2023-2024学年重庆市万州三中高二（下）入学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市万州三中高二（下）入学数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线经过A(1,0)，B(4, 3)两点，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.等比数列{an}中，a4=48，a6=12，则a4与a6的等比中项为( )
A. 24B. −24C. ±24D. 30
3.关于椭圆x225−k+y29−k=1与双曲线y29−x27=1的关系，下列结论正确的是( )
A. 焦点相同B. 顶点相同C. 焦距相等D. 离心率相等
4.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则可以和a,b+c构成空间的另一个基底的向量为( )
A. a+b+cB. a−b−cC. a+2b+cD. 2a+b+c
5.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 25.5尺B. 34.5尺C. 37.5尺D. 96尺
6.若直线ax+by−1=0与圆O：x2+y2=1相离，则过点P(a,b)的直线与椭圆y26+x25=1的交点个数是( )
A. 0或1B. 0C. 1D. 2
7.在空间中，“经过点P(x0,y0,z0)，法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x,y,z)满足的关系式)为：A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0”.用此方法求得平面α和平面β的方程，化简后的结果为x−y+z=1和x+2y−z=6，则这两平面所成角的余弦值为( )
A. − 23B. 23C. − 73D. 73
8.若F1，F2是双曲线C：x24−y216=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，设四边形PF1QF2的面积为S1，四边形PF1QF2的外接圆的面积为S2，则S1S2=( )
A. πB. 65πC. 75πD. 85π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆M：x2+y2−4x+3=0，则下列说法正确的是( )
A. 点(4,0)在圆M内B. 圆M关于x+3y+2=0对称
C. 半径为1D. 直线x− 3y=0与圆M相切
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S80，则( )
A. a10，k1，即a2+b21，所以点(4,0)在圆M外，故A错误；
B.因为2+3×0+2≠0，即圆心不在直线x+3y+2=0上，故B错误；
C.由圆的标准方程知，半径为1，故C正确；
D.因为圆心为(2,0)到直线x− 3y=0的距离为d=2 1+(− 3)2=1，
与圆M的半径相等，故直线x− 3y=0与圆M相切，故D正确．
故选：CD．
把圆的方程化为标准方程后，再逐项验证即可．
本题考查直线与圆的位置关系，方程思想，考查点到线的距离，属基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，
若S8=4(a1+a8)=4(a4+a5)0，
则a4+a50，
所以a10，A正确，B错误，
故当n=4时，Sn取得最小值，C正确，
因为a40，S80，
故n≤4时，Snan>0，S5a5an，即2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3，
变形可得：λ>−4n−2恒成立，
又由n≥1且n∈Z，则−4n−2≤−6，
所以λ>−6，即实数λ的取值范围是{λ|λ>−6}．
故答案为：{λ|λ>−6}．
根据题意{an}是递增数列可知an+1>an，进而可得关于λ的不等式，解可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
14.【答案】11−4 6
【解析】解：如图，
设过A点的切线方程为y=kx−2，所以|−2| 1+k2=1，解得k=± 3，
所以直线AM的方程为y= 3x−2，即 3x−y−2=0，令y=2，解得x=4 33，
直线AN的方程为y=− 3x−2，即 3x+y+2=0，令y=2，解得x=−4 33，
因为圆B：(x−a)2+(y−2)2=r2处于圆O的“背面”，
所以a∈(−4 33,4 33)．
当圆B与圆O外切且圆B与AM(或AN )相切时，r取最大值，
由圆B与圆O外切得 a2+4=r+1，圆B与AM相切时| 3a−4|2=r′
又a∈(−4 33,4 33)，所以4− 3a2=r，所以a=4−2r 3，
即r2−22r+25=0，解得r=11+4 6或r=11−4 6，结合a∈(−4 33,4 33)，
所以r=11−4 6，所以r的最大值为11−4 6，
同理圆B与AN相切时r的最大值为11−4 6，
综上可得r的最大值为11−4 6．
故答案为：11−4 6．
设过A点的切线方程为y=kx−2，根据圆心到直线的距离等于半径求出k，即可得到直线AM、AN的方程，从而求出a的取值范围，当圆B与圆O外切且圆B与AM(或AN)相切时，r取最大值，从而求出r的最大值，即可得解．
本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
15.【答案】解：(1)不妨设点M的坐标(x,y)，
因为动点M到点A(6,0)的距离等于M到点B(23,0)的距离的3倍，
所以|MA|=3|MB|，
即 (x−6)2+y2=3 (x−23)2+y2，
整理得x2+y2=4，
故轨迹C是以(0,0)点为圆心，2为半径的圆，其方程为x2+y2=4；
(2)联立y=kx+3x2+y2=4，消去y并整理得(1+k2)x2+6kx+5=0，
因为直线与圆C没有交点，
所以Δ=(6k)2−4(1+k2)⋅5