专题04 分式的运算与化简求值篇-备考2024年中考数学考点总结+题型专训（全国通用）

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因式分解的方法：
①提公因式法：；
②公式法：平方差公式：；完全平方公式：。
③十字相乘法：在中，若，则：
。
分式的性质：
分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。
约分与通分：
①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。
②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。
分式的乘除运算：
①乘法运算步骤： = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：对分子分母因式分解；
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：约掉公因式；
= 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。
②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。
分式的加减运算：
具体步骤： = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：将分式通分成同分母；
= 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III：分母不变，分子相加减。
分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。
专题练习
46．（2022•西藏）计算：．
【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝1．
47．（2022•兰州）计算：．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
48．（2022•大连）计算：．
【分析】先算除法，后算减法，即可解答．
【解答】解：÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝．
49．（2022•十堰）计算：．
【分析】根据分式的运算法则计算即可．
【解答】解：÷（a+）
＝÷（+）
＝÷＝
•
＝．
50．（2022•常德）化简：．
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（a﹣1+）÷
＝[+]•
＝•
＝．
51．（2022•内蒙古）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝﹣•
＝﹣，
当x＝3时，
原式＝﹣
＝﹣5．
52．（2022•阜新）先化简，再求值：，其中a＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝4时，原式＝＝．
53．（2022•资阳）先化简，再求值．，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣3时，
原式＝．
54．（2022•黄石）先化简，再求值：，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，
故a＝2，
原式＝
＝．
55．（2022•朝阳）先化简，再求值：，其中x＝（）﹣2．
【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x的值，代入即可．
【解答】解：原式＝•+
＝+
＝
＝
＝x，
∵x＝（）﹣2＝4，
∴原式＝4．
56．（2022•锦州）先化简，再求值：，其中．
【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝．
57．（2022•盘锦）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x的值代入原式．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵＝，
∴原式＝＝＝
58．（2022•郴州）先化简，再求值：，其中a＝+1，b＝﹣1．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：÷（+）
＝÷
＝•
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）
＝5﹣1
＝4．
59．（2022•营口）先化简，再求值：，其中a＝+|﹣2|﹣（）﹣1．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幂的意义计算出a的值，最后把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝•
＝，
∵a＝+|﹣2|﹣（）﹣1＝3+2﹣2＝3，
∴原式＝＝．
60．（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣；
（2）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝100．
【分析】（1）先算负整数指数幂、化简二次根式，再化简绝对值代入特殊角的函数值，最后算加减．
（2）按分式的运算法则先化简分式，再代入求值．
【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣+2022﹣
＝2+2﹣+2022﹣
＝2024；
（2）原式＝[﹣]÷
＝×
＝×
＝×
＝．
当x＝1，y＝100时．
原式＝100．