第15讲 相似、投影与视图（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习

这是一份第15讲 相似、投影与视图（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习，共9页。
考点01 图形的相似
1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2.比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段成比例。
3.比例中项
如果 ab=bc;即 b2=ac,那么就把b叫做a，c的比例中项.
4.比例的性质
(1)基本性质：如果 ab=cd那么ad=bc.
(2)合比性质：如果 ab=cd那么 a±bb=c±dd.
（3）等比性质
若 ab=cd=⋯=mnb+d+⋯+n≠0,则 a+c+x⋅+mb+d+⋅⋅+n=ab
5.相似多边形及其有关性质
(1)相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.对应顶点
(2)相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比
(3)相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
考点02 相似三角形
1.相似三角形的定义
在△ABC和△A＇B＇C＇中，如果∠A=∠A＇， ∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A＇B＇C＇相似，相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC与△A＇B＇C＇相似记作“ ∆ABC∽∆A'B'C'.△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，△A＇B＇C＇与△ABC的相似比为1k
2.平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如下图，，则有 ABBC=DEEF,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF
把这个基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况：在图1中，把看成平行于△ABC的边BC的直线；在图2中，把看成平行于△ABC的边BC的直线，那么可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定定理
(1)判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图1，若DE//BC，则△ADE∽△ABC，我们称图1为“A型”.若直线ED交在AB，AC的反向延长线上，且ED//BC，则△ADE∽△ABC，我们称图2为“X型”。
(2)判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。例如：如图，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若 ABA＇B＇=BCB'C'=ACA'C' ,则△ABC∽△A＇B＇C＇)
(3)判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.例如：如图，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若 ABA'B'=ACA＇C＇且∠A=∠A＇，则△ABC∽△A＇B＇C＇。
(4)判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似例如：如图，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若∠A=∠A＇，∠B=∠B＇，那么△ABC∽△A＇B＇C＇。
4.相似三角形应用举例
利用三角形相似，可以解决一些测量问题，如：
(1)测量不能达到顶部的物体的高度，通常利用“在同一时刻高与影长成比例”的原理来解决。
(2)测量不能直接到达的两点的距离，我们通常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解。
5.判定三角形相似的思路
①有平行截线用判定定理1；
②有一对等角.找另一对等角或找角的两边对应成比例；
③有两边对应成比例找夹角相等或第三边也成比例或有一对直角；
④直角三角形找一对锐角相等或找两组直角边的比相等或斜边与直角边成比例；
⑤等腰三角形找顶角相等或一找一对底角相等或底和一腰的比相等。
6.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，
(2)相似三角形对应线段的比等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方；
考点03 位似
1.位似图形
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们说这两个图形关于这点位似.位似是一种特殊的相似，但相似不一定都是位似.
2.位似变换的坐标
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
3.位似图形的性质
(1)位似图形是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
(2)位似图形的对应点的连线相交于一点。
(3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上.
(4)位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于位似比
4.位似图形的画法
(1)确定位似中心。
(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长。
(3)根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。
(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。
考点04 投影
1.投影的概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作投影.这时的照射光线叫作投射线，投影所在的平面叫作投影面.
物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线；二是有投影面
2.平行投影
由平行的光线所形成的投影是平行投影.
太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影.
3.平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同；在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影.
4.中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫作中心投影，那个点叫作投影中心.
在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上.因为点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例。
(1)等高的物体垂直于地面放置时，中心投影如下图：
(2)等长的物体平行于地面放置时，中心投影如下图：
规律在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置.
5.正投影
(1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影（如图所示）.
(2)正投影(投射线与投影面垂直的平行投影)的性质：线段的正投影分3种情况.
①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段、B这时AB=AB。
②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A、B，这时AB