2023-2024学年广东省深圳市福田实验教育集团九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田实验教育集团九年级（下）开学数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列深圳交通的标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．深圳巴士B．深圳东部公交
C．深圳航空D．深圳地铁
2．2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问2024的相反数是（ ）
A．B．﹣2024C．2024D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6
4．小明、小刚、小桐和小凯比赛谁投球比较远，每人投3次，结果如图所示．这四名同学中，（ ）投球的平均成绩大约是8米．
A．小明B．小刚C．小桐D．小凯
5．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A．x＞4B．x＜4C．x＞3D．x＜3
6．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（ ）
A．B．C．D．
7．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用3500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用2500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15B．65C．70D．115
9．如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，任意长为半径作圆弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则△AEC的面积为（ ）
A．1B．2C．D．2
10．如图，正方形ABCD的边长为12，E是AB中点，F是对角线AC上一点，且，在CD上取点G，使得∠FEG＝45°，EG交AC于H，则CH的长为（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式：3m3﹣12m＝ ．
12．二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线 ．
13．如图，菱形OBAC的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C的坐标为（4，3），则k的值为 ．
14．如图，△ACD是圆内接三角形，点B是圆上一点，连结AB，BD，BD与AC交于点E，且满足AB＝AC，∠BAC＝∠CAD．若CD＝2，AD＝3，则CE＝ ．
15．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于 ．
三、解答题（共55分）
16．计算：．
17．第19届杭州亚运会开幕式以文化为底色，融科技之力与艺术之美，绘出满是中华优秀传统文化意韵的动人画卷．在运动员人场仪式上，展示国家姓名的花窗背景镶嵌着梅、兰、竹、菊图案，中心场地不时切换出梅、兰、竹、菊的精致刺绣样式，以君子之风迎八方来客，为“同住亚细亚”的广阔胸怀添上生动注脚．为了让学生深入了解中国文化，李老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义．
（1）小辰随机抽取一张卡片，抽中“兰”的概率为 ；
（2）若小雅先从这四张卡片中随机抽取一张（不放回），然后小希从剩下的卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求她们两人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的概率．
18．新年平安，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是： ；
（2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？
19．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，csB＝，求CG的长．
20．深圳市某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，获得数据如表：
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象；
（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为 米；
（3）求该抛物线的表达式；（结果用一般式表示）
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 米．（结果精确到0.1米）
21．【问题背景】
（1）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图1，将它放入一个直角三角形中，已知∠BCA＝90°，∠B＝30°，顶点D、E、F、G刚好落在三边上，求AB的长；
【问题提出与解决】
（2）小颖同学受到启发，将该教具放入如图2所示的直角坐标系中，顶点A、B、C分别落在坐标轴上，提出问题：如果反比例函数图象经过顶点D，求k的值；
（3）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将该教具放入圆内，使圆经过其顶点A、B、C，提出问题：求该圆的面积．
22．【经验积累】
如图①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一点，连接DE，CE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．
（1）求证AD2＝DF•DE．
（2）（Ⅰ）求证△CDF∽△EDC；
（Ⅱ）若，则的值为 ．
【方法迁移】
（3）如图②，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列深圳交通的标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．深圳巴士B．深圳东部公交
C．深圳航空D．深圳地铁
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问2024的相反数是（ ）
A．B．﹣2024C．2024D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a6
【分析】分析：根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则，逐项计算，即可得出正确答案．
解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意；
B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意；
C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意；
D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方，熟练掌握各运算法则并正确计算是解题的关键．
4．小明、小刚、小桐和小凯比赛谁投球比较远，每人投3次，结果如图所示．这四名同学中，（ ）投球的平均成绩大约是8米．
A．小明B．小刚C．小桐D．小凯
【分析】三次的距离中超过8米和低于8米的部分比较接近时，所投球的平均成绩大约是8米．
解：由题意可知，小明和小桐的投球的平均成绩小于8米，小刚的投球的平均成绩大于8米，只有小凯投球的平均成绩大约是8米．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平均数，正确识图是解答本题的关键．
5．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A．x＞4B．x＜4C．x＞3D．x＜3
【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设AB＝3x，则BC＝3x，由sin∠AOB＝，可得BO＝7x，因tanC＝，可得tanC的值．
解：设AB＝3x，则BC＝3x，
∵sin∠AOB＝，
∴BO＝7x，
∴tanC＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是掌握正切、正弦的定义．
7．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用3500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用2500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据单价比第一批每箱便宜了4元，数量与第一批的数量一样多，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
解：由题意可得，
＝，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
8．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15B．65C．70D．115
【分析】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答．
解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，任意长为半径作圆弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则△AEC的面积为（ ）
A．1B．2C．D．2
【分析】根据矩形的性质得到∠B＝∠BAD＝90°，求得∠ACB＝30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，得到∠BAE＝∠CAE＝30°，根据等腰三角形的性质得到AE＝CE，过E作EF⊥AC于F，求得EF＝BE＝1，求得AC＝2CF＝2，解直角三角形得到AB＝，BC＝3，于是得到结论．
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
由作图知，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
过E作EF⊥AC于F，
∴EF＝BE＝1，
∴AC＝2CF＝2，
∴AB＝，BC＝3，
则EC＝3﹣1＝2，
∴△AEC的面积＝××2＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质，作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30°角所对边等于斜边的一半．
10．如图，正方形ABCD的边长为12，E是AB中点，F是对角线AC上一点，且，在CD上取点G，使得∠FEG＝45°，EG交AC于H，则CH的长为（ ）
A．4B．C．D．
【分析】如图，过点F作FT⊥AB于点T．解直角三角形求出EF，设EH＝x，FH＝y，利用相似三角形的性质，构建方程组解决问题．
解：如图，过点F作FT⊥AB于点T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC＝12，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝AB＝12，
∵＝，
∴AF＝4，
∵FT⊥AB，
∴∠FAT＝∠AFT＝45°，
∴AT＝FT＝4，
∵AE＝EB＝6，
∴ET＝AE﹣AT＝6﹣4＝2，
∴EF＝＝＝2，
设EH＝x，FH＝y．
∵∠EHF＝∠AHE，∠HEF＝∠EAH＝45°，
∴△EHF∽△AHE，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝3，y＝5，
经检验x＝3，y＝5是方程的解，
∴FH＝5，
∴CH＝AC﹣AF﹣FH＝12﹣4﹣5＝3．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式：3m3﹣12m＝ 3m（m﹣2）（m+2） ．
【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
解：3m3﹣12m
＝3m（m2﹣4）
＝3m（m﹣2）（m+2）．
故答案为：3m（m﹣2）（m+2）．
【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
12．二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线 ．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线求解即可．
解：二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴公式为是解题关键．
13．如图，菱形OBAC的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C的坐标为（4，3），则k的值为 32 ．
【分析】利用点C坐标求出菱形边长为5，继而求出点A坐标得到反比例函数解析式中的k值即可．
解：延长AC交x轴于点D，
∵C（4，3），
∴OD＝4，CD＝3，
∴OC＝AC＝5，
∴A（4，8），
∴k＝xy＝4×8＝32，
反比例函数图象在第一象限，
∴k＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
14．如图，△ACD是圆内接三角形，点B是圆上一点，连结AB，BD，BD与AC交于点E，且满足AB＝AC，∠BAC＝∠CAD．若CD＝2，AD＝3，则CE＝ 1 ．
【分析】由ASA判定△ABE≌△ACD，得到AE＝AD＝3，由△CDE∽△CAD，推出CD：CA＝CE：CD，得到2：（3+CE）＝CE：2，即可求出CE的长．
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD＝3，
∵∠CDE＝∠BAC，∠CAD＝∠BAC，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA＝CE：CD，
∴2：（AE+CE）＝CE：2，
∴2：（3+CE）＝CE：2，
∴CE＝1或CE＝﹣4（舍去）．
故答案为：1．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，关键是证明△ABE≌△ACD（ASA），得到AE＝AD＝3，证明△CDE∽△CAD，得到2：（3+CE）＝CE：2．
15．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于 ．
【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝，FG＝AG﹣AF＝，即可求解．
解：如图，延长BC，AG交于点H，
∵BE：EC＝3：2，
∴设BE＝3x，EC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝5x，
∴DF＝2x，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△HEF，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝，AF＝FH，
∴CH＝EH﹣EC＝x，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△HCG，
∴，
∴＝，
∴设AG＝10y，GH＝11y，
∴AH＝21y，
∴AF＝×2＝，
∴FG＝AG﹣AF＝，
∴AF：FG＝21：4＝，
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
三、解答题（共55分）
16．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：
＝1+4﹣（﹣1）+2×
＝1+4﹣+1+
＝6．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．第19届杭州亚运会开幕式以文化为底色，融科技之力与艺术之美，绘出满是中华优秀传统文化意韵的动人画卷．在运动员人场仪式上，展示国家姓名的花窗背景镶嵌着梅、兰、竹、菊图案，中心场地不时切换出梅、兰、竹、菊的精致刺绣样式，以君子之风迎八方来客，为“同住亚细亚”的广阔胸怀添上生动注脚．为了让学生深入了解中国文化，李老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义．
（1）小辰随机抽取一张卡片，抽中“兰”的概率为 ；
（2）若小雅先从这四张卡片中随机抽取一张（不放回），然后小希从剩下的卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求她们两人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及她们两人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，小辰随机抽取一张卡片，抽中“兰”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中她们两人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的结果有：AC，CA，共2种，
∴她们两人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18．新年平安，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是： y＝100+20x ；
（2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？
【分析】（1）利用平均每周的销售量＝100+40×，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）利用每周的销售利润＝每顶的销售利润×每周的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可确定结论．
解：（1）根据题意得：y＝100+40×＝100+20x．
故答案为：y＝100+20x；
（2）根据题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x1＝3，x2＝20，
当x＝3时，68﹣x＝68﹣3＝65＞58，不符合题意，舍去；
当x＝20时，68﹣x＝68﹣20＝48＜58，符合题意．
答：每顶头盔应降价20元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，csB＝，求CG的长．
【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥BC，根据平行线的性质得到OD⊥HG，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据余弦的定义求出⊙O的半径，根据三角形中位线定理求出BC，再根据余弦的定义求出BG，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，
∴∠HOD＝∠B，
∴cs∠HOD＝，即＝＝，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，
∵csB＝，
∴＝，即＝，
解得：BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．
【点评】本题考查的是切线的判定、三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理是解题的关键．
20．深圳市某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，获得数据如表：
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象；
（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为 3.0 米；
（3）求该抛物线的表达式；（结果用一般式表示）
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 2.7 米．（结果精确到0.1米）
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）观察函数图象可得答案；
（3）用待定系数法可得解析式；
（4）结合解析式，令x＝3可解得答案．
解：（1）描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）根据函数图象和表格数据可知，对称轴为直线x＝＝2，
∴顶点坐标为（2，3），
∴水流最高点距离地面的高度为3.0米，
故答案为：3.0；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
将（5，0）代入解析式得，9a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3＝；
（4）当x＝3时，y＝﹣（3﹣2）2+3＝≈2.7，
∴大理石雕塑的高度约为2.7米，
故答案为：2.7．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数解析式．
21．【问题背景】
（1）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图1，将它放入一个直角三角形中，已知∠BCA＝90°，∠B＝30°，顶点D、E、F、G刚好落在三边上，求AB的长；
【问题提出与解决】
（2）小颖同学受到启发，将该教具放入如图2所示的直角坐标系中，顶点A、B、C分别落在坐标轴上，提出问题：如果反比例函数图象经过顶点D，求k的值；
（3）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将该教具放入圆内，使圆经过其顶点A、B、C，提出问题：求该圆的面积．
【分析】（1）由题意知GD＝2，GF＝4，GF∥AB，∠B＝30°，再用解直角三角形的方法即可求解；
（2）证明△BAO∽△CBF，求出AO＝，BO＝，同理可得AE＝，DE＝，进而求解；
（3）设OF＝x，OE＝4﹣x，在Rt△COF中，由勾股定理得：OC2＝CF2+OF2＝（）2+x2，在Rt△BOE中，由勾股定理得：OB2＝BE2+OE2＝（）2+（4﹣x）2，求出x值，进而求解．
解：（1）如图所示：
由题意知GD＝2，GF＝4，GF∥AB，∠B＝30°，
∴∠CFG＝∠B＝30°，∠A＝60°，
∴CG＝GF＝2，AG＝＝，
∴AC＝+2，
则AB＝2AC＝+4；
（2）如图所示：过D作DE⊥x轴于E，
由题意知，AB＝1．AD＝4，CF＝1，BF＝3，∠DAB＝∠ABF＝∠CFB＝∠AOB＝∠DEA＝90°，
在Rt△BCF中，由勾股定理得BC＝＝，
∵∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠CBF，
∴∠BAO＝∠CBF，
∴△BAO∽△CBF，
∴，即，
解得：AO＝，BO＝，
同理△ADE∽△BAO，
∴，即，
解得：AE＝，DE＝，
∴OE＝AO+AE＝，
∴D（﹣，），
∴k＝xy＝﹣×＝﹣；
（3）如图，取AB中点E，作EF⊥FC，取圆心O，连接OB，OC，则OB＝OC，
由正方形的性质CF＝，BE＝，EF＝4，
设OF＝x，OE＝4﹣x，
在Rt△COF中，由勾股定理得：OC2＝CF2+OF2＝（）2+x2，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：OB2＝BE2+OE2＝（）2+（4﹣x）2，
∴（）2+x2＝（）2+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝，
∴⊙O的半径为，
∴圆O的面积＝πr2＝π×（）2＝．
【点评】本题主要考查了正弦、正切，相似三角形的判定与性质，反比例函数，正方形的性质，圆的面积，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．【经验积累】
如图①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一点，连接DE，CE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．
（1）求证AD2＝DF•DE．
（2）（Ⅰ）求证△CDF∽△EDC；
（Ⅱ）若，则的值为 ．
【方法迁移】
（3）如图②，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 ．
【分析】（1）证明△ADF∽△EDA，根据对应边成比例即可求解；
（2）①由正方形的性质可得AD＝CD，由（1）中的结论即可求解；
②根据①中相似三角形的对应边成比例即可得出，进而即可求出；
（3）先求出CQ，PQ的取值范围，进而求出的取值范围，即可找到最大值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝∠AED，
∵∠ADF＝∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴，
∴AD2＝DF•DE．
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
由（1）知，
∴，
∵∠CDF＝∠EDC，
∴△CDF∽△EDC，
②∵，
∴，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（3）截取PM＝PC，延长PC至点D，使PD＝PO＝2，在PQ上取点N使得∠PNM＝∠POQ＝120°，如图：
∴△PMN∽△PQO，
∴PM•PO＝PN•PQ，
∵PC＝PM，PD＝PO，
∴PC•PD＝PN•PQ，
∴△PND∽△PCQ，
∴，
∵PM＝2，∠PNM＝60°，
∴点N在圆E上，
当DN经过圆心E时最大，
∵EN＝，DE＝，
∴DN的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
x（米）
0
0.5
2
3.5
5
y（米）
2.25
3
2.25
0
x（米）
0
0.5
2
3.5
5
y（米）
2.25
3
2.25
0