第08讲 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习

这是一份第08讲 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习，共8页。学案主要包含了三象限角平分线上点的横，四象限角平分线上点的横等内容，欢迎下载使用。
考点01 平面直角坐标系
1.有序数对：把有顺序的两个数与组成的数对叫作有序数对，记作。
2.注意事项：两个数的顺序不能随意交换。
3.平面直角坐标系：在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为轴或纵轴，取向上为正方向。
4.两个数轴的单位长度可以一致也可以不一致，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
5.点的坐标：过平面内任意一点P分别向轴和轴作垂线，垂足在轴和轴上对应的数分别叫作点P的横坐标和纵坐标，有序数对叫作点P的坐标，记作。
6.表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开；点中，表示点到轴的距离，表示点到轴的距离。
7.坐标平面内任意一点，都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。
8.坐标平面
象限：建立了平面直角坐标系后，坐标平面就被两条坐标轴分成4个部分，分别叫作第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
9.点的坐标的特征
（1）四个象限内点坐标的特征：四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．
（2）数轴上点坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)。注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。
（3）象限的角平分线上点坐标的特征：第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．注：若点P(a，b)在第一、三象限的角平分线上，则a＝b；若点P(a，b)在第二、四象限的角平分线上，则a＝－b。
（4）对称点坐标的特征：P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
（5）平行于坐标轴的直线上的点：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。
（6）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律：第一象限(＋，＋)a＞0，b＞0；第二象限(－，＋)a＜0，b＞0；第三象限(－，－)a＜0，b＜0；第四象限(＋，－)a＞0，b＜0；x轴上正半轴(＋，0)，负半轴(－，0)；y轴上正半轴(0，＋)，负半轴(0，－)；原点(0,0)。
10.用坐标表示地理位置：根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，一般地只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起。利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况，也就是绘制平面图的过程：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
11.用坐标表示平移：
（1）点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)。由上可归纳为：
①在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
②在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
③在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．
（2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移了a个单位长度。
（3）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
考点02 函数的概念
1.常量与变量的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积与圆的半径存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量；
2.“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数．
3.判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不同的值，的取值可以相同． 例如:函数中，时，；时，．
4.函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
5.数学上表示函数关系的方法通常有三种：
⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
⑵列表法：通过列表表示函数的方法．
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
6.关于函数的关系式(即解析式)的理解：
（1）函数关系式是等式． 例如就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数． 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如：是自变量，是的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．
（4）求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．
自变量的取值范围：
7.自变量取值范围：在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
⑵分母中含有自变量：分母不为．
⑶实际问题：符合实际意义．
8.函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：
⑴列表；
⑵描点；
⑶连线．
9.函数解析式与函数图象的关系：
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．
考点03 一次函数
1.一次函数的定义：一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．
2.一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
（1）当，时，仍是一次函数．
（2）当，时，它不是一次函数．
（3）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
3.一次函数的图象及其画法：
（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
4.一次函数的性质
（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
5. 一次函数的图象、性质与、的符号
6.一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
7.用待定系数法求一次函数的解析式：
（1）定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．
（2）用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
8.一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
9.一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
10.一次函数与二元一次方程（组）的关系：
一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
考点04 反比例函数
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义：如图，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（3）反比例函数与一次函数的联系．
一次
函数
，
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小