河南省南阳市镇平县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 9 的算术平方根是（ ）
A. 3B. －3C. ±3D. 81
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质计算即可；
【详解】9的算术平方根是3．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式，根据幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式分别计算判断即可．
详解】解：A. ，故此选项不符合题意；
B. ，故此选项不符合题意；
C. ，故此选项不符合题意；
D. ，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 一组数据共40个数，分为5组，第1组到第3组的频数之和为27，第4组的频率是，则第5组的频数为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了频数与频率，根据频数=总次数×频率先求出第四组的频数，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：第4组的频数，
∵第1组到第3组的频数之和为27，
∴第5组的频数，
故选：B．
4. 如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（ ）
A. 14B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．直接根据勾股定理解答即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴
故选：D．
5. 如图，在数轴上点所表示的数分别为，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是勾股定理、实数与数轴的关系等知识点，正确运用勾股定理求出的长以及理解数轴上的点与实数的对应关系是解答本题的关键．先根据勾股定理求得，再由即可确定点D所表示的数．
【详解】解：如图：，
∴，
∴点D所表示的数是
故选：D
6. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三个内角角平分线的交点D. 三边高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
7. 在中，．用无刻度的直尺和圆规任内部作一个角，下列作法中不等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、等腰直角三角形、直角三角形的性质、三角形外角的性质逐一判断即可．本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图与性质、直角三角形的性质．
【详解】解：A．此选项是作直角的平分线，则，不符合题意；
B．如图，
此选项是作，由
∴，不符合题意；
C．此选项是作的垂直平分线，可知不一定等于，符合题意；
D．此选项是作和的平分线可知，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法．
【详解】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件，
当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件，
当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件，
故选：．
9. 如图，在中，于点于点交于点，已知，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先由勾股定理求出，再证，得出，即可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由证得是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵
在中，由勾股定理得：
在和中，
，
∴
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，以及完全平方公式，正确根据图形的关系求得和的值是关键；
求出小直角三角形的面积，得出的值，根据勾股定理求出等于大正方形的面积，然后根据完全平方公式求解即可．
【详解】大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，
一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
，即，
，
，即，
或（不符合题意舍去），
故选：C．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 请写出一个比大的负整数_______．
【答案】-2（答案不唯一）
【解析】
【分析】直接利用估算无理数的方法得出一个符合题意的答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴比大的负整数为-2，
故答案为：-2（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数大小是解题关键．
12. 某林木良种䇣育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度的统计图，则此时该基地高度低于的“无絮杨”品种苗约有__________棵．
【答案】460
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体，明确题意，结合扇形统计图中百分比是解决问题的关键．利用1000棵乘以样本中低于的百分比即可求解．
【详解】解：该基地高度低于的“无絮杨”品种苗所占百分比为，
则低于的“无絮杨”品种苗约为：棵，
故答案为：460．
13. 用反证法证明命题“已知的三边长满足．求证：不是直角三角形．”时，第一步应先假设_____．
【答案】为直角三角形
【解析】
【分析】此题考查了反证法，根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可，解题的关键是正确理解反证法的意义及步骤．
【详解】反证法证明命题“已知的三边长满足，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“是直角三角形”，
故答案为：为直角三角形．
14. 如图，在中，，点在上，作交于点，若，，则的长度为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，连接，得出，得出，求出，设，则，，在中，，解得：，即可得出答案．
【详解】解：连接，
，，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
设，则，，
在中，，
解得：，
∴，
故答案为：6．
15. 已知，在中，于点，点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接．当点运动__________秒时，为直角三角形．
【答案】10或3.6
【解析】
【分析】分两种情况，①当时，②当时，分别进行解答即可，此题考查了勾股定理、等腰三角的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
∵于点，
∴，
由勾股定理可得，，
①如图，当时，
，
∴，
∴，
由勾股定理得到，，
∴，
②当时，此时点P与点A重合，即,
∴，
故答案为：10或3.6
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16 （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数运算，整式混合运算；
（1）利用算术平方根的定义、立方根的定义、绝对值的性质进行化简，再进行加减运算，即可求解；
（2）利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，即可求解；
理解“若一个，则称为的立方根，．”，掌握性质及公式 “、、．”是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 近几年购物的支付方式日益增多，主要有A微信；B支付宝；C现金；D其他．某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次一共调查了______名消费者；
（2）求在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图．
【答案】（1）200 （2）36°
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用支付宝支付的人数除以其所占的百分比，即可求解；
（2）先求出现金支付所占的百分比，再求出D种支付方式所占的百分比，最后用乘以D种支付方式所占的百分比即可；
（3）消费者人数乘以A所占的百分比，求出A的人数；消费者人数乘以D所占的百分比，求出D的人数；再补全条形统计图即可．
【小问1详解】
解：本次调查的总人数为（名），
故答案为：200；
【小问2详解】
∵C种支付方式所占百分比：，
∴D种支付方式所占百分比：，
在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为，
【小问3详解】
A支付方式的人数为（名），
D支付方式的人数为（名），
补全图形如下：
【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，掌握两种统计图的作图和由图中获得信息的能力是解题的关键．
18. 小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积．
【答案】这块地的面积是．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答．
【详解】解：连接，
，，
在中，根据勾股定理，得
，
四边形的周长为，
，
，
在中，，
，
，
为直角三角形，
，
答：这块地的面积是．
19. 如图，已知点以及直线于点于点．
（1）在直线上求作一点，使（用无刻度的直尺和侧规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在所作的图中，连接，若，求证：．
【答案】19. 图形见解析
20. 证明见解析
【解析】
【分析】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作线段的垂直平分线交于点C，点C即为所求作；
（2）首先推导出，结合证得．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴．
20. 若定义一种运算：，如：．
（1）计算：．
（2）将（1）计算所得的多项式分解因式；
（3）若，求（1）中计算所得的多项式的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义运算，整式混合运算，分解因式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据定义，列式进行计算即可；
（2）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；
（3）将整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴．
21. 如图，在中，，，点E在上，作于点D，若，求证：D为中点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；
根据角平分线的判定可得，求出，可得，再根据等腰三角形三线合一可得结论．
【详解】证明：如图，
∵，，，
∴，
又∵在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即D为的中点．
22. 如图，是等腰直角的斜边上的两个动点，，将绕点A逆时针旋转后与重合，连接．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，则的长度为__________．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）8
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解；
（2）由“”可证 ，可得；
（3）根据勾股定理解答即可．
【小问1详解】
在等腰直角三角形中，
，
绕点A逆时针旋转后与重合，
，
，
，
【小问2详解】
根据旋转的性质得：
，，
，
，
在和中
，
，
【小问3详解】
由（1）、（2）得，，旋转的性质得
，，
，，
，，
中
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键．
23. 如图，在中，，，点为边上一点，且，点和点关于直线对称，连接．
（1）当时，的形状为_____________；
（2）当时，的形状为______________，试用等式表示和之间的数量关系，并说明理由．（提示：可连接；
（3）若可沿的方向平移后与重合，则此时的度数为_______°，此时可看作是绕点逆时针旋转______°得到的．
【答案】（1）等边三角形；
（2）等腰直角三角形，，理由见解析．
（3）72，108．
【解析】
【分析】此题重点考查轴对称的性质、平移的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）由，，，得，则，所以，因为垂直平分，所以，则，所以，则是等边三角形，于是得到问题的答案；
（2）因为，所以，则，求得，则，所以是等腰直角三角形，，连接，则，所以，则，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案；
（3）如图2，连接，因为可沿的方向平移后与重合，所以，，则，所以，则，由，求得，则，，所以，而，此时可看作是绕点逆时针旋转得到的，于是得到问题的答案．
【小问1详解】
解：，，，
，，
，
，
点和点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【小问2详解】
，
理由：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
连接，则，
，
是等边三角形，
，
故答案为：等腰直角三角形．
【小问3详解】
如图2，连接，
可沿的方向平移后与重合，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
此时可看作是绕点逆时针旋转得到的，
故答案为：72，108．