初中数学北师大版八年级下册4 角平分线教学课件ppt

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角平分线的性质定理角平分线的判定定理三角形的角平分线的性质定理
1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角的平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可.
2. 几何语言 如图1-4-1，∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴ PD=PE.
特别提醒♦角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).♦利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.
如图1-4-2，OD 平分∠ EOF， 在OE，OF 上分别取点A，B， 使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN.
解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等.
证明：∵OD 平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.在△ BOD 和△ AOD 中， OB=OA，∠ BOD= ∠ AOD，OD=OD，∴△ BOD ≌△ AOD(SAS).∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA.又∵ P 为DO 上一点，且PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，∴ PM=PN.
如图1-4-3，在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AD 平分∠ CAB， 交BC 于点D，DE ⊥ AB， 垂足为E. 若AB=8 cm，求△ DEB 的周长.
解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB 的周长转化为线段AB 的长.
解：在△ ABC 中，∠ C=90°，∴ DC ⊥ AC.又∵ DE ⊥ AB，AD 平分∠ CAB，∴ DC=DE.在Rt △ ACD 和Rt △ AED 中， AD=AD，DC=DE，∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED(HL).∴ AC=AE.∵ AC=BC，∴ AE=BC.∴△ DEB 的周长=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB= AE+EB=AB=8 cm.
2-1. 如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB 于点E，有下列结论：① CD=ED；② AC+BE=AB；③∠ BDE= ∠ BAC；④ DA 平分∠ CDE.其中正确的结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
如图1-4-4，BD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，求DE 的长.
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
3-1. [中考·北京] 如图，在△ ABC 中，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB．若AC ＝ 2，DE ＝ 1，则S△ACD ＝______.
1. 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
2. 几何语言 如图1-4-5，∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上.
3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如图1-4-5，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB 都具备；(2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等.
特别提醒1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
如图1-4-6，BE=CF，BF⊥AC于点F，CE ⊥ AB于点E，BF 和CE 交于点D. 求证：AD 平分∠ BAC.
解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠ DEB= ∠ DFC=90°.在△ BDE 和△ CDF 中， ∠ BDE= ∠ CDF， ∠ DEB= ∠ DFC， BE=CF，∴△ BDE ≌△ CDF(AAS). ∴ DE=DF.又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ AD 平分∠ BAC.
4-1. 如图，D，E，F 分别是△ ABC 三边上的点，CE=BF，△ DCE 和△ DBF的面积相等. 求证：AD平分∠ BAC.
如图1-4-7，∠ MAC 和∠ NCA 是△ ABC 的外角，∠ ABC 的平分线BD 与∠ MAC 的平分线AD 交于点D. 求证：CD 平分∠ ACN.
解题秘方：紧扣“到CA，CN 的距离相等的点在∠ACN 的平分线上”进行证明.
证明：如图1-4-7，过点D 作DE⊥BM于点E，DF ⊥ BN 于点F，DG ⊥ AC 于点G.∵ BD 平分∠ ABC，∴ DE=DF.∵ AD 平分∠ MAC，∴ DE=DG. ∴ DG=DF.∴ CD 平分∠ ACN.
由此例的结论可知，三角形的一条内角平分线与两条外角平分线也相交于一点.
5-1. 如图， △ ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE 交于点E. 若∠ BAC=70 °， 则∠CAE=_______° .
三角形的角平分线的性质定理
1. 性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
2. 几何语言 如图1-4-8， 在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠BAC， ∠ABC，∠ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离(OE，OG，OF 的长)相等，即OE=OG=OF.
要点解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
如图1-4-9，在△ ABC 中，点O 是∠ ABC，∠ ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=20. 过O 作OD⊥BC于点D，且OD=3, 求△ ABC的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.
6-1. 如图，有一块三角形的空地ABC. 其三边长AB，AC，BC 分别为30 m，40 m，50 m.现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
解：方案如图．分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地．理由：∵P为△ABC的三个内角平分线的交点，∴点P到AB，AC，BC的距离均相等．∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比．