形ORQP的边长为b．
由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）＝50，
∴a2＝25，
∴正方形EFGH的面积＝a2＝25，
故选：B．
【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，＝，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．
解：如图，连接OB，
∵CD为直径，CD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠C，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO＝∠CEO＝90°，
∵∠AOF＝∠COE，OA＝OC，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴∠C＝∠A，
∴∠AOD＝2∠A，
∵∠AFO＝90°，
∴∠A＝30°，
∵AO＝1，
∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，
同理CE＝，OE＝，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，
由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，
∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+××＝．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2B．5C．2D．3
【分析】由锐角三角函数可求∠ABC＝30°，由旋转的性质可求AC＝CD，CE＝CB＝2，∠CAB＝∠CDE＝60°，∠BCE＝∠ACD，∠CED＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4，可证△CBE是等边三角形，由勾股定理可求解．
解：如图，连接BE，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
sin∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，
∴AC＝CD，CE＝CB＝2，∠CAB＝∠CDE＝60°，∠BCE＝∠ACD，∠CED＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC＝2，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝90°，
∴DB＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
【分析】将两点坐标分别代入并联立，从而得到k＝a（7﹣m﹣n），再根据有理数的乘法判断符号
解：抛物线与直线交于点（1，y1），（6，y2），
..a（1﹣m）（1﹣n）＝k+b，①
a（6﹣m）（6﹣n）＝6k+b，②
②﹣①得5k＝a（35﹣5m﹣5n），即k＝a（7﹣m﹣n），
则当a＞0，m+n＜7或a＜0，m+n＞7时，k＞0；
当a＜0，m+n＜7或a＞0，m+n＜7时，k＜0．
故D正确，B、C、A错误，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于a，k，m，n的等式
二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．﹣π，﹣3，的大小顺序是 ＞﹣3＞﹣π （用“＞”号连接）．
【分析】先根据负数比较大小的法则比较出﹣3与﹣π的大小，再根据正数大于一切负数解答即可．
解：∵π＞3，
∴﹣π＜﹣3＜0．
∵＞0，
∴＞﹣3＞﹣π，
故答案为：＞﹣3＞﹣π．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 3 ．
【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝6×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
11．某商场一种商品的进价为96元，若标价后再打8折出售，仍可获利10%，则该商品的标价为 132 元．
【分析】设该商品的标价为x元，等量关系：标价的8折出售，仍可获利10%，可列方程解得答案．
解：设该商品的标价为x元，依题意有：
0.8x﹣96＝96×10%，
解得：x＝132．
故答案为：132．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．
12．已知两个反比例函数y1＝，y2＝，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点B，且OA＝2AB，则y2的解析式为 y2＝或y2＝ ．
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，则△OAC∽△OBD，得出＝（）2，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出结果．
解：当B在A的右边时，如图1，
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴＝（）2，
∵OA＝2AB，
∴＝，
∴＝，
∴k＝
∴y2的解析式是y2＝，
当A在B的右边时，如图2，
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴＝（）2，
∵OA＝2AB，
∴＝2，
∴＝4
∴k＝
∴y2的解析式是y2＝，
故答案为y2＝或y2＝．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数y＝中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．
13．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD﹣BD的最小值为 ．
【分析】作CE平分∠ACB，交AD于点F，过点D作DE⊥CF交CF于点E，根据含30度角的直角三角形性质及线段的和差得出DE＝BD+2，过点A作AG⊥EC于点G，根据斜边大于垂边可知AD﹣BD≥2+AG，再次根据含30度角的直角三角 形性质求出2+AG的值，即可得出答案．
【解答】
解：作CE平分∠ACB，交AD于点F，过点D作DE⊥CF交CF于点E，
∴在Rt△CDE中，∠E＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴DE＝CD＝（BD+BC）＝（BD+4）＝BD+2，
过点A作AG⊥EC于点G，
∵DF≥DE，AF≥AG，
∴AD﹣DE≥AD﹣DF＝AF≥AG，
∴AD﹣（BD+2）≥AG，
∴AD﹣BD≥2+AG，
在Rt△AGC中，∠AGC＝90°，∠ACG＝∠ACB＝30°，
∴AG＝AC＝，
∴2+AG＝2+＝，
∴AD﹣BD≥，
∴AD﹣BD的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差，根据已知条件作出合适的辅助线是解题的关键．
三.解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：．
【分析】先利用负整数指数幂的意义、二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可．
解：原式＝﹣﹣（1﹣）
＝4﹣﹣1+
＝4﹣2﹣1+
＝3﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
15．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由3x+6≥5（x﹣2），得：x≤8，
由1﹣≤，得：x，
则不等式组的解集为x≤8．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．化简：．
【分析】先将括号内的进行合并，把除法变成乘法，再约分可得结果．
解：
＝÷
＝•
＝．
【点评】此题主要是考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
17．尺规作图：如图，在△ABC中，∠C＝90°．在AB边上求作一点D，使DA+DC＝AB．
【分析】根据题意，作出BC边的垂直平分线与AB的交点即为所求．
解：如图所示：点D即为所求．
【点评】考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法．
18．如图，在四边形ABCD中，点E在BC边上，且BE＝CD，∠B＝∠C＝∠AED．求证：AE＝DE．
【分析】证出∠AEB＝∠EDC，证明△ABE≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵∠B＝∠C＝∠AED，
设∠B＝∠C＝∠AED＝α，
∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣α，∠EDC+∠DEC＝180°﹣α，
∴∠AEB＝∠EDC，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，证明△ABE≌△ECD是解题的关键．
19．近年来，国家林草局全面开展古树名木资源普查，第二次全国古树名木资源普查结果显示，目前我国普查范围内共有古树名木508.19万株，其中5000年以上的古树有5株，这5株古树均在陕西省，分别是渭南市的仓颉手植柏，延安市的黄帝手植柏、保生柏、老君柏，商洛市的页山大古柏．为提高学生保护古树名木的意识和热情，某校举行以“保护古树名木，共享绿水青山”为主题的摄影活动．小南从自己的摄影作品中选取了五张照片，这五张照片背面完全相同，正面分别是五棵古树，将照片背面朝上洗匀．
（1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是 ；
（2）活动规定每人可上交两张照片，小南对这五张照片都很满意，他同时从这五张照片中随机抽取两张参加该活动，请用树状图或列表法求小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽到的两张照片上的古树均在延安市的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是．
故答案为：．
（2）将黄帝手植柏、保生柏、老君柏、仓颉手植柏、页山大古柏分别记为A，B，C，D，E，
列表如下：
由表可得，共有20种等可能的结果，其中抽到的两张照片上的古树均在延安市的结果有6种，即AB，AC，BA，BC，CA，CB，
∴小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【分析】设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为x m3，桌腿需要木材为4×x m3．根据总木材为12m3建立方程求出其解即可．
解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为x m3，桌腿需要木材为4×x m3．由题意，得
x+4×x＝12，
解得：x＝200．
则x＝×200＝10（m3）
12﹣10＝2（m3）．
方法2：设x m3：木材作桌面，2m3木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．
由题意得：4×20x＝400（12﹣x）．
解得：x＝10．
则12﹣10＝2（m3）．
答：用10m3木材作桌面，2m3木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据“桌面的材料+桌腿的材料＝12”建立方程是关键．
21．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离BC＝2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD＝2m，坡角（∠CDN）为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面MN上的影长DE长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m．请你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【分析】延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，根据矩形的性质得到HG＝BC＝2，∠CGD＝90°，BH＝CG，解直角三角形得到CG＝CD＝1，DG＝，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．
解：延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，
则四边形BHGC是矩形，
∴HG＝BC＝2，∠CGD＝90°，BH＝CG，
∵∠CDG＝30°，CD＝2m，
∴CG＝CD＝1m，DG＝m，
∴HE＝HG+GD+DE＝8+，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝（8+）m，
∴AB＝AH﹣BH＝（8+）﹣1＝m，
答：旗杆AB的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣坡度坡角问题，平行投影，熟练掌握同一时刻，物高和影长成正比是解题的关键．
22．如图是某机场监控屏显示的一飞机的飞行图象（高度h与距离s的函数图象），其中s表示飞机离起点O的水平距离，h表示飞机距地面的垂直高度．飞机从起点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，水平飞行3km后到达B处开始沿直线BC降落，降落时经过C处．
（1）求BC所在直线的函数表达式；
（2）当飞机距地面的垂直高度为2km时，求它距起点O的水平距离是多少？
【分析】（1）先求出点B，C的坐标，根据待定系数法即可求出求BC所在直线的函数表达式；
（2）求出OA的解析式，把h＝2代入OA和BC的解析式，求出s即可．
解：（1）过点A作AD⊥s轴于点D，
∵∠AOD＝45°，
∴∠ODA＝45°＝∠AOD，
∴OD＝AD＝4，
∴B（7，4），
由题意得C（10，3），
设BC所在直线的函数表达式h＝ks+b，
∴，
解得
∴设BC所在直线的函数表达式为h＝﹣s+；
（2）设OA的解析式为：h＝as，
∵A（4，4），
∴4a＝4，
∴a＝1．
∴OA的解析式为：h＝s．
当飞机在线段OA上，h＝2时，s＝2；
当飞机在BC上，h＝2时，2＝﹣s+，
∴s＝13；
∴当飞机距地面的垂直高度为2km时，它距起点O的水平距离是2km或13km．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
23．某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 C 组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【分析】（1）利用中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数的定义解答即可；
（3）用样本估计总体即可．
解：（1）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
（2）＝×（50×8+75×16+105×40+150×36）＝112（分钟），
答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
（3）1200×＝912（人），
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人．
【点评】本题考查了频数（率）分布表．从频数（率）分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应百分比．
24．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD＝．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
【分析】（1）本小题难度不大，方法颇多，方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F．首先证明∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°；再根据B是切点得出∠OBA＝90°．后面就很简单的证明出结论；方法2：如图2，延长OB交CD于点M．因为AB为⊙O的切线，所以根据切线性质得到，∠OBA＝90°，∠ABM＝90°．再根据四边形、三角形的内角和即可证明；方法3：如图3，过点B作BN∥AD，根据两直线平行，内错角相等和切线性质，可以很简单的证明问题；
（2）利用（1）中图1的辅助线即可解答．首先根据条件AB＝75，cs∠BAD＝，得到AE＝45．再利用（1）证明出的，∠OBF＝∠BAD，能得到四边形CDEF为矩形，所以DE＝CF＝5，从而得到AD＝AE+ED＝50cm．
【解答】（ 1）证明：方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°．
∵EF∥CD，
∴∠OFB＝∠AEB＝90°，
∴∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°．
∴∠OBF+∠ABE＝90°，
∴∠OBF＝∠BAD，
∴∠BOC+∠BAD＝90°；
方法2：如图2，延长OB交CD于点M．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠BOC+∠BMC＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°．
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，
∴∠ABM＝90°．
∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD＝180°．
∵∠BMC+∠BMD＝180°，
∴∠BMC＝∠BAD．
∴∠BOC+∠BAD＝90°；
方法3：如图3，过点B作BN∥AD，
∴∠NBA＝∠BAD．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°．
∴AD∥OC，
∴BN∥OC，
∴∠NBO＝∠BOC．
∵AB为OO的切线，
∴∠OBA＝90°，
∴∠NBO+∠NBA＝90°，
∴∠BOC+∠BAD＝90°．
（2）解：如图1，在Rt△ABE中，
∵AB＝75，cs∠BAD＝，
∴AE＝45．
由（1）知，∠OBF＝∠BAD，
∴cs∠OBF＝，
在Rt△OBF中，
∵OB＝25，
∴BF＝15，
∴OF＝20．
∵OC＝25，
∴CF＝5．
∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴DE＝CF＝5，
∴AD＝AE+ED＝50cm．
【点评】本题重点考查切线的判定和性质，三角函数，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．是很好的中考题．
25．已知抛物线L经过点A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，列方程组求a、b、c的值；
（2）设平移后的抛物线的解析式为y＝ax2+mx+n，将B（3，0）代入y＝ax2+mx+n，其中a为（1）中求出的常数，用含m的代数式表示n，再用含m的代数式分别表示点P、点Q的坐标，根据相似三角形对应边成比例列方程求出m的值，得到平移后的抛物线的解析式，再将两个解析式分别配成顶点式进行比较，即可得出平移过程．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
得．解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设平移后的抛物线为K：y＝﹣x2+mx+n，
∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点B（3，0），
∴﹣9+3m+n＝0，
∴n＝9﹣3m，
∴y＝﹣x2+mx+9﹣3m，
∴P（0，9﹣3m）；
当y＝0时，由﹣x2+mx+9﹣3m＝0，得x＝，
∴x1＝3，x2＝m﹣3．
如图1，当m﹣3≥0，即m≥3时，△BPQ不能是直角三角形；
如图2，当m﹣3＜0，即m＜3时，存在△BPQ是直角三角形，且只有∠BPQ＝90°一种情况.
∵∠POQ＝∠BOP＝90°，∠QPO＝90°﹣∠BPO＝∠PBO，
∴△POQ∽△BOP，
∴，
∴OP2＝OQ•OB，
∴（9﹣3m）2＝3（3﹣m），
∴m1＝，m2＝3（不符合题意，舍去），
∴抛物线K：y＝﹣x2+x+1，
∵抛物线L：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
抛物线K：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+，
∴﹣1＝，﹣4＝﹣，
∴抛物线L向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．
【点评】此题重点考查二次函数的图象和性质、平移的特征、相似三角形的判定与性质以及含参数的一元二次方程的解法等知识，解题时应特别注重数形结合、分类讨论等思想方法的运用，提高动手操作能力，此题属于考试压轴题．
26．问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD＝9，∠DCE＝15°，求△BCE外接圆的半径长．
问题解决
（2）某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花．根据设计要求，∠EGF＝∠BCF，∠EFC＝90°，DF：DC＝1：2，AE＝8米．该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作△BCE的外接圆O，交AB于F，解直角三角形BCF，从而求得结果；
（2）先求得EF长，从而求得△EFG的外接圆O的直径，作OH∥AB，过H作⊙O的切线，交AB于M，延长FC交MH于N，作NR⊥AD，从而得出矩形ABCD的面积最大值是矩形AMNR的面积，过点O作PT⊥EF交EF于Q，交AD于P，连接OF，推得PF＝OF，进而根据S△POF＝＝OP•FQ求得OW的值，进一步求得结果．
解：（1）如图1，
作△BCE的外接圆O，交AB于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝9，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，∠DCE＝15°，
∴∠CBE＝＝45°，∠BCE＝90°﹣∠DCE＝75°，
在△BCE中，
∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝60°，
∵＝，
∴∠BFC＝∠BEC＝60°，
∵∠CBF＝90°，
∴CF是⊙O的直径，
∵CF＝＝＝6，
∴△BCE外接圆的半径长是3；
（2）如图2，
作△GEF的外接圆O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCF＝∠CFD，
∵∠EGF＝∠BCF，
∴∠EGF＝∠CFD，
∵tan∠CFD＝＝2
∴sin∠EGF＝sin∠CFD＝，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠CFD+∠DCF＝90°，
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFC+∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠DCF，
∴△AEF∽△DFC，
∴＝2，
∴AF＝2AE＝16，
∴EF＝＝＝8，
同理（1）得，
⊙O的直径＝＝＝20，
作OH∥AB，交AD于W，过H作⊙O的切线，交AB于M，延长FC交MH于N，作NR⊥AD，
从而得出矩形ABCD的面积最大值是矩形AMNR的面积，
过点O作PT⊥EF交EF于Q，交AD于P，连接OF，
∴FQ＝EQ＝＝4，
∴OQ＝＝2，
∴tan∠OFQ＝＝，
∴∠OFQ＝∠AFE，
∵∠FQP＝∠FQO＝90°，FQ＝FQ，
∴△PFQ≌△OFQ（ASA），
∴PF＝OF＝10，
∵S△POF＝＝OP•FQ，
∴OW＝＝＝8，
∴WH＝OH+OW＝10+8＝18，
∴RN＝WH＝18，
∴FR＝＝9，
∴AR＝AF+FR＝16+9＝25，
∴S矩形AMNR＝AR•RN＝25×18＝450，
即矩形ABCD面积的最大值是450m2．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”模型．
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A
t＜60
8
50
B
60≤t＜90
16
75
C
90≤t＜120
40
105
D
t≥120
36
150
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A
t＜60
8
50
B
60≤t＜90
16
75
C
90≤t＜120
40
105
D
t≥120
36
150