2024长沙四大名校高三数学月考压轴题——抽象函数含答案

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1769年达朗贝尔在研究力的合成法则时，导出了函数方程
f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)
1821年柯西对一类方程进行了研究
fx+y=fx+fy
fxy=fx)+f(y
fxy=fxfy
罗巴切夫斯基研究方程
fx+y2=fxf(y)
在这方面做出巨大贡献的有欧拉、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯、哈代、施罗德、盖尔谢凡诺夫等。
柯西方程及其变种
fx+y=fx+fy
变种：
若fx+y=fx∗fy且fx≠0，则fx=ax.
若fxy=fx)+f(yx>0,y>0，则fx=lgax.
若fxy=fxfyx>0,y>0，则fx=xa.
若fx+y=fxfyfx+fy，则fx=kx.
若fx≥0,且x>0,y>0时有fx+y=fx)+f(y+2fxfy，则fx=ax2(a>0).
若fx≥0,且x>0,y>0时有f2x+f2y=f2x+y,则fx=ax(a>0).
若fx≥0,且f2x+y+f2x−y=2f2x+f2y,则fx=a|x|.
若fx+y=fx)+f(y+kxy,则fx=ax2+bx.
若fx+y+fx−y)=2f(x,则fx=ax+b.
若fx+y2=fx)+f(y2,则fx=ax+b.
典型例题
例1 已知fx为R上的单调函数，对任意的x,y∈R 有
fx+y=fx+fy
求函数fx.
例2 已知fx为R上的单调函数，对任意的x,y∈R 有
fx+y2=fx)+f(y2
求函数fx.
例3 设函数fx定义于自然数集上，且f1=1，若对于任意自然数x,y，都有：
fx+y=fx)+f(y+xy ，
求函数fx.
例4 设函数fx在x ≠ 0时，fx≠0，且fx是连续函数，
fx+y=fxfyfx+fy，
求函数fx.
例5 设函数fx是连续函数， fx>0，
fx+y=fx∗fy，
求函数fx.
例6 设函数fx是连续函数， fx>0，
fxy=fx+fy
求函数fx.
一．选择题（共21小题）
1．设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意、，存在使得，则满足条件的集合的个数为
A．3B．5C．7D．无穷个
2．函数，对定义域内任意、，均满足，则称为几何函数，下列选项中不是几何函数的是
A．B．，
C．D．
3．命题：定义在上的函数一定能表示成一个定义在上的偶函数与定义在上的奇函数的和，即；命题：定义在上的严格增函数一定能表示成一个定义在上的严格增函数与定义在上的严格减函数的和，即．下列判断正确的是
A．、均为真命题B．、均为假命题
C．为真命题，为假命题D．为假命题，为真命题
4．设定义在上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是
A．B．
C．，D．（3）（5）
5．定义在上的奇函数满足，且在，上单调递减，若方程在，上有实数根，则方程在区间，上所有实根之和是
A．30B．14C．12D．6
6．已知函数是奇函数，是偶函数，当，时，，则下列选项不正确的是
A．在区间上单调递减B．的图象关于直线对称
C．的最大值是1D．当时恒有
7．定义在，上的函数同时满足以下三个条件：①（1）；②对任意，，成立；③当，，时，总有成立．有下列两个命题：
命题①：函数在定义域内是增函数；
命题②：对任意，，都有成立．
则下列说法正确的是
①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假
8．已知定义在上的函数满足，，在区间，内单调且，则
A．B．5055C．D．1011
9．定义在上的函数满足，且当时，，则
A．B．C．D．
10．若的定义域为，且满足为偶函数，关于成中心对称，则下列说法正确的个数是
①的一个周期为4
②
③的一条对称轴为
④（1）（2）
A．1B．2C．3D．4
11．已知函数，，，有，其中，（a），则下列说法一定正确的是
A．（a）
B．是奇函数
C．是偶函数
D．存在非负实数，使得
12．已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立．若，则不等式的解集是
A．B．C．D．
13．函数的定义域为，若对于任意，，当时都有，则称函数在上为非减函数，设在，上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于
A．B．C．1D．
14．设定义在上的函数单调递增，恒成立，且满足，则（2）
A．B．C．D．
15．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，恒成立，若数列满足且，则下列结论成立的是
A． B．
C．D．
16．已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
17．已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A．B．C．D．
18．如果，同时满足以下三个条件：
①（1）；
②对任意，，成立；
③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”．
有下列两个命题：
命题：若为“理想函数”，则存在，，且，使成立；
命题：若为“理想函数”，则对任意，，都有成立．
则下列说法正确的是
A．命题为假命题，命题为真命题
B．命题为真命题，命题为假命题
C．命题、命题都是真命题
D．命题、命题都是假命题
19．设函数的定义域为，若存在常数满足，，且对任意的，，总存在，，使得，称函数为（a）函数．给出以下四个结论：
①函数是（1）函数；
②函数是（2）函数；
③若函数是（2）函数，则；
④若函数是函数，则．
其中正确结论的序号是
①②B．①③C．①④D．①③④
20．设上的可导函数满足、，且（1），则方程的根为
A．0B．0，2C．，D．
21．已知函数及其导函数的定义域均为都为连续函数，记，若，均为奇函数，设，，，为图象上的不同两点．，，，为图象上的不同两点，其中，，，，且在上单调，若，，则
A．0B．5C．10D．20
二．多选题（共7小题）
22．已知函数对于任意的，，都有成立，则
A．
B．是上的偶函数
C．若（2），则（1）
D．当时，，则在上单调递增
23．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，（2）（1），且对任意，，，则
A．B．（9）
C．D．
24．已知定义域为的函数满足，且，，则
A．（2）B．是偶函数
C．D．
25．定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是
A．B．为奇函数
C．为单调递减函数D．为单调递增函数
26．已知函数的定义域为，，则
A．B．（1）
C．是偶函数D．为的极小值点
27．设函数的定义域为，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点．下列各函数中，有且仅有一个二阶不动点的函数是
A．B．
C．D．
28．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
三．填空题（共1小题）
29．如果函数的定义域为，且满足以下两条性质：
（ⅰ）对任意，，只要，就有；
（ⅱ）任意都有．
则称函数为函数，给出下列结论：
①存在为函数满足；
②函数是奇函数；
③函数在上是增函数；
④如果函数为函数，那么对任意，△，在，△上的平均变化率小于在，△上的平均变化率．
其中，所有正确结论的序号是 ．