湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
3．已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
A．
B．
C．
D．
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥B．C．D．
7．已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个.
A．499B．500C．501D．502
8．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A．中位数不变B．平均数不变
C．方差不变D．第40百分位数不变
10．已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则( )
A．曲线y=f(x)关于直线对称B．函数y=f()是奇函数
C．函数y=f(x)在(,)单调递减D．函数y=f(x)的值域为[-2,2]
11．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
三、填空题
12．在二项式的展开式中，常数项为 ．
13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 ．
14．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ．
四、解答题
15．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
16．如图，在平行六面体中，，，，，点为中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
17．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
18．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
19．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1