【突破压轴冲刺名校】 压轴专题06 数列综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用）

这是一份【突破压轴冲刺名校】 压轴专题06 数列综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用），文件包含突破压轴冲刺名校压轴专题06数列综合问题小题综合2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破江苏专用原卷版docx、突破压轴冲刺名校压轴专题06数列综合问题小题综合2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破江苏专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2021·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
【答案】D
【分析】根据题意，由等差数列的性质及前项和公式依次分析选项，综合即可得出答案．
【详解】解：由题意，又，所以，故选项正确；
由，且，，，得，解得，选项正确；
由题意当时，，当时，，
所以，，故时，的最大值为10，故选项错误；
由于，数列是递减数列，当时，，当时，；
当时，，当时，，
所以当时，，当时，，当时，，
故数列中最小的项为第6项，选项正确．
故选：．
2．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（ ）
A．47B．48C．57D．58
【答案】C
【分析】将数列的项分组，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，由此列式，求得，结合，即可求得答案.
【详解】将数列分组为（），（，），（，，），（，，，），…，
设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，
则 ，
此时数列共有项数为 ，
即得，解得 由于 ，
而，故 ，
又,故符合条件的m,的最小值为11，
则满足且的n的最小值为 ，
故选：C
【点睛】本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，这是解题的关键所在.
3．（2022·江苏·高三专题练习）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，
当时，；
当时，，
也满足，所以，
所以，
所以，
又对一切恒成立，
所以，整理得，解得或.
即实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
4．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）已知数列满足，．记数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意首先整理所给的递推关系式，得到数列的通项的范围，然后利用裂项相消法求和即可确定前100项和的范围．
【详解】解：因为，所以，所以，
，
，故，
由累加法可得当时，
，
又因为当 时， 也成立，所以，
所以，
，故，
由累乘法可得当 时，，
所以，所以．
故选：A．
5．（2023·江苏·统考一模）已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据与的关系结合等比数列的概念可得，进而可得，然后结合条件可得，然后分类讨论即得.
【详解】因为，
当时，，解得，
当时，，则，
即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，又，
所以为首项为2，公差为1的等差数列，
则，则，
所以，又，
则，又，
所以，
当n为奇数时，，而，则，解得；
当n为偶数时，，而，则；
综上所述，实数的取值范围为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推关系构造数列求数列的通项公式，然后通过讨论结合数列不等式恒成立问题即得.
6．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）已知数列，，，则当时，下列判断不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．存在正整数k，当时，恒成立
【答案】C
【解析】根据递推关系式利用数学归纳法证明A正确，利用分析法证明B正确，取特值可说明C不正确，两边平方后利用放缩法可得，即可得到，分析恒成立的条件即可.
【详解】，,
当时，，当时取等号，
假设时，，
当时，，由函数在上单调递增知
，
由以上可知，对成立，故A正确.
若成立，则需成立，即成立，
而成立，故原命题，B正确；
取，则，，此时，，所以可知C不正确；
，
故，
故
取的正整数，则有时，恒成立，故D正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数学归纳法，分析法证明，特值法排除，放缩法等不等式的性质，考查推理能力，运算能力，属于难题.
7．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．均构成等比数列D．
【答案】B
【分析】根据已知写出、、的通项公式且时，应用累加法求通项，进而判断各选项的正误.
【详解】据题意知：，
∴，A错误；
，
当时，，D错误；
∴，
由也满足上式，则，
所以不构成等比数列，C错误；
由上，，则，B正确.
故选：B．
二、多选题
8．（2023秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考期末）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A,求出，再将转化为,即可证明，
对于B,利用A的结论求出，再利用基本不等式，即可证明.
对于C，求出，即可判断正误，
对于D，构造函数，即可判断正误
【详解】，，解得：
时，，
整理得：
故是等差数列，选项A正确；
，则，，选项B正确；
，选项C错误；
令，，
在递增，，则
即，选项D正确；
故选：ABD.
9．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【答案】BD
【分析】由等差数列前n项和有最大值，得数列为递减数列，分析的正负号，可得的最大值的取到情况.
【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，
前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理，，，
前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
10．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的，满足，则下列选项之中，可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.
【详解】当时，则有：
①当，则为非零常数列，故，符合题意，A正确；
②当，则为单调数列，故恒不成立，即且不合题意；
当时，可得，则有：
①当，若为偶数时，则；
若为奇数时，则；
故符合题意，B正确；
②当，若为偶数时，则，且，即；
若为奇数时，则，且，即；
故符合题意，C正确；
③当，若，可得，
∵，则，可得，则，这与等比数列相矛盾，
故和均不合题意，D错误.
故选：ABC.
11．（2021·江苏·统考模拟预测）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．D．
【答案】ACD
【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.
【详解】因为，所以，
从而，，所以，
所以，又，是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，即，
又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，
所以是递增数列，故A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，所以不是等比数列，故B错误.
因为
，
而
，从而，
于是，，故C正确.
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：数列单调性的一般判断步骤：
（1）先计算的结果，然后与比较大小（也可以计算的值，然后与比较大小，但要注意项的符号）；
（2）下结论：若，则为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列.
12．（2021秋·江苏·高三校联考阶段练习）设和分别为数列和的前n项和.已知，，则（ ）
A．是等比数列B．是递增数列
C．D．
【答案】ACD
【分析】由已知结合的关系及等比数列的定义判断数列即可确定A、C正误，应用作差法比较的大小关系判断B正误，利用错位相减法求，再由作差法判断的大小判断D.
【详解】由，当时，，即，又，
∴，即，
∴是首项为，公比为的等比数列，故，A正确；
由，则，即是递减数列，B错误；
又，则，C正确；
①，②，
①-②得：，
∴，则，
∴，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用及等比数列的定义求的通项公式，综合运用作差法、错位相减法比较大小判断数列单调性、求前n项和，进而判断各选项的正误.
13．（2021秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．记第n个正方形的边长为，则下列结论正确的是（ ）
A．，都有
B．，都有
C．当时，
D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得第n个正方形与第个正方形边长的关系，然后由等比数列的通项公式和求和公式进行逐一验证即可.
【详解】对于A，记第n个正方形边长为，由题可知：，，，……，
所以，所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，
， ，设，
而，所以A错误.
对于B，，故B正确.
对于C，，，设数列{}的前n项和为，
令，化简得：
，设，则有：，解得：，即，所以，故C正确.
对于D，，，故在上单调递增，，
因为，故D错误.
故选：BC.
14．（2022秋·江苏南通·高三期中）已知数列满足，则（ ）
A．≥2B．是递增数列
C．{-4}是递增数列D．
【答案】ABD
【分析】根据所给的递推公式，结合选项构造对应的表达式推导即可
【详解】对于A，因为，故，所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，由A可得为正数数列，且，则，故为递增数列，且，根据对勾函数的单调性，为递增数列，故B正确；
对于C，由，由题意，，即可知不是递增数列；
对于D，因为，所以，所以，
所以，即.
故选：ABD
15．（2022春·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（ ）
A．为单调递增的等差数列B．
C．为单调递增的等比数列D．使得成立的的最大值为6
【答案】BCD
【解析】令，利用可得，，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，，可推出，可得D正确.
【详解】令，则，
，，
因为是等比数列，所以，即，，，B正确；
，是公差为的递减等差数列，A错误；
，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；
，，，
时，，时，，时，，，时，，又，，所以使得成立的的最大值为6，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.
16．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．若，则
C．若，则D．当时，
【答案】ACD
【分析】利用等差数列的通项公式可判断A；利用已知条件结合等差数列的通项公式可判断B；利用等差数列的求和公式可判断C；利用等比数列求和公式可判断D.
【详解】对于A，当时，，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故A正确；
对于B，由已知，是公差为的等差数列，则，
是公差为的等差数列，则，即，解得：或，故B错误；
对于C，，解得：，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
17．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（ ）
A．数列为等比数列B．数列单调递增
C．D．数列的前项和为，则.
【答案】AC
【分析】根据定义结合对数的运算性质和错位相减求和，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故A正确；
因为，所以数列不是单调递增数列，故B错误；
因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，
所以，故C正确；
因为，所以
设，则
所以，
所以，从而数列的前项和为，故D错误.
故选：AC.
18．（2022春·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校考阶段练习）在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．
A．数列为等差数列
B．
C．当取最大值时，n的值为51
D．当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
【答案】ACD
【分析】由已知结合等差中项的定义证明等差数列可判断A；令，求得判断B；由等差数列的性质及等差数列的通项公式求得，利用数列的正负可求得取最大值时n的值判断C；数列的正负，知 ，，，又，可知数列前n项和取得最大值时，n的值判断D.
【详解】对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确．
故选：ACD
19．（2022秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，都有
B．对于任意的，数列不可能为常数列
C．若，则数列为递增数列
D．若，则当时，
【答案】ACD
【分析】A由递推式有上，结合恒成立，即可判断：B反证法：假设为常数列，根据递推式求判断是否符合，即可判断；C、D由上，讨论、研究数列单调性，即可判断.
【详解】A：由，对有，则，即任意都有，正确；
B：由，若为常数列且，则满足，错误；
C：由且，
当时，此时且，数列递增；
当时，此时，数列递减；
所以时数列为递增数列，正确；
D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设为常数列求通项，判断是否与矛盾；对于C、D，将递推式变形为，讨论、时研究数列的单调性.
20．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对于A选项，只需判断；
对于B选项，通过通项公式可求得；
对于C选项，将条件转化为，可判断错误；
对于D选项，将数列放缩成等比数列求和，可判断正确.
【详解】由条件，两边同时除以，得，
∴∴，∴，
对于A选项，∵，∴，∴，故A选项正确；
，，所以B选项错误；
对于C选项，，等价于，由极限思想知，当时，，故C选项错误；
对于D选项，，
∴
，又∵，所以D选项正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查了数列由递推公式求通项公式，以及关键对通项公式的形式进行分析，放缩，判断.属于较难题.
21．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．存在使得
【答案】BC
【分析】利用退位相减法可得数列的通项及即可判断A选项，按照给出的定义求出即可判断B选项，数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.
【详解】当时，，
当时，由，得，故，即，
所以数列为等比数列，首项，公比，故，
A选项错误；
则，所以，
，B选项正确；
当时，，
假设当时，成立，
当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，
故，C选项正确；
D选项，当时，由知不成立，
当时，由C选项知：，则 ，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；
故选：BC.
【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.
三、填空题
22．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______.
【答案】
【分析】根据题意，依次讨论中0与1的个数，从而得解.
【详解】依题意，可知经过一次变换，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，
因为数列：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，
所以有项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列中有7个1，8个0；
有项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列中有23个1，22个0；
有项，23个1变为46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列中有67个1，68个0；
所以数列的所有项之和为.
故答案为：.
23．（2022·江苏苏州·校联考模拟预测）数列满足，，则前40项和为________．
【答案】
【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，
【详解】当时，，
故
，
当时，，
所以，
所以，
当时，；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
故
，
故前40项和为，
故答案为：
24．（2022春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，对任意的，且恒成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】分类讨论，根据已知，利用数列的前n项和得到数列的递推式，再通过数列的递推式，分类讨论求出数列的通项公式，再利用函数的单调性求出最值进行求解．
【详解】由，得；
当时，
．
若为偶数，则，∴，（为正奇数）；
若为奇数，则，（为正偶数）．
函数（为正奇数）为减函数，最大值为，
函数（为正偶数）为增函数，最小值为．
若恒成立，则，即．
故答案为：．
25．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）已知为数列的前n项和，数列满足，且，是定义在R上的奇函数，且满足，则______．
【答案】0
【分析】利用数列通项公式与前n项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出通项公式.根据和f(x)是R上奇函数可得f(x)是周期为4的函数，且f(0)＝f(2)＝0.，将用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算时即可“去掉”，由此即可求出答案.
【详解】，，
两式相减得，，即，
，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，
，.
是定义在R上的奇函数，且满足，
令，则，
又＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4为周期的周期函数.
其中能被4整除，
.
故答案为：0．
【点睛】本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考查了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.
四、双空题
26．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为1，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是____________，至少需要前____________个正方形的面积之和超过2．（参考数据：，）．
【答案】
【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解.
【详解】
因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，
且外围第一个正方形的边长为1，所以，,
由勾股定理有：，
设第个正方形的边长为，则
，，……，，
所以，
所以第7个正方形的周长是，
第n个正方形的面积为，
则第1个正方形的面积为，
则第2个正方形的面积为，
则第3个正方形的面积为，
……
则第n个正方形的面积为，
前n个正方形的面积之和为，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．
故答案为：，4.
27．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）最早的数列从何而来，也许结绳记事便是人类最早跟数列打交道的朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列满足：第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，记为数列的前项和.则______，当时，若存在，使得，则的最小值为______.
【答案】
【分析】利用等差数列的前项和公式判断出前项为前组的和，再利用等比数列的前项和即可求出；假设前项和为前组的和，由已知得，该问题可以转化为为的整数幂，即要保证被消去，由此可知要加上组的部分项才能被消去，可求出满足题意的最小值，即可求出的最小值，最后利用即可求出最小值.
【详解】设第一组为，第二组为，，第三组为，，，第组为，，，，则，解得，故数列的前组共项，
即
，
当，即，
若前项和为前组的和，即
，
由已知得，整理得
由此可知为的整数幂，其中为的整数幂，则应该被消去，
故若前项和应再加上组的部分项，
设应加上组的前项时才能被消去，
即，，
则为等式成立的最小值，此时，
故
,
所以，所以的最小值为，
则的最小值为.
故答案为：，.
【点睛】解决本题的关键是利用分组求和法求出，利用已知条件将问题转化为为的整数幂的问题.
28．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是_______.若，，且，则整数_______.
【答案】
【解析】由题意得出，由化简可解得，可得出的取值范围；当时，计算得出，可求得，由可求得的取值范围，进而可求得整数的值.
【详解】对任意的，，由，即，
解得，由于，所以，，
由于数列是递增数列，则，可得，化简可得，
解得，所以，的取值范围是；
，
等式两边取倒数可得，，
当时，，
，
，所以，，
所以，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用数列的单调性求的取值范围，同时也考查了裂项相消法，考查计算能力，属于难题.
29．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列满足其中，是公比为的等比数列，则__________（用表示）；若，则__________.
【答案】 1024
【分析】根据已知得出，则，即可得出，根据已知得出，可得到，根据已知得出，结合条件即得.
【详解】时，，即，，
则，
是公比为的等比数列，
，即；
，
中的项同号，
时，，
，
则中的项都为正，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
解得，
.
故答案为：；1024.
30．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）已知数列满足，，且．则数列的通项公式为________．若，则数列的前项和为________．
【答案】 ，
【分析】（1）根据递推关系求得，利用累加法求得的通项公式；
（2）代入求得的，化简，得，
利用裂项相消法求得前n项和.
【详解】解：，，可得，，
又，
则，
上式对也成立，
所以，；
由，可得，
则数列的前项和为
．
故答案为：，；．
【点睛】关键点点睛：求通项时，累加法求和需要考虑的情况；化简成可以裂项的形式，从而利用裂项相消法求和.