初中北师大版6 直线与圆的位置关系教学演示ppt课件

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认识力力的作用是相互的力的作用效果
1. 直线和圆有三种位置关系
要点提醒如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，那么第三个条件也成立：(1) 过圆心；(2) 过切点；(3) 垂直于切线.
如图3-6-1，在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则直线AB 和以点C 为圆心，r 为半径的圆有何位置关系？为什么？(1)r=4 cm；(2)r = 4.8 cm；(3)r = 7 cm.
解题秘方：求出点C 到AB 的距离，再将其与圆的半径的大小进行比较.
解：过点C 作CD ⊥ AB 于点D，如图3-6-1.在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则AB=10 cm.又∵ AB·CD=AC·BC，∴ CD=4.8 cm.(1)当r =4 cm 时，CD ＞ r，直线AB 和⊙ C 相离；(2)当r =4.8 cm 时，CD=r，直线AB 和⊙ C 相切；(3)当r =7 cm 时，CD ＜ r，直线AB 和⊙ C 相交.
1-1.[中考· 嘉兴] 已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙ O 半径为2 cm，线段OA=3 cm，OB=2 cm，则直线AB 与⊙ O 的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 相切D. 相交或相切
如图3-6-2，在△ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°，O 是AB 上的一点，OB=2m(m ＞ 0)，⊙ O 的半径r 为3，当m 分别在什么范围内取值时，直线BC 与⊙ O 相离、相切、相交？
解题秘方：利用直线与圆的位置关系建立方程(或不等式)求m 的取值范围.
解：如图3-6-2，作OD ⊥ BC 于点D.∵∠ A=30°，∠ C=90°，∴∠ B=60°. ∴∠ DOB=30°.在Rt △ ODB 中，∵ OB=2m，∴ DB=m，OD= m.
设OD=d.(1)当直线BC 与⊙ O 相离时，d ＞ r，即 m ＞ ，解得m ＞ 1.(2)当直线BC 与⊙ O 相切时，d=r，即 m = ，解得m=1.(3)当直线BC 与⊙ O 相交时，d ＜ r，即 m< ，解得m ＜ 1.又∵ m ＞ 0，∴ 0 ＜ m ＜ 1.
2-1. 已知直线l 与半径为2 的⊙ O 的位置关系是相离，则点O 到直线l 的距离的取值范围在数轴上表示正确的是( )
2-2.(易错题)在平面直角坐标系中，⊙ M 的圆心坐标为(m，4), 半径是2，如果⊙ M 与y 轴相切, 那么m=________ ；如果⊙ M 与y 轴相交,那么m 的取值范围是________ .
1. 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.2. 切线的性质
特别提醒性质定理的题设有两个条件：1. 圆的切线；2. 半径过切点.应用时缺一不可.
(1)切线和圆只有一个公共点.(2)圆心到切线的距离等于半径.(3)圆的切线垂直于过切点的半径.(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用).(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).(3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立.
如图3-6-3，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C，交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD.
(1)求∠ D 的度数；
解题秘方：利用“等半径”得等腰三角形；
解：如图3-6-3，连接OC. ∵ AO=CO，∴∠ OAC= ∠ ACO. ∴∠ COD=2 ∠ CAD.又∵∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD.∵ PD 与⊙ O 相切于点C，∴∠ OCD=90° . ∴∠ D=45°
(2)若CD=2，求BD 的长.
解题秘方：利用“切线”垂直于过切点的半径构成直角三角形，再结合相关性质求解.
解：由(1)可知△ OCD 是等腰直角三角形，∴ OC=CD=2.由勾股定理，得OD=∴ BD=OD－OB=2 －2.
3-1.[中考·怀化] 如图，AB 与⊙ O 相切于点C，AO=3，⊙ O的半径为2，则AC 的长为_________.
1. 判定定理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
特别提醒切线必须同时具备两个条件：1.直线过半径的外端；2.直线垂直于这条半径.
2. 判定方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.(3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图3-6-4，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连接CD，且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线.
解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”判定圆的切线.
证明：如图3-6-4，连接OD.由题意可知CD=OD=OA= AB=2.∵ OC=2 ，∴ OD2+CD2=OC2.∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD.又∵点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线.
4-1. 如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )A. 相交 B. 相离C. 相切 D. 相交或相切
如图3-6-5，在Rt △ ABC 中，∠ B=90°，∠ BAC 的平分线交BC 于点D，以点D 为圆心，DB 的长为半径作⊙ D. 求证：AC 与⊙ D 相切.
解题秘方：利用“无切点，作垂直，证半径”判定圆的切线.
证明：如图3-6-5，过点D 作DF ⊥ AC 于点F.∵∠ B=90°，∴ DB ⊥ AB.又∵ AD 平分∠ BAC，∴ DF=DB.∴ AC 与⊙ D 相切.
5-1. 如图， 点D 是∠ AOB 的平分线OC上任意一点，过点D 作DE ⊥ OB 于点E， 以DE为半径作⊙ D，求证：OA 是⊙ D 的切线．
证明：过点D作DF⊥OA于点F.∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，∴DF＝DE，即点D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，∴OA是⊙D的切线．
[中考·湖州]如图3-6-6，已知BC 是⊙ O 的直径，AC 与⊙ O 相切于点C，AB 交⊙ O 于点D，E 为AC 的中点，连接DE.
(1)若AD=DB，OC=5，求AC 的长；
解题秘方：构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角求解；
解：连接CD，如图3-6-6.∵ BC 是⊙ O 的直径，∴∠ BDC=90°，即CD ⊥ AB.∵ AD=DB，∴ AC=BC=2OC=10.
(2)求证：DE 是⊙ O 的切线.
解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”求证.
证明：连接OD，如图3-6-6.∵∠ ADC=90°，E 为AC 的中点，∴ DE=EC= AC. ∴∠ 1 ＝∠ 2.∵ OD=OC，∴∠ 3 ＝∠ 4.∵ AC 切⊙ O 于点C，∴ AC ⊥ OC.∴∠ 1+ ∠ 3= ∠ 2+ ∠ 4 ＝ 90°，即DE ⊥ OD.∴ DE 是⊙ O 的切线.
6-1.[ 中考·十堰] 如图，△ ABC 中，AB=AC，D 为AC 上一点， 以CD 为直径的⊙ O 与AB 相切于点E，交BC于点F，FG ⊥ AB，垂足为G.
(1)求证：FG 是⊙ O的切线；
证明：如图所示，连接OF. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OF＝OC.∴∠C＝∠OFC，∴∠OFC＝∠B.∴OF∥AB.∵FG⊥AB，∴FG⊥OF.又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．
(2)若BG=1，BF=3，求CF 的长.
1. 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
要点解读1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形.2.三角形的内心在三角形的内部.
2. 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.3.三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.
王奶奶有一块三角形的布料ABC，∠ ACB=90°，她要裁剪一个圆片，已知AC=60 cm，BC=80 cm，为了充分地利用这块布料，使裁剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆片的半径是多少？
解题秘方：在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形的内切圆.
解：如图3-6-7，设△ ABC 的内切圆⊙ O 的半径为r cm，⊙ O 分别切AB，BC，AC 于点D，E，F，连接OE，OF，则四边形OECF 为正方形.∴ CE=CF=r cm.
∵∠ ACB=90°，AC=60 cm，BC=80 cm，∴ AB=100 cm，AF=AD=(60－r)cm，BD=BE=(80－r)cm.∵ AD+BD=AB，即60－r+80－r=100，∴ r= =20.∴她应该裁剪下来这块三角形布料的内切圆，这个圆片的半径是20 cm.
直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和减去斜边之差的一半.
7-1. 如图，⊙ O 是△ ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. 若BA=BC=13，AC=24，求△ ABC的内切圆的半径.
如图3-6-8，在△ ABC 中，∠ A=70°，点O 是△ ABC 的内心，求∠ BOC 的度数.
解题秘方：三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点.
解：∵∠ A=70°， ∴∠ ABC+ ∠ ACB=180°－70°=110°.∵点O 是△ ABC 的内心，∴∠ OBC= ∠ ABC，∠ OCB= ∠ ACB.∴∠ OBC+ ∠ OCB= (∠ ABC+ ∠ ACB)=55°.∴∠ BOC=180°－55°=125°.
8-1.[ 中考· 德阳] 如图， 点E 是△ ABC 的内心，AE 的延长线和△ ABC 的外接圆相交于点D，与BC 相交于点G， 则下列结论：① ∠ BAD= ∠ CAD；②若∠ BAC=60 °， 则∠ BEC=120 °； ③ 若点G 为BC 的中点，则∠ BGD=90°；④ BD=DE．其中一定正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4