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2023-2024学年安徽省池州市贵池区九年级（上）期末数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省池州市贵池区九年级（上）期末数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列计算正确的是( )
A. a4+a4=a8B. a4⋅a4=a16C. (a4)4=a16D. a8÷a4=a2
2.春节档期的热门电影《长津湖之水门桥》上映34天，就突破了39.35亿的票房，39.35亿用科学记数法表示为( )
A. 39.35×108B. 3.935×109C. 39.35×109D. 3.935×1010
3.已知3x−4y=0(xy≠0)，那么下列比例式中成立的是( )
A. x3=y4B. x4=y3C. xy=34D. x3=4y
4.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y3
5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+4x经变换后得到抛物线y=x2−4x，则这个变换可以是( )
A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△DAF的面积之比为( )
A. 2：5
B. 3：5
C. 4：25
D. 9：25
7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=6，AB=4，则BC的长是( )
A. 6 2B. 2 19C. 2 13D. 9
8.大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是( )
A. 4 5−4
B. 4 5−12
C. 4−4 5
D. 12−4 5
9.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF=3EF，则BDDC=( )
A. 43
B. 32
C. 65
D. 23
10.正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式4a3−16ab2= ______．
12.已知二次函数y=(a−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是______．
13.如图，反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的图象交于点P(a,b)，则1a−1b的值为______．
14.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，且四边形BEFD是菱形．
(1)若点F在AC上，则菱形BEFD的边长等于______；
(2)连接AF，则AF的长的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：−22+(3.14−π)0−4sin60°+|1− 3|.
16.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
17.(本小题8分)
观察下列等式：
第①个等式：12+22=32−22，
第②个等式：22+32=72−62，
第③个等式：32+42=132−122，
第④个等式：42+52=212−202，
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第⑤个等式；
(2)写出你猜想的第ⓝ个等式(用含n的式子表示)，并证明．
18.(本小题8分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(−1,−1)．
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
(2)在如图的方格纸中把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后的位似比为1：2，画出△AB2C2．
19.(本小题10分)
如图，E为AB上一点，∠A=∠CED=∠B，连接CD．
(1)求证：△CAE∽△EBD；
(2)若CE平分∠ACD，CD=6，BD=4，求DE的长．
20.(本小题10分)
某无人机兴趣小组在操场上开展活动(如图)，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．(注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b(a,b为常数，且a≠0)与反比例函数y2=mx(m为常数，且m≠0)的图象交于点A(−2,1)、B(1,n)．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当y122.(本小题12分)
网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.设公司销售板栗的日获利为w(元)．
(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；(不用写自变量的取值范围)
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
23.(本小题14分)
如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠CAD交CD于点E，点M在AC上，且AM=AD，连接DM并延长，分别交AE，BC于点G，F．
(1)求证：DE=CF；
(2)求证：CF2=GE⋅AE；
(3)求tan∠CMF的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.a4+a4=2a4，故此选项不合题意；
B.a4⋅a4=a8，故此选项不合题意；
C.(a4)4=a16，故此选项符合题意；
D.a8÷a4=a4，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：39.35亿=3935000000=3.935×109．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵3x−4y=0(xy≠0)，
∴3x=4y，
则x4=y3，
故选：B．
直接利用比例的性质变形得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，可判断y1=y2>y3．
【解答】
解：∵y=−x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2(3,y2)，P3(5,y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5，
∴y2>y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，
故y1=y2>y3，
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：y=x2+4x=(x+2)2−4，顶点坐标是(−2,−4)．
y=x2−4x=(x−2)2−4，顶点坐标是(2,−4)．
所以将抛物线y=x2+4x向右平移4个单位得到抛物线y=x2−4x，
故选：B．
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6.【答案】B
【解析】解：∵DE：EC=3：2，DC=AB，
∴DEDC=DEAB=35，
∵DC//AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴EFAF=DEAB=35，
∵△DEF与△DAF高相同，对应底之比为35，
故面积之比为35．
故选：B．
由DE：EC=3：2，可得DEDC=DEAB=35，证明△DEF∽△BAF，可得EFAF=DEAB=35，从而△DEF与△DAF的面积之比即对应底边之比为35．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，关键是推出△DEF∽△BAF，得到EFAF=DEAB=35，即是△DEF与△DAF的对应底边之比．
7.【答案】B
【解析】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC=180°−120°=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=12AC=3，
∴BD=AB+AD=7，
由勾股定理得，CD= AC2−AD2=3 3，
在Rt△BCD中，BC= BD2+CD2=2 19，
故选：B．
作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴AP= 5−12AB= 5−12×8=(4 5−4)cm，
∴PB=AB−PA=8−(4 5−4)=(12−4 5)cm．
故选：D．
先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB−AP即得到PB的长．
本题考查了黄金分割，正确记忆黄金分割的概念是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点E作EH//AD交BC于H，
则CHHD=CEEA，
∵BE是△ABC的中线，
∴CE=EA，
∴CH=HD，
∵EH//AD，
∴BDDH=BFEF=3，
∴BDDC=32，
故选：B．
过点E作EH//AD交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH=HD，BDDH=BFEF=3，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：作PM⊥AD于点M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM=DM，
设PM=DM=x，则AM=4−x，
∵AP=PF，
∴AM=FM=4−x，
∴AF=2(4−x)，
∵S△APF=12AF⋅PM，
∴S△APF=12×2(4−x)⋅x=−x2+4x=−(x−2)2+4，
∴当x=2时，S△APF有最大值为4，符合题意．
故选：C．
作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM=DM，设PM=DM=x，则AM=4−x，根据等腰三角形的性质即可得出AF=2(4−x)，由三角形面积公式得出S△APF=12×2(4−x)⋅x=−x2+4x=−(x−2)2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】4a(a+2b)(a−2b)
【解析】解：原式=4a(a2−4b2)=4a(a+2b)(a−2b)，
故答案为：4a(a+2b)(a−2b)
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵二次函数y=(a−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2−4ac=16−8(a−3)=0，
∴a=5，
故答案为：5．
由抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，得到b2−4ac=0，即可求出a的值．
本题考查了抛物线和x轴的交点问题．关键是根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到a的方程．
13.【答案】−13
【解析】解：∵反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的图象交于点P(a,b)，
∴b=6a，b=a−2，
∴ab=6，a−b=2，
∴1a−1b=b−aab=−a−bab=−26=−13．
故答案为−13．
由点P(a,b)为反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的交点，可得出ab=6、a−b=2，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出ab=6、a−b=2是解题的关键．
14.【答案】154 2 5
【解析】解：(1)点F在AC上，如图1，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BE=EF=DF=BD，BA//DF，EF//BC，
∴∠EFA=∠BCA=90°，∠DFC=∠EAF，
设BE=EF=DF=BD=x，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴AE=AB−BE=10−x，CD=BC−BD=6−x，
∵sin∠DFC=sin∠EAF，
∴CDDF=EFAE，
∴6−xx=x10−x，
∴x=154，
∴菱形BEFD的边长等于154，
故答案为：154；
(2)如图2，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF//BC，
∴EO//AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴BEAB=OEAF=BOBF=12，
∴BE=12AB=AE．
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BE=AE=5，
∵AF⊥BF，
∴EF=5，
∵EF//BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴EGBC=AGAC=AEAB=12，∠AGE=∠ACB=90°，
∴EG=12BC=3，AG=12AC=4，
∴GF=EF−EG=2，
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴AF= AG2+GF2= 42+22=2 5．
故答案为：2 5．
(1)设BE=EF=DF=BD=x，根据sin∠DFC=sin∠EAF，列出方程求出x的值，进而可以解决问题；
(2)连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G.根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，再证明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再证明△AGE−△ACB，EG=12BC=1.5，AG=12AC=2，从而再由勾股定理，即可求解．
本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解决本题的关键是得到△BEO∽△BAF．
15.【答案】解：原式=−4+1−4× 32+ 3−1
=−3−2 3+ 3−1
=−4− 3．
【解析】利用有理数的乘方法则，零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得{1−b+c=09+3b+c=0，解得{b=−2c=−3,
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)；
(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=3−(−1)=4，
设点P的坐标为(t,t2−2t−3)，
∵S△PAB=10，
∴12×4×|t2−2t−3|=10，
∴|t2−2t−3|=5，
当t2−2t−3=5时，解得t1=−2，t2=4，此时点P的坐标为(−2,5)或(4,5)；
当t2−2t−3=−5时，方程没有实数解．
综上所述，此时点P的坐标为(−2,5)或(4,5)．
【解析】【分析】
(1)把A，B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c，得{1−b+c=09+3b+c=0，然后解方程组求出b，c的值，即可得出抛物线的解析式，配成顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；
(2)设点P的坐标为(t,t2−2t−3)，利用三角形面积公式得到12×4×|t2−2t−3|=10，然后分别解方程t2−2t−3=5和t2−2t−3=−5，求出t的值，即可得到点P的坐标．
【点评】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的顶点坐标，三角形的面积等知识，运用待定系数法求出二次函数的解析式是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)第⑤个等式为：52+62=312−302；
(2)第ⓝ个等式(用含n的式子表示)为：n2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2−[n(n+1)]2，
证明：左边=n2+(n2+2n+1)=2n2+2n+1，
右边=[n(n+1)+1+n(n+1)]⋅[n(n+1)+1−[n(n+1)]=2n2+2n+1,
∵左边=右边，
∴n2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2−[n(n+1)]2．
【解析】(1)根据等式的计算规律分析即可；
(2)利用等式的计算规律写出猜想，再运用平方差公式计算证明．
本题考查了数字规律的探究，熟练掌握平方差公式的应用是解答本题的关键．
18.【答案】解；(1)画出的△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为(−9,−1)；
(2)画出的△AB2C2的图形如图所示．
【解析】(1)△ABC的各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得△A1B1C1；
(2)根据△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，即可画出放大后的△AB2C2的图形．
此题主要考查了图形的位似变换和平移变换的知识，根据基本作图方法得出图形是解题关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠A=∠CED，
∴∠A+∠ACE=∠CEB=∠CED+∠DEB，
∴∠DEB=∠ACE，
又∵∠A=∠B，
∴△CAE∽△EBD；
(2)解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
由(1)知∠DEB=∠ACE，
∴∠DCE=∠DEB．
又∵∠B=∠CED，
∴△CDE∽△EDB，
∴CDDE=DEBD，
即DE2=CD⋅BD，
而CD=6，BD=4，
∴DE2=CD⋅BD=6×4=24，
∴DE=2 6．
【解析】(1)首先利用已知条件证明∠DEB=∠ACE，然后即可证明△CAE∽△EBD；
(2)利用已知条件和(1)的结论证明△CDE∽△EDB，然后利用相似三角形的性质即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了角平分线的性质，有一定的综合性，解题的关键是熟练利用相似三角形的判定方法．
20.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57米，DE=30米，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=DEAE≈0.75．
∴AE≈40米，
∵AB=57米，
∴BE≈17米，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE≈17米．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴DF=CF≈17米，
∴BC=EF=DE−DF≈13米，
答：教学楼BC高约13米．
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37°=DEAE≈0.75求得AE的值，结合题干AB的值可求出BE，再根据四边形BCFE是矩形知CF=BE，由∠CDF=∠DCF=45°知DF=CF，利用BC=EF=DE−DF求解即可．
21.【答案】解：(1)将A(−2,1)代入y2=mx，得m=−2，
∴反比例函数的解析式为：y2=−2x，
将B(1,n)代入y2=−2x得n=−2，
将A(−2,1)和B(1,−2)代入y1=ax+b，
∴1=−2a+b−2=a+b，
解得：a=−1b=−1，
∴一次函数的解析式为：y1=−x−1；
(2)将x=0代入y1=−x−1，得：y1=−1，
∴S△AOB=12×1×2+12×1×1
=32；
(3)由图象知：当y11．
【解析】(1)将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．
(2)求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
(3)根据图象即可求出x的取值范围．
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出A、B两点的坐标，本题属于中等题型．
22.【答案】(1)y=−100x+5000；
(2)由题意得：
w=(x−6)(−100x+5000)
=−100x2+5600x−30000
=−100(x−28)2+48400，
∵a=−100<0，对称轴为直线x=28．
∴当x=28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
(3)当w=42000元时，有：42000=−100(x−28)2+48400，
∴x1=20，x2=36，
∵a=−100<0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【解析】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把x=7，y=4300和x=8，y=4200代入得：
7k+b=43008k+b=4200，
解得：k=−100b=5000，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=−100x+5000；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
(3)由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠DCF=90°则∠ADG+∠CDF=90°，
∵AM=AD，AE平分∠CAD．
∴AE⊥DM，
∴∠AGD=90°，
在Rt△ADG中，有∠ADG+∠DAE=90°．
∴∠DAE=∠CDF．
在△ADE与△DCF中，
∠DAE=∠CDFAD=DC∠ADE=∠DCF，
△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF；
(2)证明：由(1)可知：∠DAE=∠CDF，AE⊥DM，
∴∠DGE=∠ADE=90°，
∴△DGE～△ADE，
∴DEAE=GEDE，即DE2=GE⋅AE．
∵DE=CF⋅
∴CF2=GE⋅AE．
(3)解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AD//|BC，
∴∠ADF=∠CFM，
∵AM=AD，
∴∠AMD=∠ADF，
∵∠AMD=∠CMF，
∴∠CFM=∠CMF，
∴CF=CM，
设正方形ABCD的边长为a，则AD=AM=CD=a，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC= AD2+CD2= a2+a2= 2a，
∴CF=CM=AC−AM=( 2−1)a，
∴tan∠CMF=tan∠CFM=CDCF=a( 2−1)a=1 2−1= 2+1．
【解析】(1)由AD=AM，AE平分∠CAD，AG⊥DM，得再结合正方形的性质可证△EDG∽△EAD，得DEAE=EGDE，再证△ADE≌△DCF(ASA)，得DE=CF，进而即可证明结论；
(2)首先推导出△DGE～△ADE，进而得到DEAE=GEDE，即DE2=GE⋅AE，CF2=GE⋅AE；
(3)由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得∠CMF=∠CFD，设正方形ABCD的边长为a，由(2)得△CFM∽△ADM，得CFAD=CMAM= 2−1，则CF=( 2−1)a，在Rt△CDF中，可知tan∠CFD=CDCF，进而即可求解．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．x(元/kg)
7
8
9
y(kg)
4300
4200
4100
1.下列计算正确的是( )
A. a4+a4=a8B. a4⋅a4=a16C. (a4)4=a16D. a8÷a4=a2
2.春节档期的热门电影《长津湖之水门桥》上映34天，就突破了39.35亿的票房，39.35亿用科学记数法表示为( )
A. 39.35×108B. 3.935×109C. 39.35×109D. 3.935×1010
3.已知3x−4y=0(xy≠0)，那么下列比例式中成立的是( )
A. x3=y4B. x4=y3C. xy=34D. x3=4y
4.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y3
5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+4x经变换后得到抛物线y=x2−4x，则这个变换可以是( )
A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△DAF的面积之比为( )
A. 2：5
B. 3：5
C. 4：25
D. 9：25
7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=6，AB=4，则BC的长是( )
A. 6 2B. 2 19C. 2 13D. 9
8.大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是( )
A. 4 5−4
B. 4 5−12
C. 4−4 5
D. 12−4 5
9.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF=3EF，则BDDC=( )
A. 43
B. 32
C. 65
D. 23
10.正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式4a3−16ab2= ______．
12.已知二次函数y=(a−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是______．
13.如图，反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的图象交于点P(a,b)，则1a−1b的值为______．
14.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，且四边形BEFD是菱形．
(1)若点F在AC上，则菱形BEFD的边长等于______；
(2)连接AF，则AF的长的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：−22+(3.14−π)0−4sin60°+|1− 3|.
16.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
17.(本小题8分)
观察下列等式：
第①个等式：12+22=32−22，
第②个等式：22+32=72−62，
第③个等式：32+42=132−122，
第④个等式：42+52=212−202，
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第⑤个等式；
(2)写出你猜想的第ⓝ个等式(用含n的式子表示)，并证明．
18.(本小题8分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(−1,−1)．
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
(2)在如图的方格纸中把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后的位似比为1：2，画出△AB2C2．
19.(本小题10分)
如图，E为AB上一点，∠A=∠CED=∠B，连接CD．
(1)求证：△CAE∽△EBD；
(2)若CE平分∠ACD，CD=6，BD=4，求DE的长．
20.(本小题10分)
某无人机兴趣小组在操场上开展活动(如图)，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．(注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b(a,b为常数，且a≠0)与反比例函数y2=mx(m为常数，且m≠0)的图象交于点A(−2,1)、B(1,n)．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当y1
网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.设公司销售板栗的日获利为w(元)．
(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；(不用写自变量的取值范围)
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
23.(本小题14分)
如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠CAD交CD于点E，点M在AC上，且AM=AD，连接DM并延长，分别交AE，BC于点G，F．
(1)求证：DE=CF；
(2)求证：CF2=GE⋅AE；
(3)求tan∠CMF的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.a4+a4=2a4，故此选项不合题意；
B.a4⋅a4=a8，故此选项不合题意；
C.(a4)4=a16，故此选项符合题意；
D.a8÷a4=a4，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：39.35亿=3935000000=3.935×109．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵3x−4y=0(xy≠0)，
∴3x=4y，
则x4=y3，
故选：B．
直接利用比例的性质变形得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，可判断y1=y2>y3．
【解答】
解：∵y=−x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2(3,y2)，P3(5,y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5，
∴y2>y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，
故y1=y2>y3，
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：y=x2+4x=(x+2)2−4，顶点坐标是(−2,−4)．
y=x2−4x=(x−2)2−4，顶点坐标是(2,−4)．
所以将抛物线y=x2+4x向右平移4个单位得到抛物线y=x2−4x，
故选：B．
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6.【答案】B
【解析】解：∵DE：EC=3：2，DC=AB，
∴DEDC=DEAB=35，
∵DC//AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴EFAF=DEAB=35，
∵△DEF与△DAF高相同，对应底之比为35，
故面积之比为35．
故选：B．
由DE：EC=3：2，可得DEDC=DEAB=35，证明△DEF∽△BAF，可得EFAF=DEAB=35，从而△DEF与△DAF的面积之比即对应底边之比为35．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，关键是推出△DEF∽△BAF，得到EFAF=DEAB=35，即是△DEF与△DAF的对应底边之比．
7.【答案】B
【解析】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC=180°−120°=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=12AC=3，
∴BD=AB+AD=7，
由勾股定理得，CD= AC2−AD2=3 3，
在Rt△BCD中，BC= BD2+CD2=2 19，
故选：B．
作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴AP= 5−12AB= 5−12×8=(4 5−4)cm，
∴PB=AB−PA=8−(4 5−4)=(12−4 5)cm．
故选：D．
先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB−AP即得到PB的长．
本题考查了黄金分割，正确记忆黄金分割的概念是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点E作EH//AD交BC于H，
则CHHD=CEEA，
∵BE是△ABC的中线，
∴CE=EA，
∴CH=HD，
∵EH//AD，
∴BDDH=BFEF=3，
∴BDDC=32，
故选：B．
过点E作EH//AD交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH=HD，BDDH=BFEF=3，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：作PM⊥AD于点M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM=DM，
设PM=DM=x，则AM=4−x，
∵AP=PF，
∴AM=FM=4−x，
∴AF=2(4−x)，
∵S△APF=12AF⋅PM，
∴S△APF=12×2(4−x)⋅x=−x2+4x=−(x−2)2+4，
∴当x=2时，S△APF有最大值为4，符合题意．
故选：C．
作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM=DM，设PM=DM=x，则AM=4−x，根据等腰三角形的性质即可得出AF=2(4−x)，由三角形面积公式得出S△APF=12×2(4−x)⋅x=−x2+4x=−(x−2)2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】4a(a+2b)(a−2b)
【解析】解：原式=4a(a2−4b2)=4a(a+2b)(a−2b)，
故答案为：4a(a+2b)(a−2b)
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵二次函数y=(a−3)x2−4x+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2−4ac=16−8(a−3)=0，
∴a=5，
故答案为：5．
由抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，得到b2−4ac=0，即可求出a的值．
本题考查了抛物线和x轴的交点问题．关键是根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到a的方程．
13.【答案】−13
【解析】解：∵反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的图象交于点P(a,b)，
∴b=6a，b=a−2，
∴ab=6，a−b=2，
∴1a−1b=b−aab=−a−bab=−26=−13．
故答案为−13．
由点P(a,b)为反比例函数y=6x(x>0)与一次函数y=x−2的交点，可得出ab=6、a−b=2，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出ab=6、a−b=2是解题的关键．
14.【答案】154 2 5
【解析】解：(1)点F在AC上，如图1，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BE=EF=DF=BD，BA//DF，EF//BC，
∴∠EFA=∠BCA=90°，∠DFC=∠EAF，
设BE=EF=DF=BD=x，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴AE=AB−BE=10−x，CD=BC−BD=6−x，
∵sin∠DFC=sin∠EAF，
∴CDDF=EFAE，
∴6−xx=x10−x，
∴x=154，
∴菱形BEFD的边长等于154，
故答案为：154；
(2)如图2，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF//BC，
∴EO//AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴BEAB=OEAF=BOBF=12，
∴BE=12AB=AE．
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BE=AE=5，
∵AF⊥BF，
∴EF=5，
∵EF//BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴EGBC=AGAC=AEAB=12，∠AGE=∠ACB=90°，
∴EG=12BC=3，AG=12AC=4，
∴GF=EF−EG=2，
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴AF= AG2+GF2= 42+22=2 5．
故答案为：2 5．
(1)设BE=EF=DF=BD=x，根据sin∠DFC=sin∠EAF，列出方程求出x的值，进而可以解决问题；
(2)连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G.根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，再证明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再证明△AGE−△ACB，EG=12BC=1.5，AG=12AC=2，从而再由勾股定理，即可求解．
本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解决本题的关键是得到△BEO∽△BAF．
15.【答案】解：原式=−4+1−4× 32+ 3−1
=−3−2 3+ 3−1
=−4− 3．
【解析】利用有理数的乘方法则，零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得{1−b+c=09+3b+c=0，解得{b=−2c=−3,
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)；
(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=3−(−1)=4，
设点P的坐标为(t,t2−2t−3)，
∵S△PAB=10，
∴12×4×|t2−2t−3|=10，
∴|t2−2t−3|=5，
当t2−2t−3=5时，解得t1=−2，t2=4，此时点P的坐标为(−2,5)或(4,5)；
当t2−2t−3=−5时，方程没有实数解．
综上所述，此时点P的坐标为(−2,5)或(4,5)．
【解析】【分析】
(1)把A，B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c，得{1−b+c=09+3b+c=0，然后解方程组求出b，c的值，即可得出抛物线的解析式，配成顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；
(2)设点P的坐标为(t,t2−2t−3)，利用三角形面积公式得到12×4×|t2−2t−3|=10，然后分别解方程t2−2t−3=5和t2−2t−3=−5，求出t的值，即可得到点P的坐标．
【点评】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的顶点坐标，三角形的面积等知识，运用待定系数法求出二次函数的解析式是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)第⑤个等式为：52+62=312−302；
(2)第ⓝ个等式(用含n的式子表示)为：n2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2−[n(n+1)]2，
证明：左边=n2+(n2+2n+1)=2n2+2n+1，
右边=[n(n+1)+1+n(n+1)]⋅[n(n+1)+1−[n(n+1)]=2n2+2n+1,
∵左边=右边，
∴n2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2−[n(n+1)]2．
【解析】(1)根据等式的计算规律分析即可；
(2)利用等式的计算规律写出猜想，再运用平方差公式计算证明．
本题考查了数字规律的探究，熟练掌握平方差公式的应用是解答本题的关键．
18.【答案】解；(1)画出的△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为(−9,−1)；
(2)画出的△AB2C2的图形如图所示．
【解析】(1)△ABC的各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得△A1B1C1；
(2)根据△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，即可画出放大后的△AB2C2的图形．
此题主要考查了图形的位似变换和平移变换的知识，根据基本作图方法得出图形是解题关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠A=∠CED，
∴∠A+∠ACE=∠CEB=∠CED+∠DEB，
∴∠DEB=∠ACE，
又∵∠A=∠B，
∴△CAE∽△EBD；
(2)解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
由(1)知∠DEB=∠ACE，
∴∠DCE=∠DEB．
又∵∠B=∠CED，
∴△CDE∽△EDB，
∴CDDE=DEBD，
即DE2=CD⋅BD，
而CD=6，BD=4，
∴DE2=CD⋅BD=6×4=24，
∴DE=2 6．
【解析】(1)首先利用已知条件证明∠DEB=∠ACE，然后即可证明△CAE∽△EBD；
(2)利用已知条件和(1)的结论证明△CDE∽△EDB，然后利用相似三角形的性质即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了角平分线的性质，有一定的综合性，解题的关键是熟练利用相似三角形的判定方法．
20.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57米，DE=30米，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=DEAE≈0.75．
∴AE≈40米，
∵AB=57米，
∴BE≈17米，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE≈17米．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴DF=CF≈17米，
∴BC=EF=DE−DF≈13米，
答：教学楼BC高约13米．
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37°=DEAE≈0.75求得AE的值，结合题干AB的值可求出BE，再根据四边形BCFE是矩形知CF=BE，由∠CDF=∠DCF=45°知DF=CF，利用BC=EF=DE−DF求解即可．
21.【答案】解：(1)将A(−2,1)代入y2=mx，得m=−2，
∴反比例函数的解析式为：y2=−2x，
将B(1,n)代入y2=−2x得n=−2，
将A(−2,1)和B(1,−2)代入y1=ax+b，
∴1=−2a+b−2=a+b，
解得：a=−1b=−1，
∴一次函数的解析式为：y1=−x−1；
(2)将x=0代入y1=−x−1，得：y1=−1，
∴S△AOB=12×1×2+12×1×1
=32；
(3)由图象知：当y1
【解析】(1)将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．
(2)求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
(3)根据图象即可求出x的取值范围．
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出A、B两点的坐标，本题属于中等题型．
22.【答案】(1)y=−100x+5000；
(2)由题意得：
w=(x−6)(−100x+5000)
=−100x2+5600x−30000
=−100(x−28)2+48400，
∵a=−100<0，对称轴为直线x=28．
∴当x=28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
(3)当w=42000元时，有：42000=−100(x−28)2+48400，
∴x1=20，x2=36，
∵a=−100<0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【解析】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把x=7，y=4300和x=8，y=4200代入得：
7k+b=43008k+b=4200，
解得：k=−100b=5000，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=−100x+5000；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
(3)由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠DCF=90°则∠ADG+∠CDF=90°，
∵AM=AD，AE平分∠CAD．
∴AE⊥DM，
∴∠AGD=90°，
在Rt△ADG中，有∠ADG+∠DAE=90°．
∴∠DAE=∠CDF．
在△ADE与△DCF中，
∠DAE=∠CDFAD=DC∠ADE=∠DCF，
△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF；
(2)证明：由(1)可知：∠DAE=∠CDF，AE⊥DM，
∴∠DGE=∠ADE=90°，
∴△DGE～△ADE，
∴DEAE=GEDE，即DE2=GE⋅AE．
∵DE=CF⋅
∴CF2=GE⋅AE．
(3)解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AD//|BC，
∴∠ADF=∠CFM，
∵AM=AD，
∴∠AMD=∠ADF，
∵∠AMD=∠CMF，
∴∠CFM=∠CMF，
∴CF=CM，
设正方形ABCD的边长为a，则AD=AM=CD=a，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC= AD2+CD2= a2+a2= 2a，
∴CF=CM=AC−AM=( 2−1)a，
∴tan∠CMF=tan∠CFM=CDCF=a( 2−1)a=1 2−1= 2+1．
【解析】(1)由AD=AM，AE平分∠CAD，AG⊥DM，得再结合正方形的性质可证△EDG∽△EAD，得DEAE=EGDE，再证△ADE≌△DCF(ASA)，得DE=CF，进而即可证明结论；
(2)首先推导出△DGE～△ADE，进而得到DEAE=GEDE，即DE2=GE⋅AE，CF2=GE⋅AE；
(3)由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得∠CMF=∠CFD，设正方形ABCD的边长为a，由(2)得△CFM∽△ADM，得CFAD=CMAM= 2−1，则CF=( 2−1)a，在Rt△CDF中，可知tan∠CFD=CDCF，进而即可求解．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．x(元/kg)
7
8
9
y(kg)
4300
4200
4100
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