湘教版九年级数学下册 第1章 二次函数1.3 不共线三点确定二次函数的表达式（课件）

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不共线三点确定二次函数的表达式湘教·九年级下册探究新知 一次函数的表达式是 y = kx + b ，只要求出____和____的值， 就可以确定一次函数的表达式. 二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0 ），因此，要确定这个表达式，就需要求出___，___，___的值.kbabc 已知一个二次函数的图象经过三点（1， 3）， （-1， -5）， （3， -13），求这个二次函数的表达式.解 设该二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c .将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13） 分别代入函数表达式， 得到关于 a， b， c 的三元一次方程组：a + b + c = 3 ，a - b + c = - 5 ，9a + 3b + c = - 13解得 a = -3 ， b = 4 ， c = 2 .因此， 所求的二次函数的表达式为 y = -3x2 + 4x + 2 .【教材P21页】已知三个点的坐标， 是否有一个二次函数， 它的图象经过这三个点？（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.解 （1）设有二次函数 y = ax2 + bx + c ， 它的图象经过 P， Q， R 三点， 则得到关于 a， b， c 的三元一次方程组：a+ b + c = -5，a - b + c = 3 ，4a + 2b + c = -3，解得 a = 2 ， b = - 4 ， c = -3.因此， 二次函数 y = 2x2 - 4x – 3 的图象经过 P， Q， R 三点.【教材P21页】（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.解 （2）设有二次函数 y = ax2 + bx + c ， 它的图象经过 P， Q， M 三点， 则得到关于 a， b， c 的三元一次方程组：a+ b + c = -5，a - b + c = 3 ，4a + 2b + c = -9，解得 a = 0 ， b = - 4 ， c = -1.因此， 一次函数 y = - 4x – 1 的图象经过 P， Q， M 三点.y = - 4x – 1 例2中：两点P（1， -5）， Q（-1， 3）确定了一个一次函数 y = - 4x - 1 .点 R（2， -3）的坐标不适合 y = - 4x - 1 ， 因此点 R 不在直线 PQ 上，即P， Q， R 三点不共线.点 M（2， -9）的坐标适合 y = - 4x - 1，因此点 M在直线 PQ 上，即 P，Q，M 三点共线.（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.例2表明： 若给定不共线三点的坐标， 且它们的横坐标两两不等， 则可以确定一个二次函数； 而给定共线三点的坐标， 不能确定二次函数.（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.可以证明： 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 还可以证明： 若给定不共线三点的坐标， 且它们的横坐标两两不等， 则可以确定唯一的一个二次函数， 它的图象经过这三点.用顶点式求二次函数解析式.已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0), 求二次函数解析式.解：∵抛物线顶点为A(1,-4),∴设抛物线解析式为 y = a(x-1)2-4,∵点 B（3，0）在图象上，∴0 = 4a-4, ∴ a = 1,∴ y = (x-1)2 - 4,即 y = x2-2x-3.用交点式求二次函数解析式已知一抛物线与x轴交于点 A（-2，0），B（1，0），且经过点 C（2，8）.求二次函数解析式.解：A（-2，0），B（1，0）在 x 轴上，设二次函数解析式为 y = a(x+2)(x-1).又∵图象过点 C（2，8），∴ 8 = a(2+2)(2-1), ∴a=2,∴ y = 2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4. 练习已知二次函数 y = ax2+ bx + c 的图象经过三点 A（0，2）， B（1，3），C（－1，－1）， 求这个二次函数的表达式.c = 2，a + b + c = 3 ，a - b + c = -1，解 设这个二次函数为 y = ax2 + bx + c 解得 a = -1 ， b = 2 ， c = 2.二次函数表达式 y = -x2 + 2x+ 2.【教材P23页】随堂练习选自《创优作业》1. 若抛物线经过点 (3, 0)和(2, －3), 且以直线 x ＝1为对称轴, 则该抛物线的表达式为（ ） A．y＝－x2－2x－3 B．y＝x2－2x＋3 C．y＝x2－2x－3 D．y＝－x2＋2x－3C选自《创优作业》2. 抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 与 x 轴的两个交点分别为(－1, 0), (3, 0),其形状和开口方向与抛物线 y＝－2x2 相同,则抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的表达式为（ ） A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5 C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6D选自《创优作业》3.（分类讨论题）已知抛物线过点 A（2,0）,B（-1,0）, 与 y 轴交于点 C, 且 OC ＝2, 则这条抛物线的表达式 为（ ） A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2－x－2 或 y＝－x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2 或 y＝x2＋x＋2C4. 已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 如图所示, 则此抛物线 的表达式为_________________．选自《创优作业》　y ＝－x2＋2x＋3　课堂小结 求二次函数解析式的三种表达式的形式. (1)已知三点坐标,设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c. (2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k. (3)已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为 y = a(x-x1)(x-x2).