第11讲 勾股定理与锐角三角函数（题型训练）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝12，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】解：令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴x＝＝，
∴AB＝||．
∵b2﹣4ac＝12，
∴C（﹣，﹣）．
∴AC＝＝||．
由抛物线的对称性可知BC＝||，
∴AC＝BC＝AB，
∴∠ACB＝60°．
故选：C．
2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（ ）
A．1B．7C．4或3D．7或1
【答案】D
【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：D．
3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在中，，，若将绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A．B．C．10D．12
【答案】C
【解析】解：如图，△ BEF旋转到图中位置，连接BD、BG，
∵在△BEF中，∠EBF=90°，BE=2，∠BFE=30°，
∴EF=2BE=4，BF=2 ，
∵旋转前点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB=CD=4，BC=4，
∴BD=8.
∵在Rt△BEF中，点G是EF的中点，
∴BG=EF=2.
在△BEF的旋转过程中，BG的长不变，
∵在△DBG中，BG+BD>GD，
∴当D，B，G三点共线且B点在D、G之间时，DG最大，此时，DG=BG+BD=2+8=10，
∴DG的最大值为10.
故选C.
4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【解析】解：过点O作交于点E，连接OC，
则，
∵，，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵CD平分，
∴，
∴，
设OE=x，则OC=2x，
在中，由勾股定理得，
解得，（舍），
∴OC=2，
∴，
故选B．
5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3-3D．3
【答案】D
【解析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’
则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB
故△PP’B是等腰直角三角形
∴∠PP’B=45°
∵∠BAP=∠CBP
∴∠BAP=∠ABP’
∴BP’AP
∴∠APB=90°
当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短
∴∠AP’B=90°+45°=135°
∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45°
∴△APP’是等腰直角三角形
∴AP=AP’=6
∴PC=AP’=3
故选D．
6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E、F、G分别在线段AB、BC、FD上，若，则小正方形的边长为（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】C
【解析】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC−BF＝12−3＝9，
又∵DF＝，
∴，即，
∴，
故选：C．
7．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在中，，D，E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接EF，下列结论：①；②ACD；③；④．其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴AF=AD，∠CAD=∠BAF，
∵在直角三角形ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，即∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠BAD=90°，即∠FAD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确，
∵AE与AD不一定相等，
∴不一定与相等
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；
∵△AED≌△AEF，
∴DE=EF，
由旋转可知：△ADC≌△AFB，
∴BF=CD，
∵BE+BF＞EF=DE，
∴BE+DC＞DE，③错误；
∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
由旋转可知：∠ABF=∠C=45°，
∴∠EBF=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
∴BE2+DC2=DE2，④正确；
故选B．
8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8πB．C．8π﹣16D．
【答案】D
【解析】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP==2 ，
∵OA'=OB'=，
∴PA'=PB'= ，
∴tan∠A'OP=tan∠B'OP== ，
∴∠A'OP=∠B'OP=60°，
∴∠A'OB'=120°，
∴S阴=S扇形OA'B'-S△A'OB''= ，
故答案为：D．
9．（2021·福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AB＝BC＝2且EF＝BC，点G是边AB上的中点，连接GE、DF．当GE+DF取最小值时，线段CF的长是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】解：取BC的中点H，连接GH、HF、HD，
∵在矩形ABCD中， AB=BC=2且EF=BC，
∴BC=2，EF=BC=2，
∴AC=，
∵点G是边AB上的中点，点H是边BC上的中点，
∴GH=AC=2，GH∥AC，
∴GH= EF =2，GH∥EF，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∴EG=HF，
∴GE+DF= HF +DFDH，
∴当H、F、D 共线时，GE+DF有最小值，最小值为DH，如图：
在矩形ABCD中，CH∥AD，CH=BC=AD，∠DAC=∠HCF，
∴△CFH△AFD，
∴，
∵AC=4，
∴CF=，
故选：C．
10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图1，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DEF中，如图2，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝，则EQ+FQ＝（ ）
A．4B．4+2C．2+D．2+2
【答案】D
【解析】解：如图2，在等腰直角△DEF中，
∠EDF=90°，DE=DF， ∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，且∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴，
∵DQ=，
∴，
∴EQ+FQ=，
故选：D．
11．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为____．（用含k的式子表示）
【答案】
【解析】解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，BE＝CE＝2，
∴BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，如图所示，连接DG，
则AD=AG，BD=CG，
由旋转的性质可得：∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴△ABC∽△ADG，
∴，
∵AD＝kAB，
∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ABC+∠ADC=90°，
∵△ABC∽△ADG，
∴∠ABC=∠ADG，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
即：∠CDG=90°，
∴，
∴．
12．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____．
【答案】1
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∵AB=6，CD=8，
∴CE=4，AF=3，
∵OA=OC=5，
∴由勾股定理得：EO=，OF=，
∴EF=OFOE=1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，
EF=OF+OE=7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故答案为：1或7．
13．在等边△ABC中，AB＝6，BD＝4，点E为AC边上一个动点，连接DE，将△CDE沿着DE翻折得到△FDE，则点F到AB距离的最小值是_____．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于．
是等边三角形，
，，
，，
，
，
观察图象可知，当点落在上时，点到距离的最小，最小值为，
故答案为：．
14．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是 __________________．
【答案】
【解析】
如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，，，
，，
，∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，，
∵H是AF的中点，
．
故答案为：．
15．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）如图，在中，，交于点F，且．
（1）求证：．
（2）若F为的中点，且．求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证：∵，，
∴∠BDF=∠ADC=∠FEA=90°，
∵∠AFB=∠CAD+∠FEA=∠FBD+∠BDF，
∴∠CAD=∠FBD，
在△BDF和△ADC中，
∴；
（2）∵，
∴DF=DC，
∵F为的中点，，
∴AD=2DF=2DC=2，
∴在Rt△ADC中，，
∴．
16．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）见解析（2）6
【解析】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．
（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x−3，CN＝x−2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM＋DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2＋CN2，
∴25＝（x−2）2＋（x−3）2，
解得，x＝6或−1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．
17．（2021·天津河西·九年级期中）如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求，的长．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）=．
【解析】解：（Ⅰ）连接OD，
∵为直径，
∴．
在中，
．
（Ⅱ）∵ 平分，
∴ ∠CAD=∠BAD，
∴．
在中，，，
∴ ．
18．（2021·河南·永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形中，点分别在和上，．，将绕点F顺时针旋转，当点H落在边上时，得到．
（1）求证：．
（2）求两点之间的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）将绕点F顺时针旋转得到，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）如图，连接，作交于点，
，，
．
19．（2021·四川江油·九年级期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（）的面积：
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D旋转，使交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求DH的长．
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）∵，D是AB的中点，
∴．
∴∠B=∠DCB．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴G是AC的中点．
∴，．
∴．
（2）如图2所示：
∵，
∴．
∵，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点G为AH的中点；
在中，，
∵D是AB中点，
∴，
连接BH．
∵DH垂直平分AB，
∴．
设，则，，
由勾股定理得：，
解得，
∴．
20．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，AC ＝ BC，∠ACB ＝ 90°，D是线段AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．
（1）求证：∠CAE ＝∠CBD；
（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F，连接CE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段EF，CE，BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，见解析
【解析】（1）
如图1，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）①补全图形如图2；
②.理由如下：
在上截取，使.
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵射线绕点顺时针旋转，
后得到，且，
∴.
题型二 锐角三角函数
1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，设sinB＝n，那么n的取值范围是（ ）
A．0＜n＜1B．C．D．
【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，且，
∴0°＜∠B＜45°，
∴，即；
故选C．
2．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．csA＝D．tanB＝
【答案】C
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝，故选项B错误；
csA＝，故选项C正确；
tanB＝，故选项D错误．
故选：C．
3．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将放在正方形网格中，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】解：如图所示，在直角三角形OBE中，OE=2，BE=4，∠OEB=90°，
∴，
∴，
故选A．
4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴csA＝．
故选：A．
5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．tanA＝D．csA＝
【答案】B
【解析】解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，
所以sinA，csA=，tanA=，
故选：B．
6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD中，，，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵在矩形ABCD中，，，
∴AD=BC=4
∵点C沿对角线BD折叠，得到△EDF
∴DE=DC=AB
又∠A=∠E=90°，∠AFB=∠EFD
∴△ABF≌△DEF，
∴BF=DF，AF=EF
设EF=x=AF，则DF=4-x
在Rt△DEF中，DF2=EF2+DE2
即（4-x）2=x2+32
解得x=
∴EF=，
∴=
故选A．
7．已知a=3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【解析】解：∵，
∴ 解得
所以a=3，b=4，c=5，即，
∴∠C=90°，
所以．
8．（2021·山东新泰·九年级期中）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．无法确定
【答案】B
【解析】解：是锐角，，
．
故选：B．
9．（2021·浙江鄞州·九年级期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小，
随的增大而增大，
A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意；
B．∵,∴,选项B正确，不合题意；
C．，，，，选项C不正确，符合题意；
D．，，，，选项D正确，不符合题意．
故选择：C．
10．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）
A．B．3或C．或D．3
【答案】A
【解析】根据题意，得，，即，
∵直线过原点和点
∴直线：
∵在直线上
∴
∴
连接，，
∴，线段的中点为点
∴，
过点作轴的垂线，垂足为点
∴
∴，，
∴
∴
∴点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心
∴
∵，
∴
∵，且
∴
∴
∴
∴或
当时，和位于直线两侧，即
∴不符合题意
∴，且
∴，
∴
∴
∴
故选：A．
11．（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在中，，，，则______．
【答案】
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵，
又∵BC=2，
∴AB=6，
∴，
故答案为：．
12．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB﹣BC中，AB＝3，BC＝5，将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC＝_________________．
【答案】
【解析】解：如图，连接AC，AE，过点A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，
∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC，
∴四边形AFCH是矩形，
∴AF＝CH，
∵将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，
∴AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AC＝AE，
∵AC＝AE，AB＝AD，AF⊥BC，AH⊥EC，
∴BF＝DF，CH＝EH，
∵AB2＝AF2＋BF2，DE2＝DC2＋CE2，
∴9＝AF2＋BF2，25＝（5﹣2BF）2＋4AF2，
∴BF＝，AF＝，
∴EC＝2CH＝2AF＝，CD＝5﹣2×＝，
∴tan∠EDC＝＝，
故答案为：．
13．（2021·重庆南开中学九年级期中）计算：＝___．
【答案】3
【解析】解：原式＝2×1+1
＝2+1
＝3，
故答案为：3．
14．若三个锐角满足，则由小到大的顺序为________________．
【答案】
【解析】解：根据锐角三角函数的性质可得：
cs48°=sin42°,sin42°∴cs48°∴β<α<γ，
故答案为β<α<γ．
15．（2021·福建·泉州五中九年级期中）如果是锐角，且，那么 _________度
【答案】48
【解析】∵是锐角，，
又∵，
∴48°．
故答案是48．
16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___．
【答案】5
【解析】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cs∠ACB＝，cs∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5．
故答案为：5．
17．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．
（2）cs30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cs45°．
【答案】（1）3-；（2）．
【解析】解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，
=1-+2，
=3-；
（2）cs30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cs45°，
=，
=，
=．
18．（2021·四川·成都市温江区东辰外国语学校九年级期中）计算：×（﹣2014）0﹣（）−2＋|2sin45°﹣2|．
【答案】−2
【解析】解：×（﹣2014）0﹣（）﹣2＋|2sin45°﹣2|
＝−4＋2−
＝−2．
19．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）计算：
【答案】
【解析】解：
．
20．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
（1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM．
（2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）如图，点M即为所求．
（2）如图，点N即为所求．
BN=，AN=，AB=，
∵,
∴△ABN是直角三角形，且∠ANB=90°，
∴．
21．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．
【答案】，，
【解析】解：过D作DE∥AC，交BC于点E．
∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．
又∵ DC⊥ AC，DE∥AC，
∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．
又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝DE．
设DE＝k，则CD＝，AC＝2k．
在Rt△ACD中，．
∴，．
．

22．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝3，BF⊥AC，垂足为F．点D是边AB上一点（不与A，B重合）．
（1）求边BC的长；
（2）如图2，联结DF，DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q．联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．
【答案】（1）10；（2）；（3）BD＝或BD＝
【解析】解（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，
∴BC＝2BH，
在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝3，
∴AH＝3BH，
根据勾股定理得，AH2＋BH2＝AB2，
∴（3BH）2＋BH2＝（5）2，
∴BH＝5，
∴BC＝2BH＝10；
（2）∵BC＝10，tan∠ABC＝3，
∴CF＝，BF＝3，如图2，作BN⊥BC，CM⊥BC，
∵G为重心，
∴AG＝10，GH＝5，
∵AH⊥BC，CM⊥BC
∴，
∴∠ACM=∠CAG，∠GMC=∠AGM
∴△CMF∽△AGF
则＝，
∴CM＝AG＝，
∵AH⊥BC，CM⊥BC，BN⊥BC
∴
∴
∴G为MN中点
∴HG为梯形CMNB的中位线，
∴BN＝2GH﹣CM＝，
∵，
∴∠DAG=∠NBD,∠AGD=∠BND
∴△ADG∽△BDN
∴，
∴AD＝AB＝；
（3）∵BF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠BFC＝∠DEB＝90°，
∴∠BQE＝∠ACB（同角的余角相等）
∵∠BQE＝∠DQF，
∴∠DQF＝∠ACB
∵△DQF和△ABC相似，
∴或，
∵tan∠BQE＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝3，
∴，
设QE＝x，BE＝3x，则DE＝9x，
∴BQ＝，BD＝，DQ＝8x，
∵BF＝3CF＝，
∴QF＝，
（ⅰ）当时，则，，
解得x＝，
∴BD＝＝，
（ⅱ）当时，则，，
解得x，
∴BD＝，
综上所述，BD＝或BD＝．
23．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，过点A作AE⊥BD的延长线于E．
（1）①在图中作出△ABC的外接圆⊙O，并用文字描述圆心O的位置；
②连接OE，求证：点E在⊙O上；
（2）①延长线段BD至点F，使EF＝AE，连接CF，根据题意补全图形；
②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见祥解，圆心O在斜边AB的中点；②见详解；（2）①见详解；②，见详解．
【解析】解：（1）①作AC的垂直平分线GH与AB的交点O为圆心O，以点O为圆心，以OA为半径画圆，则⊙O是△ABC的外接圆，
∵GH为AC的垂直平分线，OI⊥AC，AI=CI，∠ACB=90°，连OC，
∴IO∥CB，
∴，
∴AO=OB，
∴点O为AB中点，
∴OC为斜边中线，
∴OC=OA=OB，
∴⊙O是△ABC的外接圆，
圆心O在斜边AB的中点；
②∵AE⊥BD，AO=BO，
∴OE为斜边中线，
∴OE=OA=OB，
∴点E在⊙O上；
（2）①延长线段BD至点F，使EF＝AE，连接CF，如图；
②，理由如下：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC=∠ABC=，
∴∠CEB =∠CAB=45°，
∴∠AEC=∠CEB+∠AEB=45°+90°=135°，
∴∠FEC=180°-∠CEB=180°-45°=135°=∠AEC，
在△FEC和△AEC中，
，
∴△FEC≌△AEC（SAS），
∴FC=AC
∵AC=ABsin45°=，
∴FC=AC=，
∴．
24．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC，BD的长度分别为40cm，30cm及夹角∠BEC＝60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？
建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．
（1）如图1，△ABC中，D为AB上任意一点（不与A，B两点重合），连接CD，CD＝a，AB＝b，∠ADC＝α（α为CD与AB所夹的锐角），则△ABC的面积为 ．（用a，b，α表示）
问题解决：请你解决工作人员的问题．
（2）如图2，四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC＝40cm，BD＝30cm，∠BEC＝60°，求四边形ABCD的面积．（写出必要的解答过程）
新建模型：
（3）若四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC＝a，BD＝b，∠BEC＝α（α为AC与BD所夹的锐角），直接写出四边形ABCD的面积为 ．（用a，b，α表示）
模型应用：
（4）如图3，四边形ABCD中，AD+BC＝AB，∠BAD＝∠ABC＝60°．已知BD＝a，求四边形ABCD的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）
【答案】（1）absinα；（2）300cm2；（3）absinα；（4）a2．
【解析】解：（1）过点C作CM⊥AB于点M，如图1所示：
∴△CMD为直角三角形．
又∵∠ADC＝α，
∴sinα＝，
∴CM＝CD•sinα，
∴S△ABC＝AB•CM＝AB•CD•sinα＝absinα，
故答案为：absinα；
（2）过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，如图2所示：
∵∠BEC＝60°，
∴∠AED＝60°，
同（1）得：S△ACD＝AC•DE•sin60°＝AC•DE，S△ABC＝AC•BE•sin60°＝AC•BE，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•BE＝AC（DE+BE）＝AC•BD＝×40×30＝300（cm2）；
（3）如图2，过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，
∵∠BEC＝α，
∴∠AED＝α，
同（1）得：S△ACD＝AC•DE•sinα，S△ABC＝AC•BE•sinα，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABD＝AC•DE•sinα+AC•BE•sinα＝AC•（DE+BE）•sinα＝AC•BD•sinα＝absinα，
故答案为：absinα；
（4）在AB上取BG＝BC，连接DG、AC、CG，AC分别交DG、BD于H、P，如图3所示：
∵AD+BC＝AB，AG+BG＝AB，
∴AD＝AG，
∵∠BAD＝∠ABC＝60°，
∴△ADG与△BCG均为等边三角形，
∴DG＝AG，CG＝BG，∠AGD＝∠BGC＝60°，
∴∠DGC＝60°＝∠BGC，
∴∠AGC＝∠DGB＝120°，
∴△AGC≌△DGB（SAS），
∴AC＝BD，∠GAC＝∠GDB，
∵∠DHC＝∠AHG，
∴∠DPH＝∠AGD＝60°，
∴S四边形ABCD＝•a•a•sin60°＝•a•a•＝a2．
题型三 解直角三角形
1．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=10m，且tan∠CEF=，那么矩形ABCD的面积为（ ）cm；
A．280B．300C．320D．360
【答案】C
【解析】解：在Rt△EFC中，tan∠CEF==，
∴设，则，根据勾股定理得到，
由折叠的性质知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，，
∴矩形ABCD的面积为；
故选C．
2．（2021·重庆八中九年级期中）如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米B．142米C．148米D．87米
【答案】B
【解析】解：如图，作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．
在Rt△ECH中，∵EH：CH＝1：2.4，EC＝52m，
设EH=x，则CH=2.4x，
，即，
解得x=20(负值舍去)，
∴EH＝DF＝20m，CH＝48m，
∴EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝60°，
∴AF＝EF•tan60°＝108，
∴AD＝AF+DF＝108+20≈207m，
在Rt△BCD中，∵BD：CD＝1：2.4，
∴BD＝65m，
∴AB＝AD﹣BD＝207﹣65＝142m，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°，
又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝，
∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，
∴ ．
故选：D．
4．（2021·天津河西·九年级期中）如图，在⊙O中，点A，B在圆上，∠AOB=120°，弦AB的长度为4，则半径OA的长度为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【解析】过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵OA=OB，∠AOB=120°，AB=4，
∴AD=BD=AB=2，∠AOD=60°，
∵=sin∠AOD= sin60°=，
∴OA==4，
故选B．
5．（2021·山东东昌府·九年级期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长米，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长CD为（ ）米．
A．20B．C．10D．
【答案】A
【解析】解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10米，
∴AE=10×sin45°=10（米），
∴DF=AE=10，
∵背水坡CD的坡度i=1：，∠DFC=90°，
∴tan∠C=，
∴∠C=30°，
∴DC=2DF=2AE=20（米），
故选A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1B．1.2C．3D．5
【答案】B
【解析】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，
故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，
在Rt△AFQ和Rt△ABC中，
∵sin∠A=，sin∠A=，
∴=，
∵AC＝6，BC＝8，CF＝2，
∴AB=10，
∴，
∴FQ=3.2，
∵FP0=2，
∴P0Q=3.2-2=1.2．
故选：B．
7．（2021·山东沂源·九年级期中）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tanA＝_________．
【答案】
【解析】如图，
∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，
∴∠C=90°，AC==8，
∴tanA==，
故答案为：．
8．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
在中，，即，
解得，
则的面积是，
故答案为：．
9．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在菱形ABCD中，tan∠DAB＝，AB＝3，点P为边AB上一个动点，延长BA到点Q，使AQ＝2AP，且CQ、DP相交于点T．当点P从点A开始向右运动到点B时，求点T运动路径的长度为__________．
【答案】
【解析】解：连接AT并延长交CD于N，如图：
∵CD∥BQ，
∴＝＝，
∴ ＝＝，
∴点N是CD上靠近D的三等分点，
∴点T在线段AN上运动，
当P从点A开始向右运动到点B，即P与B重合时，如图：
点T运动路径即为AT，过D作DH⊥AB于H，过T作TM⊥AB于M，
在Rt△ADH中，tan∠DAB＝，
设DH＝4k，则AH＝3k，AD＝5k，
∵AD＝AB＝3，
∴5k＝3，
∴k＝，
∴DH＝，AH＝，
∴BH＝AB﹣AH＝，
∵＝＝＝，
∴＝，
∵DH⊥AB，TM⊥AB，
∴TM∥DH，
∴＝＝，即＝＝，
∴TM＝，BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝，
在Rt△ATM中，AT＝＝，
故答案为：．
10．（2021·广东·广州六中九年级期中）如图，△ABC的外接圆的半径为，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为⊙O中优弧BC上一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最大值___．
【答案】2+6
【解析】延长PC至F，使CF＝BP，连接AF，
∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠ACF＝∠ABP，
在△ACF和△ABP中，
，
∴△ACF≌△ABP（SAS），
∴AF＝AP，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠APC＝30°，
过点A作AE⊥PF于E，
∵AF=AP，
∴△APF是等腰三角形，
则PF＝2PE，
在Rt△AEP中，cs∠APC＝，
∴PE＝AP•cs∠APC＝AP•cs30°＝ AP，
∴PF＝2PE＝AP，
∵PF＝PC＋CF＝PC＋BP＝AP，
即PC＋PB＝AP，
∴PA+PB+PC=（1+）AP
而AP为⊙O的弦，半径为
∴AP最大＝2，
∴PA+PB+PC的最大值为（1+）×2=2+6
故答案为：2+6．
11．（2021·山东泰山·九年级期中）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3.8米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
【答案】旗杆的高度约为8.8米
【解析】解：如图，过C作CM∥AB交AD于点M，过M作MN⊥AB于点N．
则四边形BCMN是矩形，
∴MN＝BC＝4米，BN＝CM，
由题意得：，
即，
解得：CM＝1.9（米），
在Rt△AMN中，∠ANM＝90°，MN＝BC＝4米，∠AMN＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴AN＝4（米）．
∵BN＝CM＝1.9米，
∴AB＝AN+BN＝4+1.9≈8.8（米），
答：旗杆的高度约为8.8米．
12．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）全球最长跨海大桥——港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为20米，请求出立柱的长．（结果精确到0.1米，）．
【答案】立柱BH的长约为16.3米
【解析】解：设DH的长为x米，由题意得∠AHB=90°，
∵∠CDH=60°，∠AHB=90°，
∴米
∴米，
∵∠A=30°，
∴米，
∵AH=AD+DH，
∴，
∴，
∴米，
答：立柱BH的长约为16.3米．
13．（2021·山东阳谷·九年级期中）如图，小杰在高层楼A点处，测得多层楼CD最高点D的俯角为30°，小杰从高层楼A处乘电梯往下到达B处，又测得多层楼CD最低点C的俯角为10°，高层楼与多层楼CD之间的距离为CE，已知AB＝CE＝30米，求多层楼CD的高度．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【答案】18米
【解析】解：如图所示，延长CD至F点，使得AF⊥CD，
则四边形AECF为矩形，AF=CE=30，AE=CF，
由题意，∠FAD=30°，
在Rt△ADF中，，
∵在B处测得最低点C的俯角为10°，
∴∠BCE=10°，
在Rt△BCE中，，
∵AE=CF，
∴AB+BE=DF+CD，
即：，
∴米，
∴CD的高度约为18米．
14．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为6米；（2）广告牌CD的高约8.4米
【解析】解：（1）如图，过点作，，垂足分别为，
由题意可知，，，，米，米，
∵，
∴，
∴（米），
即点距水平地面的高度为6米；
（2）在中，
∴（米），
（米），
∴米，
∵，
∴米，
∴米，
在中，，米，
∴（米），
∴
（米）
答：广告牌的高约8.4米．
15．（2021·山东任城·九年级期中）如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高（≈1.4，≈1.7，≈2.45，结果精确到个位）．
【答案】A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．
【解析】如图，过点A作于，
在中，，
AC＝35×40＝1400（米），
则（米）．
在中，∠B＝30°，
∴（米）．
过点作，垂足为，
则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°＝PE，
∴，
∴，
解得：．
综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．
16．（2021·山东任城·九年级期中）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
【答案】建筑物BC的高度为25米．
【解析】设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，
在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，
∴DC＝BC＝x米，
在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，即＝1.2，
解得：x＝25，
答：建筑物BC的高度为25米．
17．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点 E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，
（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到真线 BC的距离）．
（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？ （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°＝0.60，cs 37°＝0.80，tan 37°＝ 0.75）
【答案】（1）2.2米；（2）0.6米
【解析】解：（1）如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．
∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，
∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．
在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE•cs∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），
∵AB=1.2米，
∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．
故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米．
（2）把连接点E向右移动到，连接A,过点作,垂足为K，
∴
∴四边形是矩形，
∴，米
∵∠EAH= =53°，．
∴
∴
∴米
由（1）知
∴米
∴米
∴E向右移动的距离是0.6米
18．（2021·山东·烟台市芝罘区教育科学研究中心九年级期中）某校为了更好的记录学生们在秋季运动会中精彩的瞬间，学校特意邀请了一名摄影师携带无人机来进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点A测得无人机位置点C的仰角为53°；当摄影师迎着坡度为1：2.4的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点C水平飞到点D，此时，摄影师在点B测得点D的仰角为45°，其中AB＝2.6米，CD＝3米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且A、B、C、D四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（参考数据：，，）
【答案】6.4米
【解析】解：过B作BE⊥地面，
∵AB坡度为1：2.4，
设BE=h，即AE=2.4h，
∵AB=2.6，
∴BE²+AE²=AB²即h²+5.76h²=6.76，
∴h=1，BE=1，AE=2.4，
过B作水平线，过D作DF⊥BF，过C作CG⊥地面，交BF于M，交DB于N，
∵∠DBF=45°，
∴DF=BF，设GE=x，则BM=x，
∵DC∥BF，且∠DFB=∠CMF=90°，
∴四边形DCMF为矩形，
∴CM=DF，MN=BM=x，FM=DC=3，BF=3+x=DF，
又∵BE=MG=1，
∴CG=MC+MG=3+x+1=4+x，AG=AE+GE=2.4+x，
∵∠CAG=53°，tan53°=，
∴，即，
解得：x=2.4，
∴BM=2.4，BF=5.4，CM=DF=BF=5.4，CG=GM+CM=5.4+1=6.4，
答：无人机距水平地面的高度约为6.4米．