第14讲 圆（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习

这是一份第14讲 圆（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习，共8页。
考点01 圆的有关性质
1.圆的有关概念
(1)圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.此外，圆心为0，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图中的AB，CD。
(3)直径：经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB。
(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧.以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”
圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的CAB；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC，BD。
(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
(6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
2.垂直于弦的直径
(1)圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆还具有旋转不变性。
(2)垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，且 AC=AD,BD=BC。
3.孤、弦、圆心角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如图中的∠AOB.
(2)圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
同样还可以得到：Q在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
4.圆周角
(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半在上面三个图中，都有 ∠BAC=12∠BOC.
（3）推论：同弧或等弧所对圆周角相等，
①半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（如下图）。
②在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
(4)圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
(5)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补
考点02 与圆有关的位置关系
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
2.三角形的外接圆
(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
(2)三角形的外接圆的有关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
(3)三角形外接圆的作法
确定圆心：三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心；
确定半径：交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。
(4)反证法
证明一个命题时，不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
3.直线和圆的位置关系
(1)相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
(2)相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
(3)相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
(4)直线和圆的位置关系
4.圆的切线
(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图，直线l就是⊙O的切线.此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l⊥0A。
5.切线长
(1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，则PA=PB、∠OPA=∠OPB。
6.切线的判定和性质的应用
(1)辅助线的作法：运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题
(2)证明直线与圆相切的三种途径
①证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）；
②证直线过半径外端且垂直于这条半径(即运用判定定理)；
③证圆心到直线的距离等于圆的半径(即证d=r)。
当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。
7.三角形的内切圆
(1)三角形的内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
(2)三角形内切圆的作法
确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心.
确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径.
(3)如果三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积。
8.圆和圆的位置关系
考点03 正多边形和圆
1.正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如右图）.
2.正多边形的画法
正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形.如作正六边形，可以先画一个半径与已知边长相等的圆，然后在上面截取得到等分点，连接即得到所要作的正六边形.并非所有的正多边形都可以只用尺规作出.
3.正多边形的计算
设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r，边长为a，则有：
(1)正多边形的内角：。
(2)正多边形的中心角；
(3)正多边形的半径； R2=r2+14a2.
(4)正多边形的周长：C=n·a.
(5)正多边形的面积； S=12nar=12c⋅r.。
考点04 弧长和扇形面积
1.弧长公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长为，即。
2.扇形面积公式
(1)扇形的面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形（如图）.
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为的扇形面积是。
(2)弓形的面积:（如图）
3.母线的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
4.圆锥的侧面展开图及有关计算
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为L，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为。