2023-2024学年山西省朔州市怀仁市九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年山西省朔州市怀仁市九年级（上）期末数学试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，某小区有一块长16m，宽10m的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的.若使剩余面积为126m2.求小路的入口宽度.若设小路的入口宽度为x m，则根据题意所列方程正确的是( )
A. (16+2x)(10+x)=126B. (16+x)(10+2x)=126
C. (16−2x)(10−x)=126D. (16−x)(10−2x)=126
4.如图是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下的影子的是( )
①②③ ④
A. ①和②B. ②和④C. ③和④D. ②和③
5.如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P=44°，∠D=98°，则∠MBA的度数为( )
A. 38°B. 28°C. 30°D. 40°
6.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F，若△ABF的面积为6，则四边形CDFE的面积是( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
8.若函数y=4x的图象与一次函数y=kx+2的图象有公共点，则k的取值范围是( )
A. k≥14B. k≥−14，且k≠0
C. k≤14，且k≠0D. k≤−14
9.如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA=4，则阴影部分的面积为( )
A. 4π3
B. 4π3+4 3
C. 4π3−4 3
D. 4 3−4π3
10.如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为m．( )
A. 5 3
B. 10 3
C. 15 3
D. 20 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线x=1，下列结论：
①abc>0；
②a−b+c=0；
③y的最大值为3；
④方程ax2+bx+c+1=0有实数根；
⑤4a+c<0．
其中正确的结论为______(填序号)．
12.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米.同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为1.6米，落在地面上的影长为3.6米，则树高为______米.
13.在反比例函数y=1−3mx图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，x1<014.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF=2FD，则BEEG的值为______．
15.已知：平面直角坐标系xOy中，圆心在x轴上的⊙M与y轴交于点D(0,4)、点H，过H作⊙O的切线交x轴于点A，若点M(−3,0)，则sin∠HAO的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(45°)是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距23m且位于旗杆两侧(点B，N，D)在同一条直线上).请求出旗杆MN的高度．(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7，结果保留整数)
四、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)2sin30°+4cs30°⋅tan60°−cs245°；
(2) 2sin45°+6tan30°−2cs30°．
18.(本小题9分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______．
(2)以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，请在网格内画出△A1B1C1．
(3)求出△A1B1C1的面积．
19.(本小题9分)
为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2016年1月且开始限产，并对生产线进行为期5个月的升降改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2016年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
(1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式；
(2)到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？
(3)当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？
20.(本小题7分)
共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；
(2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)
21.(本小题9分)
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系．
如图1，P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于点B(即PA是⊙O的割线)，则PT2=PA⋅PB．

下面是切割线定理的证明过程：
证明：如图2，连接TO并延长，交⊙O于点C，连接BC．
∵PT切⊙O于点T，
∴∠CTP=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵CT是⊙O的直径，
……
(1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程．
(2)在图1中，已知AB=6，PB=5，则PT= ______，ATTB= ______．
22.(本小题12分)
综合与实践
在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，三角板EFG的直角顶点E在矩形ABCD的边AD上，∠EFG=30°，将△EFG绕点E旋转．

(1)如图1，当直角边EF经过点B，EG的延长线经过点C时．
①求证：△ABE∽△DEC．
②求AE的长．
(2)在(1)的条件下，如图2，旋转△EFG，若点F落在AB的延长线上，EG与CD交于点H，且H为DC的中点，EG的延长线与BC的延长线交于点M，连接MF，求∠GFM的度数．
23.(本小题13分)
如图，已知抛物线y=x2−2x−8与x轴相交于点A，B(点B在点A的右侧)，与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，BC．
(1)求点A，B，D的坐标；
(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F.若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
(3)设点M是线段BC上的一个动点，过点M作MN//AB，交AC于点N.点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(t<6)秒，直接写出当t为何值时，△QMN为等腰直角三角形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：观察可知，A、D为轴对称图形，B为中心对称图形，C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
故选：B．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：主视图是两个同心圆，俯视图是带有虚线的矩形，
故选：B．
主视图是从几何体的正面看所得到的视图，俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．
此题主要考查了三视图，关键是掌握主视图和俯视图所看的位置．
3.【答案】C
【解析】解：设小路的入口宽度为x m，
由题意可得：(16−2x)(10−x)=126，
故选：C．
设小路宽为x米，根据矩形的面积公式结合剩余的面积为126m2，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：根据物体的顶端和影子顶端的连线必经过光源可得图中连接物的顶端与影子的顶端的两条直线应有交点，
故只有②③符合题意．
故选：D．
连接物的顶端与影子的顶端的两条直线应有交点，从而可判断出答案．
本题考查中心投影的知识，难度不大，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
5.【答案】C
【解析】解：∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB=PC，
∵∠P=44°，
∴∠PBC=∠PCB=12×(180°−44°)=68°，
∵∠D=98°，
∴∠ABC=180°−∠D=82°，
∴∠MBA=180°−∠PBC−∠ABC=30°，
故选：C．
根据切线的性质得到PB=PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC=∠PCB=12×(180°−44°)=68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC=180°−∠D=82°，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，得：22+n=0.4，
解得n=3，
经检验：n=3是分式方程的解且符合题意，
故选：A．
根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，
∴AD=BC=2BE，BE//AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴EFAF=12，
∴S△BEFS△ADF=(12)2=14，
∵△ABF的面积为6，
∴S△ABF=2S△BEF=6，
∴S△BEF=3，S△ADF=4S△BEF=12，
∴S△ABD=S△ABF+S△ADF=18，
∴S四边形DCEF=S△BCD−S△BEF=S△ABD−S△BEF=18−3=15；
故选：C．
先由平行四边形的性质得出AD=2BE，BE//AD，进而得出△BEF∽△DAF，即可得出△ABF，△ABD，的面积，用面积的和差即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由y=4xy=kx+2得kx+2=4x，
整理得kx2+2x−4=0，
∵图象有公共点，
∴Δ=22+4⋅k×4≥0，
∴k≥−14．
∴k的取值范围是k≥−14且k≠0，
故选：B．
先由两解析式组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程kx2+2x−4=0，根据题意得到此方程有两个不相等的实数根，则Δ=22+16k≥0，然后解不等式即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
9.【答案】A
【解析】解：连接OC，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，OA=4，
∴AB=2OA=8，
∵OA=OC，∠OAB=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠COB=30°，
∴CO=CB=4=12AB，
∴OC为△AOB的中线，
∴S△AOC=S△BOC，
∴阴影部分的面积为S扇形AOC−S△AOC+S△BOC−S扇形DOC=S扇形AOC−S扇形DOC=60π360×42−30π360×42=43π．
故选：A．
连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC=60°，∠COB=30°，得到OC=BC=12AB，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC=S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC−S扇形DOC，计算即可．
本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，作AD⊥CD于D点．
因为∠B=30°，∠ACD=60°，
且∠ACD=∠B+∠CAB，
∴∠CAB=30°．
∴BC=AC=10m，
在Rt△ACD中，CD=AC⋅cs60°=10×0.5=5m，
∴BD=15．
∴在Rt△ABD中，
AB=BD÷cs30°=15÷ 32=10 3m.
故选：B．
如图，即求AC的长，因为60°的角时△ABC的一个外角，且∠C为30°已知，所以根据三角形外角和可知∠CAB=30°，即AC=BC=10m，从而利用△ABD求出BD的长，即可求出CD，利用30°角的余弦值，进而求出AC．
本题考查锐角三角函数的运用，构造所求线段所在的直角三角形是难点．
11.【答案】②④⑤
【解析】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴a−b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由ax2+bx+c+1=0可得ax2+bx+c=−1，
根据图象，抛物线与直线y=−1有交点，
∴ax2+bx+c+1=0有实数根，故④正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴9a+3b+c=0，
又∵b=−2a，
∴9a+3×(−2a)+c=3a+c=0，
∵a<0，
∴a+(3a+c)<0，即4a+c<0，故⑤正确．
综上所述，正确的为②④⑤．
故答案为：②④⑤．
根据二次函数图象，依次判断a<0、b>0、c>0，可判断①；根据抛物线的对称性与过点(3,0)，可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数y=ax2+bx+c与y=−1的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，可知9a+3b+c=0，再根据b=−2a、a<0推导4a+c<0，可判断⑤；从而可得答案．
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
12.【答案】6.1
【解析】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，
得10.8=x3.6，
解得x=4.5，
∴树高为4.5+1.6=6.1(米)，
故答案为：6.1．
设从墙壁的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据竹竿的长度：竹竿影长=树的高度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
13.【答案】m<13
【解析】解：∵当x1<0∴反比例函数y=1−3mx图象在第一，三象限，
∴1−3m>0，
解得m<13．
故答案为：m<13．
由题意可得：双曲线在第一，三象限，反比例系数大于0，据此可列出不等式，求解即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
14.【答案】23
【解析】解：由AF=2DF，可以设DF=k，则AF=2k，AD=3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AB/​/CD，AB=CD，
∴∠AFB=∠FBC=∠DFG，∠ABF=∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBG，
∴∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G，
∴AB=AF=CD=2k，DF=DG=k，
∴CG=CD+DG=3k，
∵AB/​/DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴BEEG=ABCG=2k3k=23，
故答案为：23．
由AF=2DF，可以设DF=k，则AF=2k，AD=3k，证明AB=AF=2k，DF=DG=k，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】35
【解析】解：连接MH，
∵D(0,4)，M(−3,0)，
∴OD=4，OM=3，
由垂径定理得：OH=OD=4，
在Rt△MHO中，由勾股定理得：MH=5，
∵AH为⊙M切线，
∴∠MHA=∠MOH=90°，
∴∠HAM+∠AHO=90°，∠AHO+∠MHO=90°，
∴∠HAO=∠MHO，
∴sin∠HAO=sin∠MHO=OMMH=35，
故答案为：35．
连接MH，求出∠HAO=∠MHO，求出OD，OM，根据勾股定理求出MH，根据解直角三角形求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，解直角三角形，垂径定理的应用，关键是求出MH的长和得出∠HAO=∠MHO．
16.【答案】解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，
则EF=AB−CD=1.7−1.5=0.2
在Rt△AEM中，∠AEM=90°，∠MAE=45°
则AE=ME
设AE=ME=x
则MF=x+0.2，FC=23−x
在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°
则MF=CF⋅tan∠MCF，
则x+0.2= 33(23−x)
解得x≈8.2
故MN=8.2+1.7≈10米
答：旗杆高约为10米．
【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
17.【答案】解：(1)2sin30°+4cs30°⋅tan60°−cs245°
=2×12+4× 32× 3−( 22)2
=1+6−12
=132；
(2) 2sin45°+6tan30°−2cs30°
= 2× 22+6× 33−2× 32
=1+2 3− 3
=1+ 3．
【解析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；
(2)根据特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】 (1)(−2,1)，(−3,−2)，(1,−2)
(2)如图，△A1B1C1为所作；
(3)△A1B1C1的面积=12×8×6=24．
【解析】解：(1)A(−2,1)，B(−3,−2)，C(1,−2)；
故答案为(−2,1)，(−3,−2)，(1,−2)；
(1)利用点的坐标的表示方法求解；
(2)把A、B、C的横纵坐标都乘以−2(或乘以2)得到A1、B1、C1的坐标(或A′1，、B′1、C′1的坐标)，然后描点即可；
(3)根据三角形面积公式求解．
本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根接着据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
19.【答案】解：(1)由题意得，设前5个月中y与x的还是关系式为y=kx，
把x=1，y=100代入得，k=100，
∴y与x之间的函数关系式为y=100x(1≤x≤5)；
把x=5代入得y=1005=20，
由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y=10x+b，
把x=5，y=20代入得，20=10×5+b，
∴b=−30，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x−30(x>5)；
(2)由题意得，把y=100代入y=10x−30得100=10x−30，解得：x=13，
∴到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元；
(3)对于y=100x，y=50时，x=2，
∵k=100>0，y随x的增大而减小，∴2对于y=10x−30，当y=50时，x=8，
∵k=10>0，y随x的增大而增大，∴5∴2【解析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
(1)根据题意列方程即可得到函数解析式；
(2)把y=100代入y=10x−30即可得到结论；
(3)对于y=100x，y=50时，得到x=2；对于y=10x−30，当y=50时，得到x=8，于是得到结论．
20.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为212=16．
【解析】本题考查了用树状图法求概率．
(1)根据概率公式直接得出答案；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：(1)∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，共享服务只有一张，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，
故答案为14；
(2)见答案；
21.【答案】 55 5511
【解析】解：(1)如图2，连接TO并延长，交⊙O于点C，连接BC，
∵PT切⊙O于点T，
∴∠CTP=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵CT是⊙O的直径，
∴∠TBC=90°，
∴∠1+∠C=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠C=∠A，
∴∠2=∠A，
∵∠TPB=∠APT，
∴△PBT∽△PTA，
∴PT：PA=PB：PT，
∴PT2=PA⋅PB；
(2)∵PT2=PA⋅PB．
而AB=6，PB=5，
∴PT2=(5+6)×5=55，
解得PT= 55或PT=− 55(舍去)，
即PT的长为 55，
∵△PBT∽△PTA，
∴TATB=PTPB= 555．
故答案为： 55， 555．
(1)先根据切线的性质得到∠1+∠2=90°.再根据圆周角定理得到∠TBC=90°，∠A=∠C，接着证明∠2=∠A，加上∠P为公共角，则可判断△PBT∽△PTA，然后根据相似三角形的性质得到PT：PA=PB：PT，从而得到PT2=PA⋅PB；
(2)利用PT2=PA⋅PB可求出PT= 55，然后利用△PBT∽△PTA得到TATB=PTPB= 555．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了圆周角定理和切线的性质．
22.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD为矩形，三角板EFG为直角三角形，
∴∠A=∠D=∠CEB=90°，
∴∠AEB+∠ABE=∠AEB+∠CED=90°，
∴∠ABE=∠CED，
∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEC；
②解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=2，
由①得△ABE∽△DEC，
∴AECD=ABDE，即AE2=24−AE，
解得：AE=2；
(2)解：∵四边形ABCD为矩形，三角板EFG为直角三角形，
∴∠A=∠D=∠FEM=90°，
∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠MED=90°，
∴∠AFE=∠MED，
∵∠A=∠D，
∴△AFE∽△DEH，
由②得AE=DE=2，
∵H为DC的中点，
∴CH=DH=1，
∴AFED=AEDH=EFHE=2，
∴EF=2EH，
在△EDH与△MCH中，
∠D=∠DCM=90°DH=CH∠DHE=∠CHM，
∴△EDH≌△MCH(ASA)，
∴EH=HM，
∴EM=2HE，
∴EF=EM，
∵∠FEM=90°，
∴∠EFM=∠EMF=45°，
∵∠EFG=30°，
∴∠GFM=∠EFM−∠EFG=15°．
【解析】(1)①根据矩形及直角三角形得出∠A=∠D=∠CEB=90°，再由同角的余角相等得出∠ABE=∠CED，利用相似三角形的判定定理即可证明；
②根据①中相似三角形的性质得出对应边成比例求解即可；
(2)同①方法类似得出△AFE∽△DEH，由相似三角形的性质得出EF=2EH，再由全等三角形的判定和性质得出EH=HM，结合图形得出EF=EM，确定∠EFM=∠EMF=45°，即可求解．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及矩形的性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
23.【答案】解：(1)令x=0，则y=−8，
∴C(0,−8)，
令y=0，则x2−2x−8=0，
∴x=−2或x=4，
∴A(−2,0)，B(4,0)，
∵y=x2−2x−8=(x−1)2−9，
∴对称轴为直线x=1，顶点D(1,−9)；
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0b=−8，
∴k=2b=−8，
∴y=2x−8，
∴E(1,−6)，
∴DE=3，
∵PF/​/DE，四边形DEFP为平行四边形，
∴PF=DE，
设P(t,t2−2t−8)，则F(t,2t−8)，
∴PF=t2−4t，
∴t2−4t=3，
∴t=1(舍)或t=3，
∴P(3,−5)；
(3)由题可知BQ=t，
设直线AC的解析式为y=k′x+b′，
∴−2k′+b′=0b′=−8，
∴k′=−4b′=−8，
∴y=−4x−8，
①如图1，当∠QMN=90°，MN=QM时，
Q(4−t,0)，
∴M点横坐标为4−t，
∴M(4−t,−2t)，
∴NM=QM=2t，
∵MN/​/x轴，
∴N(4−3t,−2t)，
∴−2t=−4(4−3t)−8，
∴t=127；
②当∠QNM=90°，MN=NQ时，
Q(4−t,0)，
∴N(4−t,4t−24)，
∴NQ=24−4t，
∵MN/​/x轴，
∴M(28−5t,4t−24)，
∴4t−24=2(28−5t)−8，
∴t=367；
③如图3，当∠NQM=90°，NQ=MQ时，
过点M作MH⊥x轴交于H点，过点N作NG⊥x轴交于点G，
∵∠NMQ=45°，
∴HM=QH，
∵HM//CQ，
∴∠HMB=∠OCB，
∴tan∠HMB=tan∠OCB=12，
∴HM=2HB，
∵QH=HM，
∴QB=3HB，
∵QB=t，
∴BH=13t，
∴M(4−13t,−23t)，
∵MN/​/x轴，
∴N点纵坐标为−23t，
∵GN=GQ，
∴GQ=23t，
∴N(4−53t,−23t)，
∴−23t=−4(4−53t)−8，
∴t=3611；
综上所述：t的值为127或367或3611．
【解析】(1)令y=0则可求A、B点坐标，再由y=(x−1)2−9，即可求D点坐标；
(2)先求直线BC的解析式为y=2x−8，则E(1,−6)，可求DE=3，则PF=DE，设P(t,t2−2t−8)，则F(t,2t−8)，PF=t2−4t=3，即可求P(3,−5)；
(3)求出直线AC的解析式为y=−4x−8，分三种情况讨论：①当∠QMN=90°，MN=QM时，M(4−t,−2t)，N(4−3t,−2t)，将N点代入解析式y=−4x−8即可求t；②当∠QNM=90°，MN=NQ时，N(4−t,4t−24)，M(28−5t,4t−24)，将M点代入解析式y=2x−8即可求t③当∠NQM=90°，NQ=MQ时，过点M作MH⊥x轴交于H点，过点N作NG⊥x轴交于点G，由tan∠HMB=tan∠OCB=12，可得HM=2HB，BH=13t，则M(4−13t,−23t)，N(4−53t,−23t)，将N点代入解析式y=−4x−8即可求t．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．