
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第15讲 相似、投影与视图(压轴题组)-2022年中考数学大复习(知识点·易错点·题型训练·压轴题组)
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这是一份第15讲 相似、投影与视图(压轴题组)-2022年中考数学大复习(知识点·易错点·题型训练·压轴题组),文件包含第15讲相似投影与视图压轴题组原卷版-2022年中考数学大复习知识点·易错点·题型训练·压轴题组docx、第15讲相似投影与视图压轴题组解析版-2022年中考数学大复习知识点·易错点·题型训练·压轴题组docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共38页, 欢迎下载使用。
(1)在图1中找出与∠ACE相等的角,并证明;
(2)求证:∠BDF=∠EFC;
(3)如图2,延长FD,CA交于点G,连接EG,若EG=AG,DE=kAE,求的值(用含k的代数式表示).
【答案】(1)∠DEF=∠ACE,证明见解析;(2)见解析;(3)k
【详解】
解:(1)∠DEF=∠ACE.
证明:∵∠DEC是△ACE的外角,
∴∠DEC=∠A+∠ACE,
∵∠DEC=∠DEF+∠CEF,
∴∠DEC+∠CEF=∠A+∠ACE,
∵∠CEF=∠A,
∴∠DEF=∠ACE;
(2)证明:连接CD,过点E作AC的平行线与CD交于点M,
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD,
∵EM∥AC,
∴∠EMD=∠ACD,∠CEM=∠ACE,
∴∠EDM=∠EMD,∠DEF=∠CEM,
∴ED=EM,
又∵EF=EC,
∴△DEF≌△MEC(SAS),
∴∠EDF=∠EMC,
∵∠BDF+∠EDF=∠EMD+∠EMC=180°,
∴∠BDF=∠EMC,
∵EM∥AC,
∴∠DEM=∠A,
∵∠A=∠CEF,
∴∠DEM=∠CEF,
∵△DEM中,∠EMD=,△FEC中,∠EFC=,
∴∠EMD=∠EFC,
∴∠BDF=∠EFC;
(3)连接CD,过点E作AC的平行线与CD交于点M,
∵EG=AG,
∴∠GAE=∠GEA,
∵∠DAC+∠GAE=∠GEA+∠GED=180°,
∴∠DAC=∠GED,
∵∠CEF=∠DAC,
∴∠DEG=∠CEF,
∴∠DEG+∠DEF=∠CEF+∠DEF,
即∠GEF=∠DEC,
∵△DEF≌△MEC,
∴∠EFG=∠ECD,DF=MC,
又∵EF=EC,
∴△EFG≌△ECD(ASA),
∴GF=DC,
∴DC﹣MC=GF﹣DF,
即GD=DM,
∵EM∥AC,
∴,
∴.
2.(2021·安徽埇桥·九年级期中)如图1所示,在等边三角形ABC中,线段AD为其内角平分线,过点D的直线B1C1⊥AC于点C1,交AB的延长线于点B1.
(1)请你探究:是否都成立?请说明理由.
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角平分线,一定成立吗?并证明你的判断.
(3)如图2所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=,E为AB上一点且AE=5,CE交内角平分线AD于点F,试求的值.
【答案】(1)都成立,理由见解析;(2)结论依然成立,理由见解析;(3)
【详解】
(1)两个等式都成立,理由如下:
∵△ABC为等边三角形,为角平分线
∴垂直平分,,
∴
∴
∵,
∴
∴,即
又∵
∴
在Rt△ADC1中,,∴,
∴
(2)结论依然成立,理由如下:
如下图:
过点作交延长线于点
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
(3)如图,连接
∵平分
∴为△ABC和△ACE的内角角平分线
由(2)的性质可得,,
又∵
∴
∴
又∵
∴△BDE∽△BCA
∴
∴
∴△AEF∽△ACF
∴
3.我们定义:三角形中,如果有一个角是另一个角的2倍,那么称这个三角形是2倍角三角形.
(1)定义应用
如果一个等腰三角形是2倍角三角形,则其底角的度数为 ;
(2)性质探索
小思同学通过从“特殊到一般”的过程,对2倍角三角形进行研究,得出结论:
如图1,在△ABC中,如果∠A=2∠B,那么BC2=AC(AB+AC).
下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法.
已知:如图2,在△ABC中,∠A=90°,∠B=45°.
求证:BC2=AC(AB+AC).
证明:如图2,延长CA到D,使得AD=AB,连接BD.
∴∠D=∠ABD,AB+AC=AD+AC=CD
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D,∠CAB=90°
∴∠D=45°,
∵∠ABC=45°,
∴∠D=∠ABC,又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
∴
∴BC2=AC•CD
∴BC2=AC(AB+AC)
根据上述材料提供的信息,请你完成下列情形的证明:
已知:如图1,在△ABC中,∠A=2∠B.
求证:BC2=AC(AB+AC).
证明:
(3)性质应用
已知:如图3,在△ABC中,∠C=2∠B,AB=12,BC=10,则AC= ;
(4)拓展应用
已知:如图4,在△ABC中,∠ABC=3∠A,AC=6,BC=4,求AB的长.
【答案】(1)45°或72° (2)证明见解析 (3)8 (4)
【详解】
解:(1)当等腰三角形的内角分别为x,x,2x时,4x=180°,解得x=45°,
当等腰三角形的内角分别为x,2x,2x时,5x=180°,解得x=36°,2x=72°,
∴底角的度数为45°或72°,
故答案为45°或72°;
(2)
如上图,作角平分线AD,则有∠1=∠2=∠B,由∠1=∠B,得AD=BD,
由∠2=∠B,∠C=∠C得△CAD∽△CBA
∴
∴
∴CA2=CB×CD,
∴CD=
∵
∴AD=
∴BD=AD=BC-CD,
∴BC-=,
∴BC2-AC2=AC×AB,
∴BC2=AC(AB+BC)
(3)由性质探索可知:AB2=AC(BC+AC),
∴AC2+10AC-144=0,
解得AC=8或-18(舍弃),
故答案为:8;
(4)
作∠CBD=∠A,则∠ABD=2∠A,
∴△ABD是2倍角三角形
∴AD2=BD(BD+AB),
∴∠BDC是△ABD的外角,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A,∠C=∠C,
∴△CBD∽△CAB,
∴,
∴CD=,
∴AD=AC-CD=,
可设BD=2x,则AB=3x
∴2x(2x+3x),
∴x1=,x2=-(舍弃),
∴AB=3x=
4.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OAEB为矩形,对角线AB的直线解析式为y=kx-6k,且S△AOB=18.
(1)如图1,求k的值;
(2)如图2,点P在线段AB上运动,其横坐标为t,连接OP,过点P作CP⊥OP,交BE于点C,设线段BC的长为d,求d与t之间的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,延长OP交AE于点D(AD<DE),过点D作DQ∥x轴,交PC于点Q,若BC+AD=5,求线段DQ的长.
【答案】(1)-1;(2)d=2t﹣6;(3)
【详解】
解:(1)∵对角线AB的直线解析式为y=kx-6k,
∴当x=0时,y=-6k,当y=0时,x=6,
∴OA=6,OB=-6k,
∵S△AOB=OA•OB=18,
∴×6×(-6k)=18,
∴k=-1;
(2)如图,过点P作PN⊥OB于点N,PM⊥BE于点M,则∠PMC=∠PNO=90°,
由(1)可得直线AB的解析式为:y=-x+6,
∵点P在线段AB上运动,其横坐标为t,
∴P(t,-t+6),B(0,6),
∴BM=PN=t,ON=-t+6,PM=BN=6-(-t+6)=t,
∴PM=PN,
∵PN⊥OB,PM⊥BE,
∴∠PMC=∠PNO=90°,
∵CP⊥OP,
∴∠OPN+∠NPC=∠NPC+∠CPM=90°,
∴∠OPN=∠CPM,
∴△OPN≌△CPM(ASA),
∴CM=ON=-t+6,
∵BM=BC+CM,BC=d,
∴t=d+(-t+6),
∴d=2t-6;
(3)延长DA到F,使AF=BC,连接OF、OC、CD,
∵OA=OB=6,∠OBC=∠OAF=90°,BC=AF,
∴△OBC≌△OAF(SAS),
∴∠BOC=∠AOF,OC=OF,
由(2)可知,△POC为等腰直角三角形,
∴∠POC=45°,
∴∠BOC+∠AOD=45°,
∴∠AOD+∠AOF=∠DOF=45°,
∴∠COD=∠FOD=45°,
∵OD=OD,
∴△COD≌△FOD(SAS),
∴CD=DF=DA+AF=DA+BC=5,
设AD=x,则AF=BC=5-x,CE=6-(5-x)=1+x,DE=6-x,
在Rt△CDE中,CE2+DE2=CD2,
∴(6-x)2+(1+x)2=52,
解得:x1=2,x2=3(舍去),
∴AD=2,
∴AF=BC=5-2=3,
∴OD=,OC=,
∴OP=,
∴DP=OD-OP=,
∵DQ∥x轴,
∴∠QDP=∠DOA,
∵∠QPD=∠DAO=90°,
∴△QPD∽△DAO,
∴,
∴,
∴DQ=.
5.(2021·四川·成都教育科学研究院附属学校九年级期中)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点O在BC上(不与B、C重合),连接AO,F是线段AO上的点(不与A、O重合),∠EAF=90°,AE=AF,连接FE,FC,BE,BF.
(1)如图1,若AO⊥BC,求证:BE=BF;
(2)如图2,若将△AEF绕点A旋转,使边AF在∠BAC的内部,延长CF交AB于点G,交BE于点K.
①求证:△AGC∽△KGB;
②当△BEF为等腰直角三角形时,请你直接写出AB:BF的值.
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②或
【详解】
解:(1)∵,
∴
∴
∴
在△EAB和△FAB中
∴
∴
(2)①∵,
∴
∴
在△EAB和中
∴
∴
又∵
∴
②∵
∴
∴
当时,
由题意可得:,
∴
设,则
,即,
由勾股定理得:
当时,
由题意可得:,
∴
设,则,
6.(2021·重庆一中九年级期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点、,与轴交于点.是抛物线对称轴上一点,纵坐标为,是线段上方抛物线上的一个动点,连接、.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当的面积取得最大值时,求点的坐标和面积的最大值;
(3)将抛物线沿着射线平移,使得新抛物线经过点.新抛物线与轴交于、两点(点在点左侧),与轴交于点,是新抛物线上一动点,是坐标平面上一点,当以点、、、为顶点的四边形是矩形时,请直接写出所有满足条件的点的横坐标.
【答案】(1)y=-x2+4x+5;(2),;(3)-4,5,,.
【详解】
解:(1)把A(-1,0)、B(5,0)代入y=ax2+bx+5,
,
解得,
∴y=-x2+4x+5;
(2)∵对称轴为直线x=2,
∴D(2,-5),
∵B(5,0),代入y=kx+b得,
解得,
∴直线BD:,
过点P作PQ⊥x轴交直线BD于点Q,
则,
设,则,
∵P在上方
∴PQ=,
∵,
∴=,
∴当时,;
(3)原来抛物线为,沿着射线平移,经过点,
∴B点移动后与D点重合,即抛物线向左平移3个单位,下移5个单位,
∴平移后抛物线为,
∴,
EG为边时,
∵OE=OG=3,
∴∠EGO=∠GEO=45°,
作MG⊥EG交抛物线于M,
设,则MK=KG,
∴-m=-m²-2m,
解得:(舍去),
∴,则,
作EM⊥EG交抛物线于点M,作MK⊥x轴于点K,
则KE=MK,∴m+3=m²+2m-3,
解得:(舍),
∴M(2,-5),
∴;
EG为对角线时,
设,
则MK=-m,HM=m+3,KG=-m²-2m,HE=-m²-2m+3,
由△MKG∽△EHM得:,
∴,
∴,
∴,
∵m0,
∴,
∴,
∵E(-3,0),G(0,3),
∴;
综上N点的横坐标为:-4,5,,.
7.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若,求m的值;
(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.
【答案】(1)a=﹣;y=﹣x+3;(2)2;(3)
【详解】
解:(1)将点代入抛物线,得
,解得,此时抛物线解析式为
∴
∵A(4,0),B(0,3),
设直线AB解析式为y=kx+b,则,解得,
∴直线AB解析式为.
(2)由题意可得:,,则,
如图1中,∵PM⊥AB,PE⊥OA,
∴∠PMN=∠AEN,
∵∠PNM=∠ANE,
∴△PNM∽△ANE,
∴,
∵NE∥OB,
∴
∴,∴,
∵抛物线解析式为,
∴,
∴,解得.
(3)如图2中,在y轴上 取一点M′使得OM′=,连接AM′,在AM′上取一点E′使得OE′=OE.
∵OE′=2,,
∴,
∴,
∵,
∴△M'OE'∽△E'OB,
∴,
∴,
∴,当A、M′、E′共线时,最小,为,
由勾股定理可得
即最小值为
8.(2021·福建·泉州五中九年级期中)已知抛物线经过A(−3,0),B(1,0),C(2,52)三点,其对称轴交x轴于点H,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点C,与抛物线交于另一点D(点D在点C的左边),与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点F,使得点A、B、E、F构成的四边形是平行四边形,如果存在,求出点F的坐标,若不存在请说明理由
(3)设∠CEH=α,∠EAH=β,当α>β时,直接写出k的取值范围
【答案】(1)y=12x2+x−32;(2)(3,6)或(-5,6)或(−1,-2);(3)−12<k<56且k≠0或56<k<43
【详解】
解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线经过A(−3,0),B(1,0),C(2,52)三点,
∴9a−3b+c=0a+b+c=04a+2b+c=52,
∴a=12b=1c=−32,
∴抛物线的解析式为y=12x2+x−32;
(2)如图1所示,
将C点坐标代入直线CD,得2k+b=52,
当x=−1时,y=−k+b,即E(−1,−k+b).
①若AB为平行四边形的边时,则F(-1+4,−k+b)或F(-1-4,−k+b),即:F(3,−k+b)或F(-5,−k+b),
把F(3,−k+b)代入y=12x2+x−32,得−k+b=6,
把F(-5,−k+b),代入y=12x2+x−32,得−k+b=6,
又∵2k+b=52,
∴k=−76,b=296
∴F(3,6)或(-5,6);
②若AB为平行四边形的对角线时,则F和E关于x轴对称,
∴F(−1,k-b),
∴k-b=-2,
又∵2k+b=52,
∴k=16,b=136,
∴F(−1,-2),
综上所述:F的坐标为(3,6)或(-5,6)或(−1,-2);
(3)如图2所示,
①当E点在x轴上方时,如图2所示,
当α=β时,∵∠EHA=90°,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEH=∠EGH,
∵∠AHF=∠FHG=90°,
∴△AHF∽△FHG,
∴AEEG=AHEH,
∵A(−3,0),E(−1,−k+b),G(−bk,0),
∴22+(−k+b)2(−1+bk)2+(−k+b)2=2−k+b,
∴k2−bk−2=0,
联立方程k2−bk−2=02k+b=52,解得k=−12(k=43舍去),
随着E点向下移动,∠CEH的度数越来越大,∠EAH的度数越来越小,当E点和H点重合时(如图3所示),α和β均等于0,此时联立方程2k+b=52−k+b=0,解得k=56b=56,
因此当−12<k<56且k≠0时,α>β;
②E点在x轴下方时,如图4所示,
当α=β时,
∵∠EHA=90°,
∴∠AEC=90°,
根据①可得此时k=43(k=−12舍去),
随着E点向下移动,∠CEH的度数越来越小,∠EAH的度数越来越大,
因此当56<k<43时,α>β.
综上所述可得,当α>β时,k取值范围为−12<k<56且k≠0或56<k<43.
9.(2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点O,点P为边AD上一动点.
(1)如图1,当PC⊥BD时,求tan∠POD;
(2)如图2,连接CP交对角线BD于点E,作线段CP的中垂线MN分别交线段DC,DB,CP,AB于点N,G,F,M,当DP=DE时,求EFPE;
(3)如图2,连接OP,以OP为折痕,将△AOP折叠,点A的对应点为点E,线段PE与OD相交于点F,若△PDF为直角三角形,求DP的长.
【答案】(1) tan∠POD=2714;(2) EFPE=32;(3)PD=52或1
【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=90°,AD//BC
AB=CD=6,AD=BC=8,OD=OB=12BD
由勾股定理得,BD=BC2+CD2=82+62=10
∴OB=12BD=5
∵PC⊥BD
∴12BC•CD=12BD•CE
∴CE=BC•CDBD=8×610=245
在Rt△CDE中,DE=CD2−CE2=62−(245)2=185
∴OE=OD−DE=5−185=75
∴BE=BO+OE=5+75=325
∵AD//BC
∴ΔPDE∼ΔCBE
∴PEEC=DEBE 即PE245=185325
∴PE=2710
∴tan∠POD=PEOE=271075=2714
(2)∵DP=DE
∴∠DPE=∠DEP
∵AD//BC
∴∠DPC=∠BCP
又∠BEC=∠DEP
∴∠BEC=∠DPE=∠BCE
∴BE=BC=8
∴DP=DE=BD−BE=10−8=2
在Rt△CDP中,CP2=CD2+DP2
∴CP=CD2+DP2=62+22=210
∵PD//BC
∴ΔPDE∼ΔCBE
∴PDBC=PEEC,即PEEC=28=14
∴PE=15PC=2510,
∵MN垂直平分CP
∴PF=12CP=10
∴EF=PF−PE=2510
∴EFPE=35102510=32
(3)如图1,当∠DPF=90°时,过点O作OH⊥AD于H,
∵四边形ABCD是矩形
∴BO=OD,∠BAD=∠OHD,AD=BC=8
∴OH//AB
∴OHAB=HDAD=ODBD=12
∴OH=12AB=3,HD=12AD=4
∵以OP为折痕,将△AOP折叠,点A的对应点为点E,线段PE与OD相交于点F,
∴∠APO=∠EPO=45°
又OH⊥AD
∴∠OPH=∠HOP=45°
∴OH=HP=3
∴PD=HD−HP=1
当∠PFD=90°时,
∵AB=6,BC=8
∴BD=AB2+AD2=36+64=10
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD=5
∴∠DAO=∠ODA
∵将ΔAOP折叠,点A的对应点为点F,线段PE与OD相交于点F
∴AO=EO=5,∠PEO=∠DAO=∠ADO
又∠OFE=∠BAD=90°
∴△OFE∽ΔBAD
∴OFAB=OEBD,即OF6=510
∴OF=3
∴DF=2
∵∠PFD=∠BAD,∠PDF=∠ADB
∴△PFD∽ΔBAD
∴PDBD=DFAD,即PD10=28
∴PD=52
综上,PD=52或1
10.(2021·四川中区·九年级期中)如图(1),在四边形ABCD中,AB∥DC,CB⊥AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发,设运动的时间为t(s),0<t<5
(1)用含t的代数式表示AP;
(2)当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时,求t的值;
(3)如图(2),延长QP、BD,两延长线相交于点M,当△QMB为直角三角形时,求t的值.
【答案】(1)10-2t;(2)或;(3)或
【详解】
(1)如图,作DH⊥AB于H
则四边形DHBC是矩形
∴CD=BH=8cm,DH=BC=6cm
∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)
在Rt△ADH中,由勾股定理得
∵DP=2tcm
∴AP=AD-DP=(10-2t)cm
(2)①当△APQ∽△ADB时
则有
∴
解得:
②当△APQ∽△ABD时
则有
∴
解得:
综上所述,当或时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似;
(3)①当∠QMB=90゜时,△QMB为直角三角形
如图,过点P作PN⊥AB于N,DH⊥AB于H
∴∠PNQ=∠BHD
∵∠QMB=90゜
∴∠PQN+∠DBH=90゜
∵∠PQN+∠QPN=90゜
∴∠QPN=∠DBH
∴△PNQ∽△BHD
∴
即4QN=3PN
∵PN∥DH
∴△APN∽△ADH
∴,
∴,
∴
由4QN=3PN得:
解得:
②当∠MQB=90゜时,△QMB为直角三角形,如图
则PQ∥DH
∴△APQ∽△ADH
∴
∴
即
解得:
综上所述,当或时,△QMB是直角三角形.
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