初中数学北师大版八年级下册2 直角三角形图文ppt课件

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直角三角形角的性质定理与判定定理勾股定理勾股定理的逆定理互逆命题和互逆定理“斜边、直角边”(“HL”)定理
直角三角形角的性质定理与判定定理
1. 直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余.几何语言：在△ ABC 中，∵∠ C=90°，∴∠ A+ ∠ B=90°.
2. 直角三角形角的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.几何语言：在△ ABC 中，∵∠ A+ ∠ B=90°，∴∠ C=90°，即△ ABC 为直角三角形.
特别解读♦直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角和定理.♦在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.
如图1-2-1，AB，CD 相交于点O，AC ⊥ CD 于点C. 若∠ BOD=35°，则∠ A=________.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
解：∵∠ BOD=35° ，∴∠ AOC=35°.又∵ AC ⊥ CD，∴∠ ACD=90°.∴ ∠ A=90°－∠ AOC=90°－35°= 55°.
1-1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是( )A. 25° B. 55°C. 65° D. 75°
如图1-2-2，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ ACD=∠ B. 求证：CD ⊥ AB.
解题秘方：利用直角三角形的性质定理与判定定理求出CD，AB 的夹角为直角
证明：∵∠ ACB=90°，∴∠ A+ ∠ B=90°.∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90°.∴∠ CDA=90°.∴ CD ⊥ AB.
2-1. 如图，∠ C=90°，∠1= ∠2，△ ADE 是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形，理由：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°，∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形．
1. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.数学表达式： 如图1-2-3， 在Rt △ ABC中，∠ C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则a2+b2=c2.2. 勾股定理的变形公式 a2=c2－b2；b2=c2－a2.
特别提醒♦勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.♦利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边.
3. 基本思想方法勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.
如图1-2-4，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=3，BC=4，CD ⊥ AB，垂足为D，求CD 的长.
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解.
3-1. 如图， 在△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=45°，AC=2，求AB，BC 的长.
解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠A＝30°，AC＝2，
如图1-2-5，在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AM 是中线，MN ⊥ AB，垂足为N. 求证：AN2－BN2=AC2.
解题秘方：将要证明的线段归结到不同的直角三角形中，结合勾股定理证明.
证明：∵ MN ⊥ AB，∴在Rt △ AMN 中，AN2+MN2=AM2，在Rt △ BMN 中，BN2+MN2=MB2.∴ AM2－AN2=MB2－BN2，即AM2－MB2=AN2－BN2.在Rt △ AMC 中，∵∠ C=90°，∴ AM2－MC2=AC2.又∵ AM 是中线，∴ MC=MB. ∴ AM2－MB2=AC2.∴ AN2－BN2=AC2.
4-1. 如图，在Rt △ ABC中，∠ A=90°，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2.
1. 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤(1)“找”：找出三角形三边中的最长边.(2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方.(3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则不是.
3. 勾股定理与其逆定理的关系
特别提醒♦a2+b2=c2只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是这时a 或b 为斜边.♦若最长边的平方比较短两边的平方和大，则该三角形为钝角三角形；若最长边的平方比较短两边的平方和小，则该三角形为锐角三角形.
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
解题秘方：紧扣“直角三角形的定义”和“勾股定理的逆定理”进行判断.
(1)在△ ABC 中，∠ A=25°，∠ C=65°；
解：在△ ABC 中，∵∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∴∠ B=180°－25°－65°=90°.∴△ ABC 是直角三角形.
(2)在△ ABC 中，AC=12，AB=20，BC=16；
解：在△ ABC 中，∵ AC2+BC2=122+162=202=AB2，∴△ ABC 是直角三角形.
5-1. 在△ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别是a，b，c，以下命题是假命题的是( )A. 若∠B+∠C=∠A，则△ ABC 是直角三角形B. 若a2=(b+c)(b－c)，则△ ABC是直角三角形C. 若∠ A∶∠B∶∠C=1∶2∶3， 则△ABC是直角三角形D. 若a=32，b=42，c=52， 则△ ABC是直角三角形
1. 互逆命题在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
2. 互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.注意：命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题.
3. 互逆命题与互逆定理的关系每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理. 只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理.
特别提醒♦写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，把题设和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来.♦原命题的真假和逆命题的真假没有必然联系.原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题也不一定是假命题.
判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
解题秘方：紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征改写命题.
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
解：原命题是真命题. 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交. 逆命题是真命题.
(2)如果a ＞ b，那么a2 ＞ b2；
原命题是假命题. 逆命题：如果a2 ＞ b2，那么a ＞ b.逆命题是假命题.
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
解：原命题是真命题. 逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数. 逆命题是真命题.
(4)如果ab ＜ 0，那么a ＞ 0，b ＜ 0.
原命题是假命题. 逆命题：如果a ＞ 0，b ＜ 0，那么ab ＜ 0. 逆命题是真命题.
6-1. 按要求完成下列各题.(1)请写出以下命题的逆命题：①相等的角是内错角；② 如果a+b>0， 那么ab>0.
解：“相等的角是内错角”的逆命题是“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”．
“如果a＋b＞0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＋b＞0”．
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是不是互逆定理.
解：定理首先是真命题，而(1)中①的原命题与逆命题都是假命题，故(1)中①的原命题和逆命题不是互逆定理．
“斜边、直角边”(“HL”)定理
1. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).2. 书写格式如图1-2-6，在Rt △ ABC 和Rt △ A′B′C′中 ， AB=A′B′， BC=B′C′，∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A′B′C′(HL).
3. 判定两个直角三角形全等常用的思路方法
特别提醒1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”.2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.3. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.
如图1-2-7，AC ⊥ BC，AD ⊥ BD，AD=BC，CE ⊥ AB，DF ⊥ AB，垂足分别是E，F. 求证：CE=DF.
解题秘方：利用“HL”证明两直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件.
证明：∵ AC ⊥ BC，AD ⊥ BD，∴∠ ACB= ∠ BDA=90°.在Rt △ ABC 和Rt △ BAD 中， AB=BA， BC=AD，∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD(HL).∴∠ CBE= ∠ DAF.
∵ CE ⊥ AB，DF ⊥ AB，∴∠ CEB=90°，∠ DFA=90°.在△ BCE 和△ ADF 中， ∠ CEB= ∠ DFA=90°， ∠ CBE= ∠ DAF， BC=AD，∴△ BCE ≌△ ADF(AAS). ∴ CE=DF.
7-1. 如图，BD，CE 分别是△ ABC的高，且BE=CD. 求证：Rt △ BEC ≌Rt △ CDB.