2022-2023学年北京二十中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京二十中九年级（下）开学数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，则m的值为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
2.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. 圆B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 正五边形
3.关于二次函数y=2(x−4)2+6，下列说法正确的是( )
A. 最大值为4B. 最小值为4C. 最大值为6D. 最小值为6
4.一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为( )
A. 至少有1个球是黑球B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球是黑球D. 至少有2个球是白球
5.如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m.在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是( )
A. 6.0mB. 5.0mC. 4.0mD. 3.0m
6.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且∠ADC=30°，则⊙O的半径为( )
A. 2.5
B. 5
C. 7.5
D. 10
7.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P=120°，⊙O的半径为6cm，则图中CD的长为( )
A. πcmB. 2πcmC. 3πcmD. 4πcm
8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(2,m)，且经过点B(5,0)，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac<0；②a−b+c>0；③m+9a=0；④若此抛物线经过点C(t,n)，则t+4一定是方程ax2+bx+c=n的一个根．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
10.把抛物线y=12x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
11.请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2−2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
12.2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 .(结果精确到0.1)
13.以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(−2,1)，则C点坐标为 ．
14.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD/​/OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
15.如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE与AC于点F，则BFFE的值是 ．
16.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a≠0)与直线l：y=kx+n(k≠0)如图所示，有下面四个推断：
①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最大值；
②抛物线C关于直线x=32对称；
③关于x的方程ax2+bx+c=kx+n的两个实数根为x=−4，x=0；
④若过动点M(m,0)垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点P(m,y1)和Q(m,y2)，则当y1其中所有正确推断的序号是______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：x2+4x+3=0．
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
已知m是方程3x2−2x−5=0的一个根，求代数式(2m+1)(2m−1)−(m+1)2的值．
19.(本小题5分)
下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC=AD，BC=______．
∴BA ______OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线______(填写推理依据)．
20.(本小题5分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2−m)x+1−m=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m<0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
21.(本小题5分)
已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
(1)求此二次函数的表达式；
(2)直接写出当x取何值时，y≤0．
22.(本小题5分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=2OE，若AB=4，求CD的长．
23.(本小题6分)
2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象(A.太空冰雪实验；B.液桥演示实验；C.水油分离实验；D.太空抛物实验)，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
(1)小宇从四个实验中任意抽取−一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A.太空冰雪实验”的概率是______；
(2)若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B.液桥演示实验”和“C.水油分离实验”的概率．
24.(本小题6分)
一位运动员在距篮圈中心(点C)水平距离5m处竖直跳起投篮(A为出手点)，球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3m时，达到最高点(点B)，此时高度为3.85m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心(点C)到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.75m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
25.(本小题6分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：EF为⊙O的切线．
(2)若CD=5，AC=6，求EF的长．
26.(本小题6分)
已知二次函数y=ax2−6ax+2(a≠0)．
(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
(2)已知点(4,y1)，(2,y2)，(−1,y3)，(−2,y4)都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 ______y2(用“>”“=”“<”填空)；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
27.(本小题7分)
已知等边△ABC，点D、点B位于直线AC异侧，∠ADC=30°．
(1)如图1，当点D在BC的延长线上时，
①根据题意补全图形；
②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：
Ⅰ.AD+CD=BD；
Ⅱ.AD2+CD2=BD2，其中正确的是______(填“Ⅰ”或“Ⅱ”)；
(2)如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断(1)②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．
28.(本小题7分)
给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,−2)，B(6,−2)，C(−1,5)．
(1)在点D(2,2)，E(−4,0)，F(6,0)中，与点O关于线段AB双对合的点是______；
(2)点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，
∴m=0，
故选：C．
将x=0代入方程x2−2x+m=0，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，将x=0代入方程是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：A．
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．
3.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=2(x−4)2+6，a=2>0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x=4时取得最小值6．
故选：D．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
4.【答案】A
【解析】解：至少有1个球是黑球是必然事件，A正确；
至少有1个球是白球是随机事件，B不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，C不正确；
至少有2个球是白球是随机事件，D不正确；
故选：A．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】C
【解析】解：根据物高与影长成正比得：CDDE=1.00.9，
即1.0DE=1.00.9
解得：DE=0.9，
则BE=2.7+0.9=3.6米，
同理ABBE=1.00.9，
即：AB3.6=1.00.9，
解得：AB=4．
答：树AB的高度为4米，
故选：C．
根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．
本题考查了相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
6.【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵∠D=12∠AOC，∠D=30°，
∴∠AOC=60°．
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=5，
∴⊙O的半径为5．
故选：B．
连接OC，得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，从而求出圆的半径．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OC，OD，
∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD=360°−∠OCP−∠ODP−∠CPD=360°−90°−90°−120°=60°，
∴CD的长=60π×6180=2π(cm)．
故选：B．
连接OC，OD，求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴ac<0，故①正确．
∵抛物线顶点为A(2,m)，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
∵抛物线过点(5,0)，
∴由对称性可得抛物线经过点(−1,0)，
∴把(−1,0)代入y=ax2+bx+c，得a−b+c=0，故②错误，
∵−b2a=2，
∴b=−4a，
∴把b=−4a代入a−b+c=0，得5a+c=0，
∴c=−5a，
∵(2,m)为抛物线顶点，
∴4a+2b+c=m，
∴4a−8a−5a=m，即9a+m=0，故③正确，
∵点C(t,n)在抛物线上，
∴点C关于对称轴对称的点(4−t,n)在抛物线上，
∴4−t为ax2+bx+c=n的一个根，故④错误，
综上可知，所有正确结论的序号是①③．
故选：B．
由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点(5,0)可判断②，由抛物线对称轴为直线x=2可得b=−4a，由a−b+c=0可得c=−5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4−t可判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】(0,5)
【解析】解：令x=0，则y=5，
∴C(0,5)．
故答案为：(0,5)．
根据y轴上点的坐标特点，令x=0，求出y即可得出结论．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，y轴上点的坐标特点，属于基础题．
10.【答案】y=12x2+x−32
【解析】解：把抛物线y=12x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=12(x+1)2+1−3，即y=12x2+x−32．
故答案为：y=12x2+x−32．
可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
11.【答案】0(答案不唯一)．
【解析】解：a=1，b=−2．
∵Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×c>0，
∴c<1．
故答案为：0(答案不唯一)．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
12.【答案】0.9
【解析】解：∵幼树移植数为20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故答案为：0.9．
大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
13.【答案】(2,−1)
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点A和C关于对角线的交点O对称，
又∵O为原点，
∴点A和C关于原点对称，
∵点A(−2,1)，
∴点C的坐标为(2,−1)，
故答案为(2,−1)．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答．
根据平行四边形是中心对称图形，再结合▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
14.【答案】20°
【解析】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴∠OAB=90°．
∵∠B=50°，
∴∠AOB=40°，
∴∠ADC=12∠AOB=20°．
∵AD/​/OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°，
故答案为：20°．
连接OA，由切线的性质得出∠OAB=90°，结合∠B=50°，得出∠AOB=40°，由圆周角的性质得出∠ADC=20°，再由平行线的性质得出∠OCD=∠ADC=20°．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
15.【答案】12
【解析】【分析】在▱ABCD中，AB/​/CD，AB=CD，根据DE=DC，可得AB=CD=DE=12CE，再由AB/​/CD，可得△ABF∽△CEF，对应边成比例即可求得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
【解析】解：在▱ABCD中，AB/​/CD，AB=CD，
∵DE=DC，
∴AB=CD=DE=12CE，
∵AB/​/CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴BFFE=ABCE=12．
故答案为：12．
16.【答案】①③
【解析】解：由图象可知，抛物线C开口向下，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最大值，
故①正确；
∵抛物线C与x轴的交点为(−4,0)和(1,0)，
∴对称轴为直线x=−32，
故②错误；
∵抛物线C：y=ax2+bx+c(a≠0)与直线l：y=kx+n(k≠0)的交点为(−4,0)和(0,4)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=kx+n的两个实数根为x=−4或x=0，
故③正确；
如图所示：
由图象可知，当y10或m<−4，
故④错误．
故答案为：①③．
由抛物线C开口向下，可以判断①；由抛物线与x轴的交点可以求出抛物线对称轴；由抛物线与直线的交点可以判断③；根据题意做出直线x=m，结合图象可以判断④．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数与一次函数的交点，二次函数的性质等，关键是掌握二次函数的性质和数形结合的思想方法．
17.【答案】解：分解因式得：(x+1)(x+3)=0，
可得x+1=0或x+3=0，
解得：x1=−1，x2=−3．
【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：由题意可知：3m2−2m−5=0，
即3m2−2m=5，
原式=4m2−1−(m2+2m+1)
=4m2−1−m2−2m−1
=3m2−2m−2，
=5−2
=3．
【解析】根据题意可知3m2−2m−5=0，然后将原式化简后代入即可求出答案．
本题考查整式的化简，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
19.【答案】解：(1)如图，直线AB即为所求．
(2)BD ; ⊥ ;经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线
【解析】(1)见答案；
(2)连接BC，BD．
由作图可知，
AC=AD，BC=BD．
∴BA⊥OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线(经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线)，
故答案为：BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
(1)根据要求作出图形；
(2)连接BC，BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明OD⊥AB即可．
本题考查作图−复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】(1)证明：∵一元二次方程x2+(2−m)x+1−m=0，
∴Δ=(2−m)2−4(1−m)
=m2−4m+4−4+4m=m2．
∵m2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
(2)解：∵一元二次方程x2+(2−m)x+1−m=0，
解方程，得x1=−1，x2=m−1．
∵m<0，
∴−1>m−1．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴−1−(m−1)=3．
∴m=−3．
【解析】(1)证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
(2)用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设解析式为y=ax2+bx+c由表格数据可得：
0=a−b+c0=4a+2b+c−4=a+b+c，
解得：a=2b=−2c=−4，
∴该二次函数的表达式为y=2x2−2x−4；
(2)由表格中数据知，当x=−1和2时，y=0，
∴抛物线与x轴的交点为(−1,0)和(2,0)，
∵抛物线开口向上，
∴当−1≤x≤2时，y≤0．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)由表中数据可得抛物线与x轴的个交点，根据函数的图象和性质得出结论．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键．
22.【答案】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD=2CE．
∵CD=2OE，
∴CE=OE．
∵CD⊥AB，
∴CE2+OE2=2CE2=OC2，
∴2CE2=22，
∴CE= 2，
∴CD=2 2．
【解析】由垂径定理知，点E是CD的中点，即CD=2CE.又CD=2OE，可得CE=OE.根据勾股定理求得CE的长，进而求出CD的长．
本题考查了垂径定理，得出CE=OE是解题的关键．
23.【答案】14
【解析】解：(1)小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A.太空冰雪实验”的概率是14，
故答案为：14；
(2)列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中他恰好抽到“B.液桥演示实验”和“C.水油分离实验”的有2种结果，
所以他恰好抽到“B.液桥演示实验”和“C.水油分离实验”的概率为212=16．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公司求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：以地面为x轴，过B点垂直于地面的直线为x轴，与地面的交点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意得，B(0,3.85)，C(2,3.05)，
∴设抛物线解析式为y=ax2+3.85，
把点C坐标代入解析式得：4a+3.85=3.05，
解得a=−0.2，
∴抛物线解析式为y=−0.2x2+3.85．
设球出手时，他跳离地面的高度为h m，
根据题意可知，h+1.75+0.15=−0.2×9+3.85
解得h=0.15．
答：球出手时，运动员跳离地面的高度是0.15m．
【解析】建立如图所示坐标系，设抛物线的表达式为y=ax2+3.85，依题意可知图象经过C的坐标，由此可得a的值；
设球出手时，运动员跳离地面的高度为hm，则可得h+1.75+0.15=−0.2×9+3.85，解出h即可．
本题考查二次函数的应用，建立适当坐标系求出抛物线解析式是解题关键．
25.【答案】(1)证明：如图，连接OE，

Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠B=∠BCD，
又∵OC=OE，
∴∠OEC=∠BCD，
∴∠OEC=∠B，
∴AB/​/OE，
又∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
(2)解：连接DE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴DE/​/AC，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，

∵CD为斜边中线，CD=5，
∴AB=10，
∵AC=6，
∴BC= AB2−AC2=8，
∴BE=BC2=4，
∵∠B=∠B，∠BFE=∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BEBA，
∴EF6=410，
∴EF=2.4．
【解析】(1)连接OE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=BD，然后再利用等腰三角形的性质证明OE/​/AB，即可解答；
(2)根据CD为⊙O的直径，∠DEC=90°，然后证明DE是△ABC的中位线，再利用相似三角形对应边成比例即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，直线和圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】=
【解析】解：(1)∵二次函数y=ax2−6ax+2(a≠0)．
∴当x=0时，y=2，函数图象的对称轴为直线x=−−6a2a=3，
∴y轴的交点坐标为(0,2)，函数图象的对称轴为直线x=3；
(2)①∵函数图象的对称轴为直线x=3，
∴点(4,y1)和点(2,y2)关于直线x=3对称，
∴y1=y2；
故答案为：=；
②∵函数图象的对称轴为直线x=3，−2<−1<2<3，y1=y2，
∴当开口向上时，则y1=y2当开口向下时，则y1=y2>y3>y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1=y2>y3>0>y4，
∴y3≥0，y4<0，即当x=−1时，y3=a+6a+2≥0，
x=−2时，y4=4a+12a+2<0，
解得−27≤a<−18，
∴a的取值范围为−27≤a<−18．
(1)根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得；
(2)①根据二次函数的性质和图象即可判断出答案；
②根据二次函数的性质即可得出y3=a+4a+1≥0，y4=4a+8a+1<0，解得即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用函数的图象和性质得到关于a的不等式是解题的关键．
27.【答案】Ⅱ
【解析】解：(1)①图形如图所示：
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠D=30°，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴CA=CD=AB，
∵AB+AD>BD，
∴AD+CD>BD.故Ⅰ错误．
∵∠BAC=60°，∠CAD=30°，
∴∠BAD=90°，
∴AB2+AD2=BD2，
∴AD2+CD2=BD2，故Ⅱ正确，
故答案为：Ⅱ；
(2)结论：AD2+CD2=BD2．
理由：如图2中，以AD为边向下作等边△ADE，连接BE．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵∠ADC=30°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AE=AD，∠AED=∠EAD=60°，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴∠AEB=∠ADC=30°，BE=CD，
∴∠BED=∠AED+∠AEB=90°，
∴△BDE为直角三角形，
∴BE2+DE2=BD2，
∴AD2+CD2=BD2．
(1)①根据要求作出图形即可；
②证明AB=CD，∠BAD=90°，利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可；
(2)结论：AD2+CD2=BD2.如图2中，以AD为边向下作等边△ADE，连接BE.证明△BAE≌△CAD(SAS)，推出∠AEB=∠ADC=30°，BE=CD，推出∠BED=∠AED+∠AEB=90°，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28.【答案】D，F
【解析】解：(1)当A点是D点的中点时，对应点为(2,−4)；当B点是D点的中点时，对应点为(14,−4)；
当A点是E点的中点时，对应点为(−4,−6)；当B点是E点的中点时，对应点为(8,−6)；
当A点是F点的中点时，对应点为(−8,−4)；当B点是F点的中点时，对应点为(4,−4)；
当A点是O点的中点时，对应点为(−2,−4)；当B点是O点的中点时，对应点为(10,−4)；
∴D、F与点O关于线段AB双对合，
故答案为：D、F；
(2)①设K(k,0)，
∵A(−1,−2)，T(0,t)，
∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,−t)，
∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，
∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，
∵⊙K的直径为1，
∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，
∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，
∴当圆G与圆H有交点，
∵GH= 1+(t+2)2，
∴ 1+(t+2)2≤2，
解得−2− 3≤t≤−2+ 3；
②∵A(−1,−2)，B(5,−2)，C(−1,4)，K(k,0)，
∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k−5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1,−4)，
∴△ABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，
∵△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，
∴阴影区域与圆K有公共交点，
∵阴影部分是由△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，
如图2时，k−(2k+1)=12+1，解得k=−52；
如图3时，2k+1−k=12+1，解得k=12；
∴−52≤k≤12时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，
设直线EG的解析式为y=k′x+b，
∴(2k−5)k′+b=2(2k+1)k′+b=−4，
解得k′=−1b=2k−3，
∴y=−x+2k−3，
∴M(2k−3,0)，
∵直线y=−x与y=−x+2k−3平行，
∴∠KMN=45°，
∴KM= 2KN=32 2，
如图4时，k−(2k−3)=32 2，解得k=3−32 2，
如图5时，2k−3−k=32 2，解得k=3+32 2，
∴3−32 2≤k≤3+32 2时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
综上所述：−52≤k≤12或3−32 2≤k≤3+32 2时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．
(1)分别求出A、B点关于D点、E点、F点的对称点，在求出A点、B点关于O点的对称点，存在重合点的即为所求；
(2)①设K(k,0)，分别求出A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,−t)，由题意可知点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，当圆G与圆H有交点时，点A与点T(0,t)关于⊙K双对合再由GH= 1+(t+2)2，可得 1+(t+2)2≤2，求出t的值即可；
②分别求出A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k−5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1,−4)，△ABC上的点的对称点在△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，当此区域与圆K有公共交点时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，画出图形，分别求解即可．
本题考查圆的综合应用，弄懂定义，根据定义能去确定对称点的轨迹，再结合两圆的位置关系数形结合解题是关键．幼树移植数(棵)
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数(棵)
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
x
…
−3
−2
−1
1
2
3
…
y
…
12
5
0
−4
0
5
…
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)