数学苏科版第12章 二次根式12.1 二次根式练习题

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1 二次根式的概念
1）二次根式：形如（a≥0）叫做二次根式
注： = 1 \* GB3 ①表示的是算术平方根； = 2 \* GB3 ②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算
= 3 \* GB3 ③“”中的“2”可以省略，“”表示三次根式，不可省略
2 二次根式有意义的条件
1）二次根式（）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0）
注： = 1 \* GB3 ①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式
= 2 \* GB3 ② 不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负
3 二次根式的性质
1）性质一：二次根式结果非负性，即≥0（a≥0） 注：“”表示的是算术平方根
2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；=a。 （隐含条件：a大于等于0）
3）性质三：= 性质三即性质二的一般形式，必须同时符合性质一（非负性）
注：与的区别 ：隐含a≥0的条件，结果为a；中a可正可负，结果为。
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，解得：．故选：C
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（2023春·浙江台州·八年级校考期中）若，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：，，故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
3．（2023春·广西南宁·八年级统考阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质公式直接求解即可．
【详解】故选：D
【点睛】此题考查二次根式的性质，解题关键是公式为：．
4．（2023春·安徽六安·八年级校考阶段练习）下列式子中是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；
D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式．
5．（2023春·上海长宁·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________．
【答案】##
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【详解】∵∴∴∴故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
6．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简结果为______．
【答案】
【分析】根据数轴，得出，，，进而得出，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可得：，，，∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a，b的取值范围是解本题的关键．
7．（2023春·重庆渝中·七年级校考阶段练习）已知，则化简______．
【答案】##
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据，化简绝对值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，化简绝对值，整式的加减，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）已知，则______．
【答案】1
【分析】根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可．
【详解】解：∵，∴，，∴，
，故答案为：1
【点睛】此题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
9．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如果，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】结合题意，根据二次根式的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
【详解】解：
，解得：，答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式、一元一次不等式组的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
10．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知a，b，c在数轴上如图所示，化简：
【答案】
【分析】先根据数轴上点的位置判断出 ，然后利用二次根式的性质和实数的性质化简即可．
【详解】解：根据题意， ，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，实数与数轴，正确判断出是解题的关键．
11．（2022秋·浙江杭州·七年级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图：
(1)用“＜”连接0，a，b，c四个数；(2)化简：①；②．
【答案】(1)(2)①，②
【分析】（1）根据用数轴上的点表示的数，左边小于右边，即可将四个数用“＜”连接；
（2）①根据a、b、c的大小关系，先判断，将绝对值进行化简，最后合并同类项即可；②根据a、b、c的大小关系，得出，将绝对值和二次根式进行化简，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：由图可知：．
（2）解：①∵，∴，
∴；
②∵，且，∴，
∴．
【点睛】本题考查有理数大小比较、数轴、绝对值，二次根式的化简，合并同类项，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数轴的知识解答．
12．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，20
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再将x和y的值带入进行计算即可．
【详解】解：原式==，
当，，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握．
培优第二阶——拓展培优练
1．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市庐阳中学校考期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据数轴上点的位置得到，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由题意得，，∴，
∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，正确得到是解题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·八年级江夏一中校考阶段练习）已知，，化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．
3．（2023春·广东惠州·八年级惠州市河南岸中学校考阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（ ）
A．5B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】化简二次根式进而得出n的最小值．
【详解】，且是整数，最小正整数n的值是5，故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的定义，正确化简二次根式是解题的关键．
4．（2023春·山西吕梁·八年级校考期中）已知为实数，那么______．
【答案】0
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，再根据平方的非负性，得到，即可得到答案．
【详解】解：有意义，，，
，，，故答案为：0．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，平方的非负性，解题关键是掌握二次根式有意义的条件：要使二次根式有意义，被开方数要大于等于0．
5．（2023春·重庆渝北·八年级为明学校校考阶段练习）两江新区某校数学兴趣小组同学在学习了二次根式之后对于产生了浓厚的兴趣，他们研究了四个问题，并得到一些结论，其中正确的有____________．
的值随的变化而变化，当时，此代数式有最小值2；
在的条件下化简的结果为2；
当的值恒为定值时，字母的取值范围是；
若，则字母必须满足．
【答案】
【分析】分别根据完全平方公式对代数式进行化简，根据绝对式的性质分情况讨论，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴代数式有最小值随随的变化而变化，
当时， ，
当时，，
当时，，
∴，故和正确，
∵，
当时，，
当时，，故正确；
∵，故无论a为何值，均成立，故错误，故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式、绝对值和二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识．
6．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解： 故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
7．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）已知都是实数，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，整式的混合运算法则即可求解．
【详解】解：∵中，中，
∴，解得，，
∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，整式的混合运算的综合，理解二次根式的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________．
【答案】
【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案．
【详解】解：∵的三边分别为a、b、c，
∴，∴，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到是解题的关键．
9．（2023上海市文来中学七年级期中）x，y，z适合关系式：，求m-4的平方根．
【答案】
【分析】由二次根式有意义的条件求出x+y=2004，可得，再由算术平方根的非负性得出x+2y=3，与x+y=2004联立求出x和y，进而求出m，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵x+y-2004≥0，2004-x-y≥2004，∴x+y=2004，
∴，∴，①-②，得x+2y=3，
解，得，把代入②，得8010-6003-m=0，
∴m=2007，∴m-4=2003，∴m-4的平方根是．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的非负性，以及解二元一次方程组，得出关于x和y的二元一次方程组是解答本题的关键．
10．（2023春·山西吕梁·八年级校考期中）阅读材料，解答问题．
例：若代数式的值是常数2，则a的取值范围．
分析：原式，而表示数x在数轴上的点到原点的距离，表示数a在数轴上的点到数2的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式
在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的范围应是
(1)此例题的解答过程了用了哪些数学思想？请列举例说明．
(2)化简
【答案】(1)数形结合思想，分类讨论思想
(2)当时，原式；时，原式；当时，原式
【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论；（2）分，及三种情况进行讨论即可．
【详解】（1）数形结合思想：借助数轴进行分析的值；
分类讨论思想：在数轴上看，讨论a在数2表示的点左边；在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边．
（2）原式
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论．
11．（2023春·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）知识回顾
我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论：
．二次根式在实数范围内有意义的条件是．
．二次根式的性质：①；②．
类比推广
根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题．
(1)根式在实数范围内有意义的条件是 ，
根式在实数范围内有意义的条件是 ；
(2)写出次根式（，是整数）在实数范围内有意义的条件和性质．
【答案】(1)；为任意实数；(2)见解析
【分析】（1）根据二次根式的相关知识，再结合乘方的性质即可得到答案；
（2）分析（1）的结论，再根据二次根式的相关知识，即可得到答案．
【详解】（1）解：为偶数，根式在实数范围内有意义的条件是；
为奇数，根式在实数范围内有意义的条件是为任意实数，
故答案为：；为任意实数；
（2）解：（，是整数）有意义的条件：
当为偶数时，；当为奇数时，为任意实数．
（，是整数）的性质：
当为偶数时，①，②；
当为奇数时，①，②．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，解题关键是熟练掌握二次根式和乘方的相关知识．
12．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
(2)试着把化成一个完全平方式；
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据题干中的方法应用完全平方公式展开，对应相等即可得出结果；
（2）将7拆分，然后利用完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴，
∴，；
（2）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式书写二次根式，理解题意，掌握完全平方公式是解题关键．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【答案】(1) (2) (3)a的值为或
【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又为正整数，
，或者，
当时，；
当，，
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答前提．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·九年级校联考阶段练习）一次函数的图象如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】根据正比例函数的图象经过一、三象限可得，再化简所求代数式即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过一、三象限，
∴，解得，，
∴====1，故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质以及化简二次根式，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
2．（2023·辽宁营口·校考一模）若二次根式（b为常数且）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式有题意的条件和分式有意义的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，解得：且，
∵，∴原不等式组的解集为，故选：B．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，以及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，求不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4．（2023春·四川自贡·九年级校考阶段练习）若，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质及幂的乘方运算的逆运算化简即可得到答案．
【详解】解：，，故选：D．
【点睛】本题考查二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质及幂的乘方运算的逆运算化简是解决问题关键．
5．（2023·湖南九年级月考）若，则_________．
【答案】2021
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得到，然后化简绝对值可以得到，即可得到.
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，
∴∴，∴，故答案为：2021.
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
6．（2023·浙江温州市·九年级期中）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
7．（2022·江苏泰州市·九年级期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
【答案】4054
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解：
当时， 当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
8．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）化简的结果是______．
【答案】
【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：，故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
9．（2023江苏·九年级专题练习）化简：的结果是___．
【答案】2
【分析】利用完全平方公式以及二次根式的性质化简求出即可．
【详解】解：
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
10．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）化简：______．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简根式即可．
【详解】解：∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．（2023春·山东·九年级专题练习）的三边长分别为1、k、3，则化简_____．
【答案】1
【分析】根据三角形的三边关系得到，再判断得到，，再化简代数式即可．
【详解】解：∵的三边长分别为1、k、3，
∴，
∴，，
∴



．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．
12．（2023春·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）设，，为的三边，化简：．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系判定出的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：根据，，为的三边，
得到，，，，
则原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，根据三角形三边的关系确定出各式的符号是解本题的关键．