第11讲 勾股定理与锐角三角函数（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习

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考点01 勾股定理
1.勾股定理
（1）文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
（3）勾股定理的变式：
3.勾股定理的应用
(1)已知直角三角形的两边，求第三边；
(2)表示长度为无理数的线段；
(3)在数轴上作出表示无理数的点；
（4）勾股定理的应用： 。
①利用勾股定理解题时应注意：一要确定直角三角形；二要分清直角边和斜边
②勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
考点02 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足d+b>ee2，那么这个三角形是直角三角形。
2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数.
3.勾股定理的逆定理的应用
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：
(1)先确定最长边，算出最长边的平方；
(2)计算另两边的平方和；
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.
4.互逆命题
（1）一般地，如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（2）每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
考点03 锐角三角函数
1.∠A的锐角三角函数：
正弦：
余弦：
正切：
2.特殊锐角的三角函数值
3.锐角三角函数的取值范围
当A为锐角时， ,tanA>0.
4.锐角三角函数值的增减性
(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大
(2)锐角的余弦值随角度的增大而减小.
(3)锐角的正切值随角度的增大而增大.
5.三角函数值之间的关系
(1)互为余角的三角函数值之间的关系
若∠A+∠B=90°，那么sinA=csB或sinB=csA.
(2)同角的三角函数值之间的关系
,;
考点04 解直角三角形及其应用
1.解直角三角形的定义
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为
a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有如下关系：
(1)三边之间的关系： （勾股定理）.
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
(3)边角之间的关系
(4)知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素.求解的条件有两类：
①已知一边及一锐角；②已知两边。
列表表示如下：
3.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）.
(2)根据条件的特点，选用适当的锐角三角函数去解直角三角形.
(3)得到数学问题的答案.
(4)得到实际问题的答案.
4.解直角三角形问题中常见视角
(1)仰角、俯角视线
如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角
(2)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
(3)方向角
从南北方向线较近一端起到目标方向线所夹的锐角叫做方向角，在找方向角时，要选准原点，在说方向角时要先说“南或北”，后说“东或西”.
(4)坡度与坡角
如图，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，又称坡比，用i表示， 其中坡面与水平面的夹角α叫做坡角。
锐角α三角函数
30°
45°
60°
sinα
csα
tanα
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