山东省德州市齐河县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步聚
第一卷 选择题
一、选择题（本题共12小题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转后与原来的图形重合；由此问题可求解．
【详解】选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 若是方程的一个根，则的值是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把代入得：
，
解得．
故选：A
3. 下列事件为随机事件的是（ ）
A. 经过任意三点画一个圆B. 直径是圆中最长的弦
C. 任意画一个三角形，其内角和为D. 一个图形旋转后所得图形与原图形全等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、经过任意三点画一个圆，是随机事件，故此选项符合题意；
B、直径是圆中最长的弦，是必然事件，故此选项不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和为，是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，是必然事件，故此选项不符合题意．
故选：A．
4. 已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥﹣2B. k≥﹣2且k≠﹣1C. k≥2D. k≤﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k+1≠0且△＝22﹣4×(k+1)×(﹣1)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可.
【详解】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×(k+1)×(﹣1)≥0，
解得k≥﹣2且k≠﹣1.
故选B.
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根
5. 如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 55°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得．
【详解】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
6. 一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. I与R的函数关系式是B. 当时，
C. 当时，D. 当电阻R（）越大时，该台灯的电流I（A）也越大
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【详解】解：A．设反比例函数解析式为：，把代入得：
，则，故此选项符合题意；
B．当时，，故此选项不合题意；
C．当时，，故此选项不合题意；
D．当电阻越大时，该台灯的电流（A）越小，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
7. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证得ABP∽△PCD，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求得CD的长．
【详解】解：∵∠APC=∠ABP+∠BAP=60+∠BAP=∠APD+∠CPD=60+∠CPD，
∴∠BAP=∠CPD．
又∵∠ABP=∠PCD=60，
∴ABP∽△PCD．
∴，即．
∴CD=．
故选B．
8. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若圆的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及圆内接正六边形的性质是正确解答的前提．根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】解：如图，连接、，
六边形是的内接正六边形，
，，
，
，
∵，
是等边三角形，
∴，
在中，，，
，
，
故选：C．
9. 如图，已知的内接正四边形，点是上任意一点（除、两点外）则的度数是（ ）

A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】连接、，首先根据正方形的性质，得，再根据圆周角定理和点的位置确定的度数．
【详解】解：如图，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，
当点E在优弧上时，
；

当点E在劣弧上时，
；

故选：D．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握圆周角定理和分类讨论的思想是解答本题的关键．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0．
∵对称轴经过x的负半轴，∴a，b同号．
∵图象经过y轴的正半轴，则c＞0．
∵函数的a＜0，∴图象经过二、四象限．
∵y=bx+c的b＜0，c＞0，∴图象经过一、二、四象限．
故选B．
考点：一次函数、反比例函数和二次函数的图象与系数的关系．
11. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：设点A坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
12. 如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是，的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是4，则的最大值是（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】首先连接，，根据圆周角定理，求出，进而判断出为等边三角形；然后根据的半径为4，可得，再根据三角形的中位线定理，求出的长度；最后判断出当弦是圆的直径时，它的值最大，进而求出的最大值即可．
本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质，判断出当弦是圆的直径时取得最大值是关键．
【详解】解：如图所示，连接，，

∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵的半径为4，
∴，
∵点E，F分别是，中点，
∴，
∵，为定值，
∴当最大时，最大
∵当弦是圆的直径时，它的最大值为：，
∴的最大值为：．
故选：B．
第二卷 非选择题（共102分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果．）
13. 已知反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键掌握是反比例函数中k的正负性对函数图象所在象限的确定．
14. 如果抛物线的对称轴是，那么___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴，整理即可求解．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了抛物线对称轴的求法，熟记抛物线的对称轴为直线是解题关键．
15. 已知，是方程的两个实数根，则___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，，
，
．
故答案为：
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，则，即点M的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，所以点M是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，
∵，垂直平分线，
∴，即点M的横坐标为1，
∵，，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴垂直平分，
∴点M是的外心，
∵，
∴，，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．
17. 已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
【答案】48π
【解析】
【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．
【详解】解：∵底面圆的半径为4，
∴底面周长为8π，
∴侧面展开扇形的弧长为8π，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴＝8π，
解得：r＝12，
∴侧面积为π×4×12＝48π，
故答案为：48π．
【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．
18. 如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】画出图象，根据图象即可判断．
【详解】解：如图所示，
①图形关于y轴成轴对称，故正确；
②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确；
③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；
④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
三、解答题（7个大题，共计78分．解答题要写出必要的文字说明、证明或演算步骤）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答．
【小问1详解】
，
，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
，
整理得：，
，
，
，．
20. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是___________；
（2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是___________；
（3）的面积是___________平方单位．
【答案】20. 作图见解析，
21. 作图见解析，
22. 10
【解析】
【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．
（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质得的面积．
【小问1详解】
如图，即为所求；；
故答案为：；
【小问2详解】
如图即为所求，；
故答案为：；
【小问3详解】
∵，，，
，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积是：（平方单位）．
故答案为：10．
21. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________；
（2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，小明购买门票在区观赛的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
小明和小张在同一区域观看比赛的概率为．
22. 应用题某公司电商平台经销一种益智玩具．先用单价20元从生产厂家购进第一批．售完后，第二次购进时，每件的单价达到了28.8元．经了解，第二次购进的单价是生产厂家连续两次涨价后的价格．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价（元/件），周销售量（件）的三组对应值数据．
（1）若生产厂家每次涨价率相同，求每次的涨价率；
（2）求关于的函数解析式；
（3）售价为多少时，第一周的销售利润最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）
（2）
（3）当售价时，第一周的销售利润最大，此时的最大利润为4800元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二次函数的应用等，读懂题意，正确列式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次的涨价率为，从而，进而计算可以得解；
（2）依据题意，设关于的函数解析式为，进而可以列方程组得，进而计算可以得解；
（3）依据题意，第一周的销售利润，进而根据二次函数的性质进行判断可以得解．
【小问1详解】
由题意，设每次的涨价率为，
．
（不合题意，舍去），．
答：每次的涨价率为．
【小问2详解】
由题意，设关于的函数解析式为，
．
．
所求关于的函数解析式为．
【小问3详解】
由题意，第一周的销售利润
．
，
当售价时，第一周的销售利润最大，最大值为4800元．
23. 如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至点F，连接，使得．

（1）求证：是的切线；
（2）已知 ，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径长为2
【解析】
【分析】（1）由垂径定理可得，由余角的性质可求，即可求解；
（2）由锐角三角函数可求的度数和的长度，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，

，，
，
，是直径，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，过点作F交DF于点，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，求出的度数是解题的关键．
24. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【解析】
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
25. 如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）存在或或或使以点为顶点的四边形是矩形
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设，则，进而得到；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分以为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．
【小问1详解】
解：把代入，得：
解得：
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
∵抛物线与轴交于点，令，则，
点的坐标为
设直线的解析式为，把点的坐标代入得：
解得：
直线的解析式为．
点为直线下方抛物线上的两点，设，则
，
当时，
；
【小问3详解】
由题意可得：
的对称轴为
抛物线与轴交于点
．
如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴．
在的对称轴为
，即点
点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到．
如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于．
在的对称轴为
，即
，即点
点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点．
如图：当为矩形对角线时，设．
的中点的坐标为，依题意得：
解得：
又
解得：
解得：
∴点E的坐标为或
综上，存在或或或使以点为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．40
70
90
180
90
30