初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.1 图形的旋转同步练习题

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点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；
图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点。
2）旋转三要素： = 1 \* GB3 ①旋转方向； = 2 \* GB3 ②旋转中心； = 3 \* GB3 ③旋转角度
注：旋转中心可在任意位置。即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上。
3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
4）确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
5）旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022·江苏连云港市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
【答案】B
【分析】根据旋转的性质求出∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，求出∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，∠C′AC＝∠BAB′＝40°，根据平行线的性质得出∠C′CA＝∠CAB＝70°，求出∠C′AC即可．
【详解】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，
∴∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，∴∠C′AC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠C′AC＝∠BAB′＝40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键．
2．（2022·成都市·八年级期末）如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，）D．（﹣2，3）
【答案】A
【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．
【详解】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′=2，∠B′A′H=60°，
∴A′H=A′B′=1，B′H=，∴OH=2+1=3，∴B′（，3），故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
3．（2022·广西贵港市·八年级期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形绕顶点逆时针旋转得到三角形，与相交于点，则线段长度的最小值为（ ）
A．6B．5.2C．4.8D．4
【答案】C
【分析】根据题意及点到直线的距离垂线段最短，当时，最短，利用等面积法即可求得．
【详解】旋转，，当时，最短，
，．故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键．
4、（2022•南开区月考）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示，将
该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是
A．B．C．D．
【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【答案】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转4次所组成，故最小旋转角为．故选：．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．
5．（2022·广西八年级期末）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形，若点恰好在的延长线上，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】由三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，得∠ABC=∠CDE=110°，则∠ADC=70°．
【详解】解：∵三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，∴∠ABC=∠CDE，
∵∠ABC=110°，∴∠CDE=110°，∴∠ADC=70°，故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等是解题的关键．
6．（2022·江苏八年级专题练习）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．
【答案】72
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
【详解】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，∠AOE＝＝72°．
【点睛】本题主要考查了旋转图形．正确掌握旋转图形的性质是解题的关键．
7.（2022·江苏泰州中学附属初中初二期末）如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3），则这个旋转中心的坐标是__________．
【答案】（1，1）
【分析】连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心．
【解析】解：连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示，
∵A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3），∴E点的坐标为（1，1），
∴这个旋转中心的坐标是（1，1），故答案为：（1，1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
8．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．（1）将△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，﹣1）为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为 ，旋转中心坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90°，（1，0）
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求作．
（2）△A2B2C2即为所求作．

（3）如图，连接 分别作的垂直平分线，交点即为旋转中心，
所以将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为90°，旋转中心坐标为（1，0）．
故答案为：90°，（1，0）．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
培优第二阶——拓展培优练
1．（2022·江苏泰州市·八年级期中）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（）
A．64°B．36°C．26°D．22°
【答案】C
【分析】如图：设BC交C'D'于K，利用四边形内角和=360∠BAD'即可解决问题．
【详解】如图设BC交C'D'于K，
在四边形ABKD'中，∵∠B=∠D'=90，∠BKD'=∠1=116，∴∠BAD'=180-116=64
∵∠BAD=90，∴∠DAD'=90-64=26．故选C．
【点睛】本题目考查旋转，涉及的知识点有四边形内角和等，难度不大．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可
第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示：

由的坐标为可知：，，在中，，
由旋转性质可知：，，，
，
在与中： ，
，， 此时点对应坐标为，当第二次旋转时，如下图所示：
此时A点对应点的坐标为．当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为．
当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．
当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为．
第6次旋转时，与A点重合．
故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．
由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为．故选：A．
【点睛】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．
3．（2022·江阴初级中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC=4，BC=3，则AG的长为( )
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】连接CF，先证明△ACF为直角三角形，再由△ABC中等面积法求出CF，进而求出AF；再证明△DEF为直角三角形，且G为DE的中点，最后AG=AF-GF即可求解.
【详解】解：连接CF，如下图所示：
∵M是AC的中点，∴MC=MA ∵M是旋转中心，C绕M点旋转后的落点为F
∴MC=MF∴∠MCF=∠MFC，∴MA=MC=MF ∴∠MFA=∠A
在△ACF中，由内角和定理知：∠A +∠MFA+∠ACF+∠CFM=180°故2∠AFM+2∠CFM=180°
∴∠AFC=90° ∴△ACF为直角三角形，CF⊥AB
由△ABC等面积法知：，且AB=5 代入数据解得CF=
∴ ∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACF=90°∴∠ACF=∠B
又DF⊥EF，∴∠AFD+∠AFE=90° ∵∠AFD+∠MFC=90°∴∠AFE=∠MFC=∠ACF
由知：∠B=∠AFE又由旋转知：∠B=∠E∴∠AFE=∠E，即GF=GE
由旋转知：∠A=∠D又∠A=∠AFM∴∠D=∠AFM，∴GF=GD故GF=GE= GD
∴G为Rt△DEF斜边DE上的中点∴∴故答案为：A.
【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的判定方法、直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题的关键是能连接CF并计算出CF的长.
4．（2022·广东 九年级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转后得到△，其中点，，的对应点分别是点，、，那么旋转中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】C
【分析】据对应点到旋转中心的距离相等，根据网格特征作AA′和CC′的垂直平分线，得到交点即可得答案．
【详解】如图，作AA′和CC′的垂直平分线，由图象可知：点为旋转中心．故选：C．

【点睛】本题考查了图形的旋转，可由旋转的性质确定旋转前后两个图形的旋转中心，灵活应用旋转的性质是解题的关键．
5．（2022·江苏无锡市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边上一点，且，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为_______．
【答案】
【分析】当点在线段延长线上时，取得最大值，画出图形，过点作于点，求出的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进而可得的长．
【详解】解：当点在线段延长线上时，取得最大值．过点作于点，如图所示：
，，，，∴，
，，，，
，在中，，
在中，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当点、、在同一条直线上时，有最大值．
6．（2022·全国）如图（1），在三角形ABC中，，BC边绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中（图2），当时，旋转角为__________度；当所在直线垂直于AB时，旋转角为___________度．
【答案】70 160
【分析】在三角形ABC中，根据三角形的内角和得到∠B=180°-38°-72°=70°，如图1，当CB′∥AB时，根据平行线的性质即可得到结论；如图2，当CB′⊥AB时根据垂直的定义即可得到结论．
【详解】解：∵在三角形ABC中，∠A=38°，∠C=72°，∴∠B=180°-38°-72°=70°，如图1，

当CB′∥AB时，旋转角=∠B=70°，∴当CB′∥AB时，旋转角为70°；
如图2，当CB′⊥AB时，∠BCB″=90°-70°=20°，∴旋转角=180°-20°=160°，
∴当CB′⊥AB时，旋转角为160°；故答案为：70；160．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，平行线的性质，正确的画出图形是解题的关键．
7.（2022·江苏泰州市·八年级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(﹣2，2)，B(0，5)，C(0，2)．（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．（2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为(2，0)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）(﹣1，﹣1)．
【分析】（1）按照题目要求分别画出旋转后各点的对应点，连接即可得到△A1B1C；
（2）将（1）中得到的图形按照题目要求分别画出平移后各点的对应点，连接即可得到△A2B2C2；
（3）由（2）中得到的△A2B2C2，观察其与△ABC的位置关系，即可得到旋转中心．
【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点(﹣1，﹣1)即为所求．
【点睛】本题主要考查图形的旋转和平移，能够按题目要求确定图形位置变化后各点对应坐标是解题关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2022·辽宁九年级）如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质得到∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，进而推出∠CAC′=40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC=∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，∵∠BAB'=40°，∴∠CAC′=40°，
∵∠C'DC=180°-∠DEC′-∠C′，∠CAC′=180°-C-∠AEC，∠DEC′=∠AEC，∠C′DC=∠CAC′=40°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．
2.（2022•唐河县九年级期末）下列各图形分别绕某个点旋转后不能与自身重合的是
A． B．C． D．
【分析】根据旋转图形的性质分别求出各选项图形的最小旋转角，然后解答即可．
【答案】解：、，所以，绕某个点旋转后能与自身重合，故本选项不符合题意；
、，，所以，绕某个点旋转4个，即后能与自身重合，故本选项不符合题意；、，，所以，绕某个点旋转2个，即后能与自身重合，故本选项不符合题意；、，所以，绕某个点旋转后不能与自身重合，故本选项符合题意．故选：．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．（2022·河南模拟预测）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2021次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点D作DT⊥x轴于点T，根据已知条件求出点D的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点D的坐标，发现规律，进而求出第2021次旋转结束时，点D的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点．
，，，，
，，，
，，，，
，，，，
矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；则第3次旋转结束时，点的坐标为；
则第4次旋转结束时，点的坐标为；发现规律：旋转4次一个循环，，
则第2021次旋转结束时，点的坐标为．故选：．
【点睛】本题考查了旋转及点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
4．（2022·浙江九年级期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（ ）
A．60B．90C．120D．180
【答案】C
【分析】观察图形可知转子叶片是正三角形，因此可求出旋转角度.
【详解】解：由题意得 360°÷3=120°, 故选：C.
【点睛】此题考查旋转对称图形，熟练运用空间想象能力，找到规律性是解题关键.
5．（2022·山东九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上，连接BB'，则BB'的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．2cmD．4cm
【答案】B
【分析】先计算出∠BAC＝60°，AB＝2AC＝4，再根据旋转的性质得到∠C′AB′＝∠CAB＝60°，AB＝AB′，则可判断△ABB′为等边三角形，从而得到BB′的长．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝4，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°，AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∴BB′＝AB＝4（cm）．故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
6．（2022·福州九年级二模）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝_____度．
【答案】90
【分析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即∠AEA1＝α＝90°．
【详解】解：如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，
∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，
∵∠AEA1＝90°，∴旋转角α＝90°，故答案为：90．
【点睛】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键．
7．（2022·黑龙江九年级期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是____________．
【答案】
【分析】首先根据直线AB求出点A和点B的坐标，结合旋转的性质可知点的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长，进而得出的坐标．
【详解】解：中，令x=0得，y=4；令y=0得，，解得x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4）．由旋转可得△AOB≌△AO′B′，∠=90°，
∴∠=90°，，∴∥x轴，
∴点的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长
故点的坐标是（-7，3），故答案为：（-7，3）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
8.（2022·江西九年级期末）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若A′D＝CD，则∠A＝__度．
【答案】35
【分析】结合题意，根据旋转的性质，得∠ACA'＝∠DCA'＝35°；根据等腰三角形性质，得∠A'＝∠DCA'，即可得到答案．
【详解】∵△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C∴∠ACA'＝∠DCA'＝35°，
∵A′D＝CD，∴∠A'＝∠DCA'＝35°，
由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝35°，故答案为：35．
【点睛】本题考查旋转、等腰三角形的知识；解题关键是掌握旋转、等腰三角形的性质，从而完成求解．
9．（2022·山东九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为__________．
【答案】（1， 1）
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，线段BE与OC的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】解：∵△OAB绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△CDE，∴O的对应点分别是C，、B的对应点分别是E，又∵线段BE的垂直平分线为y=x，线段OC的垂直平分线是y=1，
∴线段BE与OC的垂直平分线的交点为（1， 1）．故答案为（1， 1）．
【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂直平分线是解题的关键．