江苏省泰州市靖江市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省泰州市靖江市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析江苏省泰州市靖江市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题原卷版docx、精品解析江苏省泰州市靖江市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
一、选择题：（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 下列函数中，一定是的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、，当时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 甲、乙两名同学参加跳绳训练，他们成绩的平均数相同，成绩方差如下：，，则成绩较稳定的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 一样稳定D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键；此题可根据方差的性质“方差越小，数据的波动越小”进行求解．
【详解】解：∵，
∴成绩较稳定的同学是甲；
故选A．
3. 神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（ ）
A. 轴对称B. 旋转C. 平移D. 黄金分割
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割数的近似值为可直接得出答案．
【详解】解：，黄金分割数的近似值为，
体现了“黄金分割”．
故选：D．
【点睛】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是牢记黄金比的近似值为．
4. 以点为圆心画，若的半径，则与轴的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于圆心到直线的距离，则直线与圆的位置关系是相离．
【详解】解：∵圆心到轴的距离为，的半径，
∴，
∴与轴的位置关系是相离，
故选A
5. 已知正六边形的半径为6，则这个正六边形的面积为（ ）
A. 54B. C. 36D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接正多边形，先证明等边三角形，再求出，进而得出答案．
【详解】连接正六边形的中心O和两个顶点D，E，得到．
∵，，
∴是等边三角形，
∴.
作，交于点H．
在中，，
∴，
∴，
∴正六边形的面积为．
故选：B．
6. 已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：解得，∴较小根为．
∵，
∴．故选A．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卷相应位置上）
7. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】可利用30°特殊直角三角形三边关系并结合余弦三角函数定义求解本题．
【详解】30°直角三角形三边比例关系为，．
故本题答案为．
【点睛】本题考查余弦三角函数，熟练记忆其定义即可，对于特殊角度的三角形函数值，可背诵下来提升解题速度．
8. 已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查极差，理解极差的定义是解题的关键．根据极差的定义“极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差”，即可求解．
【详解】解：数据96，89，92，95，98中，最大值为98，最小值为89，
因此这组数据的极差是：，
故答案为：9
9. 小明制作了如图所示的三角形标靶，其中是直角三角形，，，为的中点，．现以为圆心、长为半径画弧，交于点，则图中扇形的面积是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据扇形面积公式求出结果即可．
【详解】解：∵，，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，
∴扇形的面积为：．
故答案为：．
10. 将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移2个单位，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．
故答案为：．
11. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼之间的水平距离为，则这栋楼的高度是______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度为，
故答案为：．
12. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为40°，则∠B+∠D的度数是_____．
【答案】160°．
【解析】
【分析】连接AB，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠ABE，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】解：连接AB，
∵的度数为40°，
∴∠ABE＝20°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∴∠CBE+∠D＝180°﹣20°＝160°，
故答案为160°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13. 如图，是的直径，是上异于、的一点，连接、，直径交于点，且在优弧上，若，，则的长为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查圆周角，相似三角形的判定与性质，垂径定理，构造三角形相似是解题的关键，连接，利用圆周角的性质得到，由，得到，易证，得到，由垂径定理得到，设，则，即可得到，求解出x的值即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，为直径，，，
，
设，则，
，
或（舍去，不符合题意），
，
故答案为：9．
14. 已知二次函数（、、为常数，且）中，函数值与自变量之间满足下列数量关系：
则方程的实数根为______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据对称轴，且的一个解为3，即可作答．
【详解】解：从表格知道当时，所对应的的值为
则对称轴
∵的一个解为3，
∴另一个解为
∴方程的实数根为，
故答案为：，
15. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线在第二象限内交于点．当点A的坐标为，且时，k的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，构造相似三角形是解答本题的关键．过点C作轴于点D，点A的坐标代入，求出直线的函数解析式，得到的长，再证明，根据相似三角形的性质列方程并求解，得到点C的纵坐标，代入的函数解析式，求出点C的坐标，最后代入反比例函数关系式求解，即得答案．
【详解】如图，过点C作轴于点D，
点A的坐标代入，
得，
解得，
，
令，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，，
解得，
，
将点C的坐标代入，得，
即得．
故答案为：．

16. 已知直线：与直线：交于点，则代数式取最大值时，点到原点的距离为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了两条直线的交点问题．把点分别代入和可得，变形得，得出，即，且当时取等，求出a，b的值，再求出点P的坐标，最后求出点到原点的距离．
【详解】解：把点分别代入或得，①，，
②，
①②得，，
，
，
，
∵，
∴，即，且当时取等，
即当时，代数式取最大值，
由结合上式解得：，
代入函数关系式得：：与：，
∴，
∴，
，
∴点到原点的距离为，
故答案为：5
三、解答题：（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的解法及实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握计算法则．
（1）根据特殊角的三角函数值，负整数幂，算术平方根及绝对值则求出每一部分的值，再计算加减即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
解得：，．
18. 交警部门在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测（假设监测车速均为整数），统计数据如下表：
其中车速为40、43（单位：）的车辆数分别占监测的车辆总数的．
（1）求出表格中的值；
（2）结合调查，估计该路口此时段车速的中位数是______；
（3）如果一辆汽车行驶的车速不超过时，就认定这辆车安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
【答案】（1）；
（2）42； （3）19200辆．
【解析】
【分析】此题考查了频数（率）分布表及用样本估计总体，求中位数，正确列出算式并掌握运算法则是解答本题关键．
（1）利用“频率=频数÷总数”可得样本容量，再用样本容量乘32%即可得出a的值；
（2）把一组数据排序后取中间位置的数，即为中位数；
（3）根据题意求出安全行驶速度的范围，再利用样本估计即可．
【小问1详解】
解：由题意得：车辆总数：，
∴；
【小问2详解】
解：依题意，（辆）
中位数的位置是在第25和26位之间，
结合表格，，
∴中位数为，
则结合调查，估计该路口此时段车速的中位数是；
【小问3详解】
解：由题意得出，安全行驶速度小于或等于
因为该时段检测车辆样本中安全行驶的车辆占总监测车辆的占比为，
所以估计其中安全行驶的车辆数为：（辆）．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值．
【答案】（1）；
（2）方程另一根为，．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及判别式的运用：
（1）根据该方程有两个不相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答．
（2）运用根与系数的关系：，代入数值化简计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
解得；
【小问2详解】
解：∵一元二次方程有一个实数根为，设另一个根为，
∴
解得；
∵
∴解得．
20. 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．设平均每次降价的百分率是，药价从每盒元下调经过两次降价后的价格可表示为元，由此可列方程并求解验证，即得答案．
【详解】解：设平均每次降价的百分率是，
则，
解得，（舍去），
答：平均每次降价的百分率是．
21. 如图，是的直径，为上异于、的一点，点在的延长线上，且．求证：是的切线；
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及切线的判定方法是解决问题的关键．连接，如图所示，根据相似三角形的判定与性质得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据等边对等角得出，从而利用等量代换得到，即，从而得证．
【详解】解：连接
，
又，
是的直径，
，
，
，即
是的切线．
22. 如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．设小丽的身高为，求灯杆的高度．
【答案】6.4m
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD=EF，
∴，
∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，
∴，
∴BD=9，BF=9+3=12，
∴，
解得，AB=6.4m．
答：路灯杆AB的高度为6.4m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
23. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，、两点之间的距离为，．（参考数据：，，）
（1）求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点到工作台的距离；
（2）求机械臂的长．
【答案】（1）点到工作台的距离为；
（2）机械臂的长为．
【解析】
【分析】（1）过点作，在中，利用勾股定理求得的长，进一步计算即可求解；
（2）连接，过点作，交的延长线于．在中，利用三角函数求得和的长，在中，利用勾股定理求得，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，，，
在中，，
，
答：点到工作台的距离为；
【小问2详解】
解：如图，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，，
，
在中，，
在中，，，
根据勾股定理得，
，
答：机械臂的长为．
24. 某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；但如果票价每张增加元，则售出的门票数量（张）与（元）的函数关系部分图像如图所示．
（1）由图像可知，票价每增加1元，则门票数量会减少______张；
（2）要使门票收入恰好为36270元，票价应定为每张多少元；
（3）销售总监认为：票价越高，则门票收入越高．请你从数学的角度进行判断、分析是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请你给出建议，当票价定为多少时，门票收入最高．
【答案】（1）30 （2）31元或39元
（3）不正确，票价为35元
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
（1）由图像可知即可得出结论；
（2）依题意，得，再解方程即可；
（3）设门票总收入为元，则，再根据二次函数的性质求最值即可．
可设票价应定为元，根据票价销售的票数获得门票收入，即可列出一元二次方程．
【小问1详解】
解：张，
由图像可知，票价每增加1元，则门票数量会减少张，
故答案为：；
【小问2详解】
解得，，
或，
答：票价应定为每张31元或39元．
【小问3详解】
不正确．由（2）可知，当票价为31元和39元时，门票收入一样．
设门票总收入为元，则
，
时，随的增大而增大，，票价为时，有最大值36750．
答：票价为35元时门票收入最高为36750元．
25. 已知、为圆上两定点，点在该圆上，为弧所对的圆周角．
【知识回顾】
（1）如图1，在中，点、位于直线的异侧，．
①求的度数；
②若的半径为10，，求的长；
【知识应用】
（2）尺规作图：如图2，是的直径，为圆心，在直径上方的半圆上找两点、，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
逆向思考】
（3）如图3，若为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心．
图1 图2 图3
【答案】（1）①，②（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②连接，过A作，垂足为M，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（2）分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作直线，直线即为的垂直平分线，直线交与两点，在上任取一点，在上任取一点，连接，由圆周角定理得到，根据四边形是的内接四边形，即可得到，则点、为所求；
（3）延长交圆于点N，连接，则，由，，推出，得到点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
∴．
②连接，过A作，垂足为M，
∵，，
∴等腰直角三角形，
，
∵，的半径为10，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在直角三角形中，，
，
，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
∴，
；
（2）如图，分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作直线，直线即为的垂直平分线，直线交两点，在上任取一点，在上任取一点，连接，点、为所求；
是的直径，
，
，
四边形是的内接四边形，
；
（3）证明：延长交圆于点N，连接，则，
∵，
∴，
∴，即
∵，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴P为该圆的圆心．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，圆周角，勾股定理，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键．
26. 如图1，已知二次函数（、、为常数，且）的图像，与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，且其函数表达式可以变形为的形式．已知点为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为．
图1 图2
（1）求出点、点的坐标和该二次函数的表达式；
（2）连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接．
①求出直线的函数表达式（用含有的代数式表示）；
②设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值；
（3）如图2，若直线为该二次函数图像的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）①②；当时，的最大值为
（3）为定值8
【解析】
【分析】（1）令，求出A，B两点的坐标，将点C的坐标代入，即得答案；
（2）①点P的坐标为，设直线的函数表达式为，将点A，点P的坐标代入求解，即得答案；
②先求出M，N的坐标，即可证明四边形为矩形，即可求出矩形的面积及其最大值；
（3）先求出点E的坐标，即得的长，再求出直线的函数表达式，得到点F的坐标，即得的长，进一步求，即得答案．
小问1详解】
令，则，
解得，，
点A的坐标为，点B的坐标为；
将点C的坐标代入得，
解得，
，
所以该二次函数的表达式为；
【小问2详解】
①点P的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将点A，点P的坐标代入得，
解得，
所以直线的函数表达式为；
②，
，，
，
轴，
，
，
令，则，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
当时，S取最大值，最大值为；
【小问3详解】
为定值8．理由如下：
令，则，
，
，
设直线的函数表达式为，
将点B，点P的坐标代入得，
解得，
所以直线的函数表达式为；
令，则，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的面积问题，二次函数的线段问题，熟练掌握二次函数的面积问题及二次函数的线段问题是解答本题的关键．…
0
1
2
3
…
…
…
车速
40
41
42
43
44
45
频数
6
8
15
3
2