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初中数学苏科版八年级下册10.3 分式的加减习题
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这是一份初中数学苏科版八年级下册10.3 分式的加减习题,文件包含103分式的加减培优分阶练原卷版docx、103分式的加减培优分阶练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。
分式的加减
①同分母的分式相加减法则:分母不变,分子相加减.用式子表示为:.
②异分母的分式相加减法则:先通分,变为同分母的分式,然后再加减.
用式子表示为:.
注意:分式是分数的扩展,因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1.(2023·陕西西安·校考二模)计算的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】先通分,然后进行同分母分式加减运算,最后要注意将结果化为最简分式.
【详解】解:故选:A.
【点睛】本题考查了分式的加减运算,题目比较容易.
2.(2022·河南洛阳·统考一模)用肥皂水吹泡泡,泡沫的厚度约为0.000326毫米,0.000326用科学记数法表示为( )
A.3.26×10﹣4B.326×10﹣3C.0.326×10﹣3D.3.26×10﹣3
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】解:=.故选:A.
【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键.
3.(2023春·江苏·八年级专题练习)计算的结果是( )
A.1B.C.2D.
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算即可求出答案.
【详解】解:原式=1故选:A
【点睛】此题考查了分式的加减运算,掌握分式的加减运算法则是解题关键.
4.(2021·河北邯郸·统考三模)若,则( )中的数是( )
A.B.1C.D.任意实数
【答案】A
【分析】将看成差,将看成减数,用差加上减数即可求出被减数的值.
【详解】解:====.故选:A.
【点睛】本题主要考查分式的加减,熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键.
5.(2022秋·湖北黄石·八年级校考期末)当分式- 与-经过计算后的结果是-时,则它们进行的运算是( )
A.分式的加法B.分式的减法C.分式的乘法D.分式的除法
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则计算即可.
【详解】故选:A
【点睛】本题考查的是分式的四则运算,分别掌握分式的各运算的法则是关键.
6.(2022秋·江苏·八年级专题练习)在分式加减运算中,常用到下列四个依据:
Ⅰ、合并同类项 Ⅱ、约分 Ⅲ、同分母分式的加减法则 Ⅳ、通分
化简
①
②
③
④
则正确的表示是( )
A.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-ⅡB.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅲ,④-Ⅱ
C.①-Ⅱ,②-Ⅰ,③-Ⅲ,④-ⅣD.①-Ⅱ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-Ⅳ
【答案】A
【分析】利用异分母分式加减法的法则即可求解
【详解】①(此步骤结合分式的基本性质进行了通分)
②(同分母分式的加减法则)
③(此步骤将分子合并同类项进行化简)
④(此步骤结合分式的基本性质进行了约分)故选A
【点睛】本题考查异分母分式的加减法,理解分式基本性质,掌握异分母分式加减法运算法则是解题关键.
7.(2022秋·天津津南·八年级统考期中)化简:________.
【答案】2
【分析】根据分式的减法法则即可得.
【详解】解:原式,,,故答案为:2.
【点睛】本题考查了分式的减法,熟练掌握运算法则是解题关键.
8.(2022秋·湖南郴州·八年级校考阶段练习)化简:___.
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则计算即可.
【详解】解:原式.故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的加减运算,熟练掌握分式的加减运算法则是本题的关键.
9.(2022春·江苏宿迁·八年级统考期中)已知x-y=xy,则_______________.
【答案】-1
【详解】试题分析:====-1.故答案为-1.
点睛:本题考查了分式的加减运算,解决此类问题要认真观察已知与要求之间关系,然后进行整体代入.
10.(2022秋·广西贵港·八年级统考期末)计算:______.
【答案】
【分析】利用分式的加减运算的法则进行运算即可.
【详解】解: .故答案为:.
【点睛】本题主要考查分式的加减,解题的关键是对相应的运算法则的掌握.
11.(2023春·江苏·八年级专题练习)化简:.
【答案】
【分析】先先化简,再通分,最后相加即可得到答案
【详解】解:
.
【点睛】本题考查分式的化简,解答本题的关键是明确分式化简的方法.
12.(2022秋·全国·八年级专题练习)老师所留的作业中有这样一个分式的计算题,甲、乙两位同学完成的过程分别如下:
老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
(1)请你从甲、乙两位同学中,选择一位同学的解答过程,帮助他分析错因,并加以改正.我选择______同学的解答过程进行分析(填“甲”或“乙”).该同学的解答从第____步开始出现错误,错误的原因是_______;
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程:
【答案】(1)甲,一,通分时第一个分式的分子少乘了x-1;(或乙,二,直接去掉分母);(2)
【分析】(1)根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断;
(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得.
【详解】(1)我选择甲同学的解答过程进行分析,该同学的解答从第一步开始出现错误,错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1;
或我选择乙同学的解答过程进行分析,该同学的解答从第二步开始出现错误,错误的原因是直接去掉分母;
故答案为:甲,一,通分时第一个分式的分子少乘了x-1;(或乙,二,直接去掉分母);
(2)(选甲为例)
===
【点睛】本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
培优第二阶——拓展培优练
1.(2022·河北唐山·八年级统考期末)在化简分式的过程中,开始出现错误的步骤是( )
A.AB.BC.CD.D
【答案】B
【分析】观察解题过程,找出错误的步骤及原因,写出正确的解题过程即可.
【详解】上述计算过程中,从B步开始错误,分子去括号时,1没有乘以3.正确解法为:
.故选:B.
【点睛】本题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
2.(2022·安徽合肥·校考二模)某轮船往返于A、B两地之间,设船在静水中的速度不变,那么,当水的流速增大时,轮船往返一次所用的时间( )
A.不变B.增加C.减少D.增加,减少都有可能
【答案】B
【分析】可设全程,船的静水速度,原来的水流速度,后来的水流速度为未知数,让路程÷顺水速度+路程÷逆水速度,分别求得两种情况下轮船往返一次所用的时间,进而让得到的两个代数式相减,根据结果可判断相应的时间大小.
【详解】设全程为S,船在静水中的速度为V,水的流速为V水1,往返一次所需时间为,当水的流速度增大时,则不妨设水的流速由V水1,变为V水2,所以,时间差为(
∵,,
,
,
∴当水速增加时,往返一次时间变长.故选B.
【点睛】本题考查推理与论证;得到两种水速下时间的代数式是解决本题的突破点;比较两个代数式的大小,通常用减法,将得到的结果与0的比较.
3.(2022·河北邢台·校考一模)若,则“( )”中的式子是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由题意知“()”中的式子为,计算求解即可.
【详解】解:故选A.
【点睛】本题考查了分式的加减.解题的关键在于正确的运算.
4.(2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中)已知两个分式:,,其中x≠±2,则A与B的关系是( )
A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A大于B
【答案】C
【详解】∵B====,
又∵A=,∴A+B=+=0,∴A与B的关系是互为相反数.故选:C.
5.(2022·天津·模拟预测)若,则的结果为( )
A.B.2C.3D.5
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.
【详解】解:,故选:B.
【点睛】本题考查了分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
6.(2022春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末)已知,,,,则、、的大小关系是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由A,C都为正数,结合分子相同,分母越大分数值越小,可得 再利用作差法比较C,B的大小即可.
【详解】解:
则 则 故选A
【点睛】本题考查的是分式的值的大小比较,掌握“作差法比较代数式的大小”是解本题的关键.
7.(2022·河北保定·校考二模)数学课上,老师展示佳佳的解答如下:
计算:,
解:原式①
②
③
=3④
对佳佳的每一步运算,依据错误的是:( )
A.①:同分母分式的加减法法则B.②:合并同类项法则
C.③:提公因式法D.④:等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据分式的加减法法则计算即可.
【详解】解:①:同分母分式的加减法法则,正确;②:合并同类项法则,正确;
③:提公因式法,正确;④:分式的基本性质,故错误;故选:D.
【点睛】此题考查了分式的加减,熟练掌握法则及运算律是解本题的关键.
8.(2022秋·山东滨州·八年级校考阶段练习)如果,则的值为( )
A.2B.1C.D.
【答案】C
【分析】先对变形得到,然后将化成,再结合完全平方公式得到,最后将代入即可解答.
【详解】解:∵,即
∴.故选C.
【点睛】本题主要考查了分式的减法、完全平方公式的应用以及代数式求值,灵活运用完全平方公式是解答本题的关键.
9.(2022秋·重庆九龙坡·九年级四川外国语大学附属外国语学校校考期中)已知两个分式:,:将这两个分式进行如下操作:
第一次操作:将这两个分式作和,结果记为;作差,结果记为;
(即,)
第二次操作:将,作和,结果记为;作差,结果记为;
(即)
第三次操作:将作和,结果记为;作差,结果记为;
(即)…(依此类推)
将每一次操作的结果再作和,作差,继续依次操作下去,通过实际操作,有以下结论:
①;②当时,;③若,则;④在第(n为正整数)次操作的结果中:(),;
以上结论正确的个数有( )个
A.3B.2C.1D.0
【答案】A
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作,找到规律,然后判断即可.
【详解】解:∵M1=,N1=
∴,,
∴,,
∴,,
,,
……
可知 ,故选项①正确;
由上式可知:,
=
当时,,故选项②正确;
由上式可知:,
∴,
解得,或,故选项③不正确;
∵M1=,N1=
,,
,,……
∴(),,故选项④正确,故选:A.
【点睛】本题考查的分式的和与差,解题的关键是细心运算,找到数字规律.
10.(2023秋·江西赣州·八年级统考期末)___________
【答案】
【详解】试题分析:原式===.故答案为.
点睛:在进行分式的加减时,能化简的要化简后再计算.
11.(2022·江苏·八年级假期作业)已知,则的值为______.
【答案】8
【分析】由可得,再将整体代入化简即可求解.
【详解】解:因为,所以,所以,
所以.故答案为:8.
【点睛】本题主要考查分式化简求值,解决本题的关键是要熟练掌握整体代入方法.
12.(2023春·江苏·八年级专题练习)已,则的值是__________.
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算,再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组,求出方程组的解,即可得出答案.
【详解】解:,
,
,
,解得,,.故答案为:4.
【点睛】此题考查了分式的加减,根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键.
13.(2022·河北石家庄·统考一模)计算下列各式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
【答案】(1)(2)0(3)0(4)1
【分析】(1)运用平方差公式分步通分 ;(2)将各分式拆项,再两两抵消即可得出结果 ;
(3)先将各分式分解因式约分,再通分计算 ;
(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系 ,如,采用换元法简化式子.
【详解】(1)原式+++
(2)原式=
(3)原式
(4)设 则
原式
【点睛】本题考查了分式的加减运算,难度较大,因各分式复杂,故须观察各式中分母的特点,恰当运用通分的相关策略与技巧.
培优第三阶——中考沙场点兵
1.(2022·广西玉林·中考真题)若x是非负整数,则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A.①B.②C.③D.①或②
【答案】B
【分析】先对分式进行化简,然后问题可求解.
【详解】解:====1;故选B.
【点睛】本题主要考查分式的运算,熟练掌握分式的减法运算是解题的关键.
2.(2022·山西·中考真题)化简的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】先利用平方差公式通分,再约分化简即可.
【详解】解:,
故选A.
【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式,属于基础题,掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键.
3.(2022·浙江杭州·中考真题)照相机成像应用了一个重要原理,用公式表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,v,则u=( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质,把等式恒等变形,用含f、v的代数式表示u.
【详解】解:∵,∴,即,
∴,∴,故选:C.
【点睛】本题考查分式的加、减法运算,关键是异分母通分,掌握通分法则.
4.(2022·天津·中考真题)计算的结果是( )
A.1B.C.D.
【答案】A
【分析】利用同分母分式的加法法则计算,约分得到结果即可.
【详解】解:.故选:A.
【点睛】本题主要考查了分式的加减,解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则.
5.(2022·四川眉山·中考真题)化简的结果是( )
A.1B.C.D.
【答案】B
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可.
【详解】解:.故选:B
【点睛】本题考查分式的混合运算法则,解题的关键是掌握分式的混合运算法则.
6.(2022·湖北武汉·中考真题)计算:的结果是__.
【答案】.
【分析】【详解】原式
.
故答案为:.
7.(2022·内蒙古新城·二模)分式的最简公分母是________, =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式,然后通分,即可得到答案;然后进行计算求值即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴,的最简公分母为:
∴
故答案为:,
【点睛】本题考查了因式分解和公分母,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8.(2022·湖北鄂州·中考真题)先化简,再求值:﹣,其中a=3.
【答案】,2
【分析】先根据同分母分式的减法计算法则化简,然后代值计算即可.
【详解】解:
,
当时,原式.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值,熟知同分母分式的减法计算法则是解题的关键.
9.(2022·江苏泰州·中考真题)计算:
(1)计算:;
(2)按要求填空:
小王计算的过程如下:
解:
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】(1)(2)因式分解;三和五;
【分析】(1)先化成最简二次根式,然后根据二次根式的四则运算法则求解即可;
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
(1)解:原式;
(2)解:由题意可知:
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误;最终正确的计算结果为.
故答案为:因式分解,第三步和第五步,
【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则,属于基础题,熟练掌握运算法则是解题的关键.
10.(2023·江苏涟水·中考模拟)阅读下列材料:
分式和分数有着很多的相似点,例如类比分数的基本性质,我们得到了分式的基本性质;类比分数的运算法则,我们得到了分式的运算法则.我们知道,分子比分母小的叫做“真分数”;分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫做“假分数”.
类似地,我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:,这样的分式就是假分式,例如,这样的分式就是真分式.假分数可以化成(即)带分数的形式.类似地,假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式),例如.
解决下列问题:(1)分式是_____(填“真分式”或“假分式”);(2)假分式可化为带分式_____形式;
(3)如果分式的值为整数,求满足条件的整数的值;
(4)若分式的值为,则的取值范围是______(直接写出答案).
【答案】(1)真分式;(2);(3)4,2,5,1;(4).
【分析】(1)根据“真分式”的定义可得;(2)根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式;
(3)先将分式化为带分式,再根据分式部分为整数求得的值;
(4)将分式化为带分式,再判断的取值范围即可.
【详解】(1)的分母次数大于分子次数,故分式是真分式;故答案为:真分式;
(2)故答案为:;
(3)分式的值为整数,,
即是整数,则;解得或或或;的值为:4,2,5,1;
(4)
,,故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的加减运算,不等式的应用,掌握计算法则,理解题意是解题的关键.
甲同学:
= 第一步
= 第二步
= 第三步
乙同学:
= 第一步
= 第二步
= 第三步
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