专题13 尺规作图篇-备考2024年中考数学考点总结+题型专训（全国通用）

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尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
（4）作已知角的角平分线．
具体步骤：
①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
（5）过一点作已知直线的垂线．
复杂作图：
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基
本作图，逐步操作。
设计作图：
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。
专题练习
1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．
【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AD＝AE．
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
3．如图，已知线段AC和线段a．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；
②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．
（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．
【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．
（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．
②如图，矩形ABCD即为所求．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵a＝2，
∴AB＝CD＝2，
∴BC＝AD＝＝＝，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．
4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．
（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．
（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴BC＝EC，
∵AB＝BC，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE为菱形．
5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．
【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；
（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．
6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．
（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；
（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．
【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；
（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；
（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；
（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；
（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，
∴1﹣y＝，
化简得y＝﹣，
当x＝4时，y＝﹣4，
∴点P（4，﹣4）在停车带上．
7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；
（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；
（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．
【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；
（3）如图②中，点E即为所求；
（4）如图③，点P，点Q即为所求．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．证明∠ACB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；
（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cs30°＝，
∴BC＝2．
9．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
（1）由作图可知，直线MN是线段AD的 ．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．
【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上FA＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．
【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，AE＝DE，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠BAD，
∴DF∥AB，
同理DE∥AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵FA＝FD，
∴四边形AEDF为菱形．
10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．
【解答】解：（1）如图，DH为所作；
（2）∵DH垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠A＝∠DCA，
∴DC＝DA，
∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．
11．已知：△ABC．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．
【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；
（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．
12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；
（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．
【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；
（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．
【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；
（2）如图2中，直线n即为所求；
13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；
（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；
（2）根据菱形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；
（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．
14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；
【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；
【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．
【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；
【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；
【问题再解】如图3中，即为所求．
15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；
（2）作A点关于BC的对称点D即可；
（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．
【解答】解：（1）如图1，CD为所作；
（2）如图2，
（3）如图3，△EDC为所作．