2023-2024学年广东省东莞市松山湖实验学校九年级（上）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市松山湖实验学校九年级（上）月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. x+y=1B. x2+x=1C. x+1x=1D. ax2+bx+c=0
2.下列说法中，正确的是( )
A. “打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件
B. 某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C. 神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D. 了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查
3.将一元二次方程5x2−1=4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是( )
A. 5，−1B. 5，4C. 5，−4D. 5，1
4.用配方法解方程x2−4x−10=0，下列配方结果正确的是( )
A. (x+2)2=14B. (x+2)2=6C. (x−2)2=14D. (x−2)2=6
5.社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A. 100(1+x)2=392B. 392(1−x)2=100
C. 100(1+2x)2=392D. 100(1+x2)=392
6.某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A. 12x(x+1)=6B. 12x(x−1)=6C. x(x+1)=6D. x(x−1)=6
7.一元二次方程4x2+4x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
8.已知直角三角形的两条边长分别是方程x2−14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是( )
A. 6或8B. 10或2 7C. 10或8D. 2 7
9.如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路(阴影部分)，空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为( )
A. y=(30−2x)(20−x)
B. y=(30+x)(20−x)
C. y=(2x−30)(x−20)
D. y=(30−2x)(20+2x)
10.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇⋅赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为( )
A. 10x+(x−3)=(x−3)2B. 10(x+3)+x=x2
C. 10x+(x+3)=(x+3)2D. 10(x+3)+x=(x+3)2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在函数y= x+3中，自变量x的取值范围是______．
12.一元二次方程x2=x的根______．
13.若函数y=(a−2)xa2−2+ax是二次函数，则a的值为______．
14.已知关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有一个实数根为3− 5，则方程另一根为______．
15.两个连续奇数的积为35，则这两个连续奇数分别为______．
16.设m，n分别为方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则m2+3m+n=______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
解方程：x2−2 2x+1=0.(公式法)
19.(本小题4分)
解方程：x2+2x−4=0．
20.(本小题6分)
解方程：(2x−1)2−(x+3)2=0．
21.(本小题6分)
已知x1，x2是一元二次方程x2−5x−3=0的两个根，求：
(1)1x1+1x2；
(2)x12+x22．
22.(本小题10分)
用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
23.(本小题10分)
某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元．
(1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24.(本小题12分)
阅读材料：若m2−2mn+2n2−4n+4=0，求m，n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−4n+4=0，∴(m2−2mn+n2)+(n2−4n+4)=0
∴(m−n)2+(n−2)2=0，∴(m−n)2=0，(n−2)2=0，∴n=2，m=2．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2+b2−6a+9=0，则a=______，b=______．
(2)已知x2+2y2−2xy−8y+16=0，求x⋅y的值．
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a+b=8，ab−c2+10c=41，求△ABC的周长．
25.(本小题12分)
如图，在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿线段AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿线段BC向点C以2cm/s的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端后停止．
(1)设△BPQ的面积为S，请写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(2)经过几秒钟后，△BPQ的面积等于4cm2？
(3)△BPQ的面积能否为7cm2？
(4)经过几秒钟后，△DQP是等腰三角形？______(直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、x+y=1含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2+x=1是一元二次方程，符合题意；
C、x+1x=1含有分式，不是一元二次方程，不符合题意；
D、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：A.“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；
B.某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；
C.神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D.解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确．
故选：D．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．
本题考查了调查的方式和事件的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】C
【解析】解：5x2−1=4x，
5x2−4x−1=0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、−4，
故选：C．
先化成一般形式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．
4.【答案】C
【解析】解：x2−4x−10=0，
移项，得x2−4x=10，
配方，得x2−4x+4=10+4，
即(x−2)2=14．
故选：C．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，
根据题意得：100(1+x)2=392．
故选：A．
设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，根据该社区医院十月、十二月接种疫苗的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
12x(x−1)=3×2，
即12x(x−1)=6，
故选：B．
根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的单循环问题．
7.【答案】B
【解析】解：∵△=42−4×4×1=0，
∴一元二次方程4x2+4x+1=0的根的情况是有两个相等的实数根．
故选：B．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解法和勾股定理的应用，由方程可以求出直角三角形的两条边长，再根据勾股定理求三角形的第三边．
【解答】
解：解方程x2−14x+48=0，
即(x−6)(x−8)=0，
得：x1=6，x2=8，
∴当6和8是直角三角形的两直角边时，第三边是斜边，长为 62+82=10；
当8是斜边时，第三边是直角边，长为 82−62=2 7，
故直角三角形的第三边是10或2 7．
故选B．
9.【答案】A
【解析】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动，
则空白部分为矩形，长为(30−2x)米，宽为(20−x)米，
∴绿地面积y与x之间的函数表达式为y=(30−2x)(20−x)．
故选：A．
将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为(30−2x)米，宽为(20−x)米的矩形的面积，以此即可求解．
本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+(x+3)=(x+3)2，
故选：C．
设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字=个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】x≥−3
【解析】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥−3．
因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.【答案】x1=0，x2=1
【解析】解：由原方程得x2−x=0，
整理得x(x−1)=0，
则x=0或x−1=0，
解得x1=0，x2=1．
故答案是：x1=0，x2=1．
先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
13.【答案】−2
【解析】解：由题意得：
a2−2=2且a−2≠0，
解得：a=−2或a=2且a≠2，
∴a=−2．
故答案为：−2．
根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，可得a2−2=2且a−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义解题的关键．
14.【答案】3+ 5
【解析】解：设方程的另一个根为x2，
则3− 5+x2=6，
解得x2=3+ 5，
故答案为：3+ 5．
设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系列出方程，解之即可．
本题主要考查根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】−7，−5或5，7
【解析】解：设较小的奇数为x，则较大的奇数为(x+2)，
依题意得：x(x+2)=35，
解得：x1=−7，x2=5．
当x=−7时，x+2=−7+2=−5；
当x=5时，x+2=5+2=7．
故答案为：−7，−5或5，7．
设较小的奇数为x，则较大的奇数为(x+2)，根据两个连续奇数之积为35，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出较小的奇数，再将其代入(x+2)中即可求出较大的奇数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】2023
【解析】解：∵m，n分别为方程x2+2x−2025=0的两个实数根，
∴m2+2m−2025=0，
∴m2+2m=2025，
∵m，n分别为方程x2+2x−2025=0的两个实数根，
∴m+n=−2，
∴m2+3m+n=(m2+2m)+(m+n)=2025+(−2)=2023，
故答案为：2023．
根据一元二次方程的根的定义得出m2+2m−2025=0，求出m2+2m=2025，根据根与系数的关系得出m+n=−2，将所求式子变形后整体代入即可求出答案．
本题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式求值等知识，掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是14；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是112．
【解析】(1)直接利用概率公式求解；
(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18.【答案】解：x2−2 2x+1=0，
∴Δ=(−2 2)2−4×1×1=8−4=4，
∴x=2 2±22= 2±1，
解得：x1= 2+1，x2= 2−1．
【解析】先计算Δ=(−2 2)2−4×1×1=8−4=4，再利用求根公式解方程即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，熟练地利用公式法解一元二次方程是解本题的关键．
19.【答案】解：移项得x2+2x=4，
配方得x2+2x+1=4+1，
即(x+1)2=5，
开方得x+1=± 5，
∴x1= 5−1，x2=− 5−1．
【解析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
20.【答案】解：∵(2x−1)2−(x+3)2=0，
∴(2x−1+x+3)(2x−1−x−3)=0，
即(3x+2)(x−4)=0，
∴3x+2=0或x−4=0，
解得x1=−23，x2=4．
【解析】用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，掌握适当的方法解一元二次方程是关键．
21.【答案】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−5x−3=0的两个实数根，
∴x1+x2=5，x1⋅x2=−3；
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−53．
(2)x12+x22
=(x1+x2)2−2x1x2
=52−2×(−3)
=25+6
=31．
【解析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=5，x1⋅x2=−3，再将式子通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
(2)利用完全平方公式配出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
22.【答案】解：设围成面积为75cm2的矩形的长为xcm，则宽为(20−x)cm，
根据题意得：x(20−x)=75，
解得：x1=5，x2=15．
∵长>宽，
∴x=15，20−x=5．
∴能围成75cm2的矩形，这个矩形的长为15cm，宽为5cm．
同理，设围成面积为101cm2的矩形的长为ycm，则宽为(20−y)cm，
根据题意得：y(20−y)=75，
整理得：y2−20y+101=0．
∵△=(−20)2−4×1×101=−1<0，
∴此方程无解，即不能围成面积为101cm2的矩形．
答：长为15cm，宽为5cm时，所围成的矩形的面积为75cm2；用一条长40cm的绳子不能围成面积为101cm2的矩形．
【解析】设围成面积为75cm2的矩形的长为xcm，则宽为(20−x)cm，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；设围成面积为101cm2的矩形的长为ycm，则宽为(20−y)cm，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ<0即可得出该方程无解，进而即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
64(1−a)2=49，
解得：a1=1.875(舍去)，a2=0.125=12.5%，
答：每次下降的百分率为12.5%；
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得：
(10+x)(500−40x)=4500，
整理，得2x2−5x−25=0，
解得：x1=5，x2=−2.5(不合题意舍去)，
答：该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元．
【解析】(1)设每次降价的百分率为a，(1−a)2为两次降价的百分率，可列出方程，求解即可；
(2)根据总盈利=每千克盈利×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
24.【答案】3 0
【解析】解(1)由：a2+b2−6a+9=0，得(a−3)2+b2=0，
∵(a−3)2≥0，b2≥0，
∴a−3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
(2)由x2+2y2−2xy−8y+16=0得(x−y)2+(y−4)2=0，
∴x−y=0，y−4=0，
∴x=y=4，
∴x⋅y=16；
(3)∵a+b=8，
∴b=8−a，
∵ab−c2+10c=41，
∴a2−8a+16+c2−10c+25=0，
∴(a−4)2+(c−5)2=0，
∴a−4=0，c−5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
(1)通过完全平方公式进行变式得(a−3)2+b2=0，然后由非负数性质求得结果；
(2)由x2+2y2−2xy+8y+16=0得(x−y)2+(y+4)2=0，然后由非负数性质求得结果；
(3)把两个方程通过变式得(a−4)2+(c−5)2=0，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．
本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
25.【答案】1或−9+ 130秒
【解析】解：(1)由题意得：∠B=90°，t秒后AP=t，BQ=2t，
∵AB=5cm，
则BP=5−t，
∴S=12BP⋅BQ=12(5−t)⋅2t=−t2+5t，
∵AB=5cm，BC=7cm，
又∵点P从点A开始沿线段AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿线段BC向点C以2cm/s的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端后停止，
∴0(2)由题意得：当S=4时，
∴−t2+5t=4，
解得：t1=1，t2=4，
∵0∴t=1；
∴经过1秒钟后，△BPQ 的面积等于4cm2；
(3)不能，理由如下：
由题意得：当S=7时，
∴−t2+5t=7，
∴t2−5t+7=0，
∵Δ=b2−4ac=52−4×1×7=−3<0，
∴原方程无实数根，
∴△BPQ的面积不能为7cm2；
(4)经过1或−9+ 130秒钟时，△DPQ是等腰三角形．理由如下：
∵AP=t，BQ=2t，
∴BP=5−t，CQ=7−2t，
在Rt△APD，Rt△BPQ，Rt△CDQ中由勾股定理得：
PD2=t2+49，PQ2=(5−t)2+4t2=25−10t+5t2，DQ2=25+(7−2t)2=74−28t+4t2，
当PD=DQ时，则PD2=DQ2，
t2+49=74−28t+4t2，
解得：t1=1,t2=253(舍去)，
当PD=PQ时，则PD2=PQ2，
t2+49=25−10t+5t2，
解得：t1=4(舍去)，t2=−32(舍去)；
当DQ=PQ时，则DQ2=PQ2，
74−28t+4t2=25−10t+5t2，
解得：t1=−9+ 130，t2=−9− 130(舍去)．
综上所述经过1或−9+ 130秒钟时，△DPQ是等腰三角形．
故答案为：1或−9+ 130秒．
(1)t秒后AP=t，BQ=2t，则BP=5−t，即可表示出S，根据两个动点中某一点到达端后停止结合动点速度、路程写出t的取值范围；
(2)当S=4时，代入表达式求出其解即可；
(3)当S=7时，代入表达式得一元二次方程，判断方程解的情况即可；
(4)要使△DPQ 是等腰三角形，从PD=QD，QP=DP和DQ=PQ分情况求出t值就可以了．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用及等腰三角形的判定及性质的运用，解答时运用勾股定理表示出线段的长度是关键．