第10讲 三角形与全等三角形（题型训练）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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1．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．8C．9D．12
【答案】C
【解析】
解：连接CG并延长交AB于E，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG＝2EG，
∵DG∥AB，
∴，
∴S△GDC＝2S△BDG＝2，
∴S△BCG＝1+2＝3，
而EG＝CG，
∴S△BEG＝S△BCG＝，
∴S△BCE＝+3＝，
∵CE为中线，
∴S△ABC＝2S△BCE＝2×＝9．
故选：C．
2．（2021·广东海珠·九年级期中）已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ）．
A．8B．10C．8或10D．6或10
【答案】B
【解析】∵关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴方程变形为，
解得，
∵方程的两个根恰好是等腰的两条边长，
∴其三边可能是2，2，4或4，4，2，
∵2+2=4，故三角形不存在，
故三角形的周长为10，
故选B．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（ ）
A．B．C．D．不是定值
【答案】A
【解析】解：如图所示，连接，过点作于，
，，
由勾股定理可得，，
即，
解得：，
在矩形中，，
，
．
故．
故选：A．
4．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，在中，，分别是，边上的中线，且与相交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：点是，边上的中线，的交点，
，，
，，
，
，
故选：．
5．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积＝（ ）
A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2
【答案】D
【解析】解：设三角形ABC的面积是2，
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，
∵BG：GF＝CG：GD＝2，
∴三角形CGF的面积是，
∴四边形ADGF的面积是2−1−＝，
∵,
∴,
∵,
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：＝3：2．
故选：D．
6．（2021·江苏省苏州市阳山实验初级中学校二模）如图，在等边中，，点E在中线上，现有一动点P沿着折线运动，且在上的速度是4单位/秒，在上的速度是2单位/秒，当点P从A运动到C所用时间最少时，长为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】解：作于点，
则点在上运动时间为，，
，
，
，
当，，共线时，点运动时间最短，
为三角形中线，点为重心，
，，
，
∴．
故选：D．
7．等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE＝AC，若AD＝6，BE＝5，则BC＝_______．
【答案】或
【解析】解：如图1，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AC＝2CE，
∴AE＝EC，
∴点F是三角形的重心，
∴DF＝AD＝2，BF＝BE＝，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2BD＝，
如图2，
过点E作EH⊥BC于H，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴EH＝AD＝3，CD＝2CH，
在Rt△BHE中，（CD）2+32＝52，
解得：CD＝，
∴BC＝2CD＝．
综上所述：BC的长为或，
故答案为：或
8．（2021·福建省泉州市培元中学九年级期中）已知∆ABC中，是边上的中线，点为∆ABC重心，，若∆ABC的面积为6，则的面积是______．
【答案】
【解析】解： 点为∆ABC重心，

∆ABC中，是边上的中线， ∆ABC的面积为6，








故答案为：
9．如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，把△ACD沿AD翻折得到△AED，DE与AB交于点G，连接CE交AD于F．若EG：ED=2：5，AF=6，CF=4，△ADG的面积是，则点F到BC的距离为_______．
【答案】
【解析】解：∵EG：ED=2：5，△ADG的面积是，
∴
∴，
∴,
∵把△ACD沿AD翻折得到△AED，
∴，
∵把△ACD沿AD翻折得到△AED，连接CE交AD于F．
∴垂直平分,
∴,
∵,
解得：,
在中，,
设点F到BC的距离为，
则：，
解得：，
∴点F到BC的距离为：，
故答案为：．
10．（2021·广东·广州市南武实验学校九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是__．
【答案】
【解析】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∵AN=NC=AC=，
∴BN=AC=
∵点M是CD的中点，
∴DM=MC，
∴MN=AD=1
∴BM≤BN＋NM，
∴BM≤+1=，
即BM的最大值是.
11．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，∆ABC的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．不要求写出画法．
（1）在图①中画出∆ABC边BC上的中线AD，则_______；
（2）在图②中画出∆BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足，且；
【答案】（1）作图见解析部分，6；（2）作图见解析部分．
【分析】
（1）取的中点，连接，线段即为所求．
（2）分别取，的中点，，连接，线段即为所求．
【解析】解：（1）如图①中，
线段即为所求．，
故答案为6．
（2）如图②中，
线段即为所求．
12．已知CD为△ABC的中线，∠A及∠BDC的度数分别是方程x2-75x+1350=0的两根，
（1）求∠A及∠BDC的度数；
（2）求∠B的度数．
【答案】（1）；（2）105°
【解析】（1） ∠A及∠BDC的度数分别是方程x2-75x+1350=0的两根，
，
，
解得，
，
，
∠A=30°，∠BDC=45° ；
（2）过点B作BH⊥AC于H，连接DH，
，
，
是△ABC的中线，
，
，
△BHD为正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△BHC为等腰直角三角形，
，
．
13．已知，如图，△ABC中，AE，BD，CF为三条中线，它们交于一点O，点O称为三角形的重心，重心三等分其所在的中线，即AO＝2OE，BO＝2OD，CO＝2OE．
（1）如图1，若△ABC中，中线AE长为6，那么图中线段OE长为 ；
（2）如图2，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，求AB的长．
【答案】（1）2；（2）
【解析】解：（1）∵点O为三角形的重心，
∴OA＝2OE，
∴OE＝AE ＝×6＝2；
故答案为2；
（2）由题意：设OE＝a，OD＝b，则OB＝2a，OA＝2b
在Rt△AOE中，＝=4，
在Rt△OBD中，=，
∴=，即＝，
在Rt△OBA中，．
∴AB＝．
14．如图，已知∆ABC∽，相似比为，且∆ABC的三边长分别为a、b、c，的三边长分别为、、．
（1）若，求证：；
（2）若，试给出符合条件的一对∆ABC和，使得a、b、c和、、．都是正整数，并加以说明；
（3）若，，是否存在∆ABC和使得？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）取，，，同时取，，；（3）不存在，理由见解析
【解析】解：（1）证明：△，且相似比为，
，；
又，
；
（2）解：取，，，同时取，，；
此时，
△且；
（3）解：不存在这样的和△，理由如下：
若，则，，；
又，，
；
；
，，
∴，
而应该是；
故不存在这样的∆ABC和△，使得．
15．已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．

（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）周长的最小值为．
【解析】解：（1）由旋转性质可知：，
∆BOC是等边三角形
．
（2），
，
∆BOC是等边三角形
，
，．
（3）如解图，连接，，连接交于点．
∆OBC为等边三角形，点为的中点
，即
在中，，
，
在∆BAO和∆BMO中
，
垂直平分，即点关于直线的对称点为点
的周长为，为定值
当取最小值时，周长最小
即当点、、三点共线时，的周长取得最小值，为
点是的中点，
周长的最小值为．
题型二 与三角形有关的角
1．（2021·北京师范大学亚太实验学校九年级期中）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】A
【解析】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A′位置，
∴，
∵，
∴；
故选A．
2．（2021·山东德州·九年级期中）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（ ）
A．55°B．45°C．42°D．40°
【答案】B
【解析】解：∵∠AOC的度数为105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
∴∠C＝∠B＝45°，
故选：B．
3．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（ ）
A．30°B．79°C．22°D．81°
【答案】C
【解析】∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＜30°，按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．
下列结论正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠BDNB．BD＝2AD
C．∠DCA＝∠BD．2∠DCB＋∠ACD＝90°
【答案】D
【解析】解：由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD＜30°，
∴∠ACB＞60°，
∴∠ACD＞30°，
∴∠ADC＜60°，∠BDN＞60°，
∴∠ADC＜∠BDN，故A选项错误；
∵∠B＝∠BCD＜30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＞30°，
∴CD≠2AD，即BD≠2AD，故B选项错误；
∠ACD＞∠B，故C选项错误；
由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∴∠ADC＝2∠DCB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC＋∠ACD＝90°，
即2∠DCB＋∠ACD＝90°，故D选项正确；
故选D．
5．（2021·广西平果·九年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3cm，点D为△ABC内一点，∠CAD＝15°，AD＝4cm，连接CD，将△ACD绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D的对应点为点E，连接DE交AB于点F，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：如图，过点作于点，
由旋转的性质得：，，，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
故选：D．
6．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
A．114°B．142°C．147°D．156°
【答案】C
【解析】∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
7．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）等腰一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为________．
【答案】40°或140°
【解析】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，AB＝AC，
∴∠A＋∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°−50°＝40°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°−50°＝40°，
∴∠BAC＝180°−40°＝140°；
综上所述，顶角的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
8．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°．
【答案】45
【解析】解：∵∆ODC是由∆OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：45
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝a（a＞0），将CB绕C顺时针旋转120°得CD，当DA长的最小值为时，a的值为____．
【答案】
【解析】解：如图1所示，连接BD，则可知，
由旋转的性质可知，CD=BC，∠BCD=∠BAC=120°，
∴BD，AB的长度都是一个定值，
∴当A、B、D三点共线时，AD有最小值；
如图2所示，
∵CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=30°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=AC，∠ACD=90°，
∴
∵AB+AC=a，
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在∆ABC外的点处．若，则的度数为_________．
【答案】
【解析】解：，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案是：．
11．（2021·天津河西·九年级期中）如图，将∆ABC绕点顺时针旋转得∆DBE，点的对应点恰好落在的延长线上，连接．AC，DE相交于点P．
（Ⅰ）求证：△ADB是等边三角形；
（Ⅱ）直接写出∠APD的度数______．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°
【解析】（Ⅰ）证明：∵△ABC绕点B顺时针旋转得到，
∴△ABC≌△DBE，
∴ BA = BD，∠ABD=，
∴△ADB是等边三角形；
（Ⅱ）解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠BAC=∠BDE，
∵∠AFB=∠DFP，
∴∠BAF+∠ABF =∠FDP+∠APD，
∴∠APD=∠ABF=60°，
故答案为：60°．
．
12．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得线段AC，继续旋转a(0°