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吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
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这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ）
A. 1B. 3C. 7D.
若直线与垂直，则（ ）
A.-2 B.2 C. D.
已知圆：，过点作圆的切线，则切线长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ）
A．1B．2C．3D．4
6.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）
A．2B．3C．4D．5
7.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
B.若事件A发生的概率为，则
C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有
D.已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率0.7
10. 已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在直线上B. 点在圆上
C. 直线与圆相离D. 直线与圆相切
11. 已知数列满足，，，，是数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列D.
12. 已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ）
A. 若，的斜率分别为，，则
B.
C. 的最小值为
D. 最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为__________
14 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为____．
15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为．
16.曲线，若直线与曲线C有两个不同公共点，则的范围为______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示（把2015年到2019年分别用编号1到5来表示）.
（1）求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；
（2）由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.
附：，.
18. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且被抛物线所截得的弦的长为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求以抛物线的准线与轴的交点为圆心，且与直线相切的圆的方程．
19已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．
20.（12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值.
21.（12分）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.
（1）证明：平面平面.
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
22. 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
BABB CBAD 9BD 10ABD 11BCD 12AD
14. 15. 16.
17 （1）
（2）2022年我国高新技术专利数为4.01万件.
18（1）
（2）
19（1）
（2）.
20【详解】：（1）由抛物线过点，且，
得所以抛物线方程为； .……………4分
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得， .……………6分
所以，
所以，
所以 .……………8分
因为，所以，
则， .……………10分
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去…11分
所以实数的值为. .……………12分
21【详解】：(1)过点作的垂线，垂足为，连接，
由题知平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以，
所以四边形为矩形，所以.
因为，，，所以，
由正弦定理易知，，所以，
又因为，且，所以AE⊥平面ADP.
因为，所以平面，
因为，所以平面平面……………5分
(2)由(1)知，两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，
易得：，
所以……………6分
设平面的法向量，
所以，即，
令，可得平面的一个法向量，
设平面的法向量，
所以，即，
令，可得平面的一个法向量，……………9分
所以，……………11分
解得，所以……………12分
22 （1）
（2）证明见解析，定点
年份编号x
1
2
3
4
5
专利申请数y（万件）
1.6
1.9
2.2
2.6
3.0
在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ）
A. 1B. 3C. 7D.
若直线与垂直，则（ ）
A.-2 B.2 C. D.
已知圆：，过点作圆的切线，则切线长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ）
A．1B．2C．3D．4
6.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）
A．2B．3C．4D．5
7.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
B.若事件A发生的概率为，则
C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有
D.已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率0.7
10. 已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在直线上B. 点在圆上
C. 直线与圆相离D. 直线与圆相切
11. 已知数列满足，，，，是数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列D.
12. 已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ）
A. 若，的斜率分别为，，则
B.
C. 的最小值为
D. 最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为__________
14 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为____．
15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为．
16.曲线，若直线与曲线C有两个不同公共点，则的范围为______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示（把2015年到2019年分别用编号1到5来表示）.
（1）求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；
（2）由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.
附：，.
18. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且被抛物线所截得的弦的长为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求以抛物线的准线与轴的交点为圆心，且与直线相切的圆的方程．
19已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．
20.（12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值.
21.（12分）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.
（1）证明：平面平面.
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
22. 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
BABB CBAD 9BD 10ABD 11BCD 12AD
14. 15. 16.
17 （1）
（2）2022年我国高新技术专利数为4.01万件.
18（1）
（2）
19（1）
（2）.
20【详解】：（1）由抛物线过点，且，
得所以抛物线方程为； .……………4分
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得， .……………6分
所以，
所以，
所以 .……………8分
因为，所以，
则， .……………10分
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去…11分
所以实数的值为. .……………12分
21【详解】：(1)过点作的垂线，垂足为，连接，
由题知平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以，
所以四边形为矩形，所以.
因为，，，所以，
由正弦定理易知，，所以，
又因为，且，所以AE⊥平面ADP.
因为，所以平面，
因为，所以平面平面……………5分
(2)由(1)知，两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，
易得：，
所以……………6分
设平面的法向量，
所以，即，
令，可得平面的一个法向量，
设平面的法向量，
所以，即，
令，可得平面的一个法向量，……………9分
所以，……………11分
解得，所以……………12分
22 （1）
（2）证明见解析，定点
年份编号x
1
2
3
4
5
专利申请数y（万件）
1.6
1.9
2.2
2.6
3.0
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