专题06 二次根式篇-备考2024年中考数学考点总结+题型专训（全国通用）

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二次根式的定义：
形如的式子叫做二次根式。
二次根式有意义的条件：
二次根式的被开方数大于等于0。即中，。
微专题
1．（2022•湘西州）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
2．（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故选：B．
3．（2022•贵阳）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3
【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得：x≥3，
∴x的取值范围是：x≥3．
故选：A．
4．（2022•绥化）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p＝（a≠0）即可得出答案．
【解答】解：∵x+1≥0，x≠0，
∴x≥﹣1且x≠0，
故选：C．
5．（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
6．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
7．（2022•青海）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【解答】解：由题意得x﹣1＞0，
解得x＞1，
故答案为：x＞1．
8．（2022•包头）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
【解答】解：根据题意，得，
解得x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
9．（2022•常德）要使代数式有意义，则x的取值范围为 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣4＞0，
解得：x＞4，
故答案为：x＞4．
10．（2022•邵阳）若有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴，解得x＞0．
故答案为：x＞2．
考点二：二次根式之性质与化简
知识回顾
二次根式的性质：
①二次根式的双重非负性：
二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。即。
二次根式的被开方数是一个非负数，恒大于等于0。即中，。
几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。
初中三大非负数：、、。
若，则。
②
③
微专题
11．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【分析】根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0，根据＝|a|和绝对值的性质化简即可．
【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
12．（2022•武汉）计算的结果是 ．
【分析】利用二次根式的性质计算即可．
【解答】解：法一、
＝|﹣2|
＝2；
故答案为：2．
13．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣＝ ．
【分析】根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可以将所求式子化简．
【解答】解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣+
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
14．（2022•贺州）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+＝0，则3m+n＝ ．
【分析】根据非负数的性质求出m和n的值，再代入3m+n计算可得．
【解答】解：∵|m﹣n﹣5|+＝0，
∴m﹣n﹣5＝0，2m+n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴3m+n＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
15．（2022•黔东南州）若（2x+y﹣5）2+＝0，则x﹣y的值是 ．
【分析】根据非负数的性质可得，应用整体思想①﹣②即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
由①﹣②得，
x﹣y＝9．
故答案为：9．
考点三：二次根式之二次根式的运算与化简
知识回顾
同类二次根式：
被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。
最简二次根式：
最简二次根式满足的条件：
①被开方数不含开方开的尽的数或式子。
②被开方数不含分母。
③分母里面不含根号。
三点同时满足，缺一不可。
二次根式的加减运算：
（类比同类项的加减运算）
二次根式的乘除运算：
①乘法运算：。推广：。
②乘法逆运算：。
③除法运算：。推广：。
④除法逆运算：。
二次根式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
二次根式的分母有理化：
在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。
①。
②
微专题
16．（2022•柳州）计算：＝ ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：×＝；
故答案为：．
17．（2022•山西）计算：的结果为 ．
【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝＝3．
故答案为：3．
18．（2022•桂林）化简的结果是（ ）
A．2B．3C．2D．2
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【解答】解：＝2，
故选：A．
19．（2022•河北）下列正确的是（ ）
A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7
【分析】根据＝判断A选项；根据＝•（a≥0，b≥0）判断B选项；根据＝|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．
【解答】解：A、原式＝，故该选项不符合题意；
B、原式＝×＝2×3，故该选项符合题意；
C、原式＝＝92，故该选项不符合题意；
D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；
故选：B．
20．（2022•广西）化简：＝ ．
【分析】应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：＝＝＝2．
故答案为：2．
21．（2022•衡阳）计算：＝ ．
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
【解答】解：原式＝＝＝4．
故答案为：4
22．（2022•哈尔滨）计算的结果是 ．
【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．
【解答】解：原式＝+3×
＝
＝2．
故答案为：2．
23．（2022•六盘水）计算：＝ ．
【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：﹣2＝2﹣2＝0．
故答案为0．
24．（2022•安顺）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式＝2+，
∵3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
故选：B．
25．（2022•大连）下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．＝﹣3C．2+3＝5D．（+1）2＝3
【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝﹣2，故A不符合题意；
B、＝3，故B不符合题意；
C、2+3＝5，故C符合题意；
D、（+1）2＝3+2，故D不符合题意；
故选：C．
26．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
27．（2022•青岛）计算的结果是（ ）
A．B．1C．D．3
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
【解答】解：（﹣）×
＝﹣
＝﹣
＝3﹣2
＝1，
故选：B．
28．（2022•朝阳）计算：﹣|﹣4|＝ ．
【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可．
【解答】解：原式＝﹣4
＝3﹣4
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
29．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是 ．
【分析】根据的范围，求出3﹣的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴1＜3﹣＜2，
∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2，
故答案为：2．
30．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣12
＝19﹣1
＝18，
故答案为：18．
31．（2022•泰安）计算：＝ ．
【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
【解答】解：原式＝﹣3×
＝4﹣2
＝2，
故答案为：2．
32．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y＝，则的值是 ．
【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵y＝++，
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x＝2，y＝，
则原式＝×＝＝，
故答案为：