北京市第二十中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试卷

这是一份北京市第二十中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．正方形B．等边三角形
C．直角三角形D．正五边形
3．（2分）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．最大值4B．最小值4C．最大值6D．最小值6
4．（2分）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（ ）
A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
5．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（ ）
A．6.0mB．5.0mC．4.0mD．3.0m
6．（2分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为（ ）
A．2.5B．5C．7.5D．10
7．（2分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．πcmB．2πcmC．3πcmD．4πcm
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
10．（2分）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
11．（2分）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
12．（2分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 .（结果精确到0.1）
13．（2分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
14．（2分）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 ．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE与AC于点F，则的值是 ．
16．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）如图所示，有下面四个推断：
①二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值；
②抛物线C关于直线x＝对称；
③关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4，x＝0；
④若过动点M（m，0）垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点P（m，y1）和Q（m，y2），则当y1＜y2时，m的取值范围是﹣4＜m＜0．
其中所有正确推断的序号是 ．
三、解答题（共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17．（5分）解方程：x2+4x+3＝0．
18．（5分）已知m是方程3x2﹣2x﹣5＝0的一个根，求代数式（2m+1）（2m﹣1）﹣（m+1）2的值．
19．（5分）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ ．
∴BA OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 （填写推理依据）．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
21．（5分）已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出当x取何值时，y≤0．
22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，若AB＝4，求CD的长．
23．（6分）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个实验中任意抽取﹣一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是 ；
（2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．
24．（6分）一位运动员在距篮圈中心（点C）水平距离5m处竖直跳起投篮（A为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3m时，达到最高点（点B），此时高度为3.85m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点C）到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.75m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
25．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．
26．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣6ax+2（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点（4，y1），（2，y2），（﹣1，y3），（﹣2，y4）都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 y2（用“＞”“＝”“＜”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
27．（7分）已知等边△ABC，点D、点B位于直线AC异侧，∠ADC＝30°．
（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，
①根据题意补全图形；
②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：
Ⅰ．AD+CD＝BD；
Ⅱ．AD2+CD2＝BD2，其中正确的是 （填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；
（2）如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断（1）②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．
28．（7分）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（6，﹣2），C（﹣1，5）．
（1）在点D（2，2），E（﹣4，0），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 ；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
参考答案与解析
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，
∴m＝0，
故选：C．
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．正方形B．等边三角形
C．直角三角形D．正五边形
【解答】解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：A．
3．（2分）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．最大值4B．最小值4C．最大值6D．最小值6
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
4．（2分）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（ ）
A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
【解答】解：至少有1个球是黑球是必然事件，A正确；
至少有1个球是白球是随机事件，B不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，C不正确；
至少有2个球是白球是随机事件，D不正确；
故选：A．
5．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（ ）
A．6.0mB．5.0mC．4.0mD．3.0m
【解答】解：根据物高与影长成正比得：，
即
解得：DE＝0.9，
则BE＝2.7+0.9＝3.6米，
同理，
即：，
解得：AB＝4．
答：树AB的高度为4米，
故选：C．
6．（2分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为（ ）
A．2.5B．5C．7.5D．10
【解答】解：连接OC，
∵∠D＝∠AOC，∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5，
∴⊙O的半径为5．
故选：B．
7．（2分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．πcmB．2πcmC．3πcmD．4πcm
【解答】解：连接OC，OD，
∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴的长＝＝2π（cm）．
故选：B．
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a
∵（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，
∵点C（t，n）在抛物线上，
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．
故选：B．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为 （0，5） ．
【解答】解：令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5）．
故答案为：（0，5）．
10．（2分）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝x2+x ．
【解答】解：把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1﹣3，即y＝x2+x．
故答案为：y＝x2+x．
11．（2分）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 0（答案不唯一）． ．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
12．（2分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 0.9 .（结果精确到0.1）
【解答】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故答案为：0.9．
13．（2分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 （2，﹣1） ．
【解答】解：方法一：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，
∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称，
∵A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
方法二：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点A和C关于对角线的交点O对称，
又∵O为原点，
∴点A和C关于原点对称，
∵点A（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
14．（2分）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 20° ．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠AOB＝40°，
∴∠ADC＝∠AOB＝20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD＝∠ADC＝20°，
故答案为：20°．
15．（2分）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE与AC于点F，则的值是 ．
【解答】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝DC，
∴AB＝CD＝DE＝CE，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝．
故答案为：．
16．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）如图所示，有下面四个推断：
①二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值；
②抛物线C关于直线x＝对称；
③关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4，x＝0；
④若过动点M（m，0）垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点P（m，y1）和Q（m，y2），则当y1＜y2时，m的取值范围是﹣4＜m＜0．
其中所有正确推断的序号是 ①③ ．
【解答】解：由图象可知，抛物线C开口向下，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，
故①正确；
∵抛物线C与x轴的交点为（﹣4，0）和（1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣，
故②错误；
∵抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+n（k≠0）的交点为（﹣4，0）和（0，4），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝kx+n的两个实数根为x＝﹣4或x＝0，
故③正确；
如图所示：
由图象可知，当y1＜y2时，m的取值范围是m＞0或m＜﹣4，
故④错误．
故答案为：①③．
三、解答题（共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17．（5分）解方程：x2+4x+3＝0．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，
可得x+1＝0或x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
18．（5分）已知m是方程3x2﹣2x﹣5＝0的一个根，求代数式（2m+1）（2m﹣1）﹣（m+1）2的值．
【解答】解：由题意可知：3m2﹣2m﹣5＝0，
即3m2﹣2m＝5，
原式＝4m2﹣1﹣（m2+2m+1）
＝4m2﹣1﹣m2﹣2m﹣1
＝3m2﹣2m﹣2，
＝5﹣2
＝3．
19．（5分）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ BD ．
∴BA ⊥ OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 （填写推理依据）．
【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求．
（2）连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝BD．
∴BA⊥OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线），
故答案为：BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．
【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m）
＝m2﹣4m+4﹣4+4m＝m2．
∵m2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝m﹣1．
∵m＜0，
∴﹣1＞m﹣1．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴﹣1﹣（m﹣1）＝3．
∴m＝﹣3．
21．（5分）已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出当x取何值时，y≤0．
【解答】解：（1）设解析式为y＝ax2+bx+c由表格数据可得：
，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣2x﹣4；
（2）由表格中数据知，当x＝﹣1和2时，y＝0，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），
∵抛物线开口向上，
∴当﹣1≤x≤2时，y≤0．
22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，若AB＝4，求CD的长．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴CE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴CE2+OE2＝2CE2＝OC2，
∴2CE2＝22，
∴CE＝，
∴CD＝2．
23．（6分）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个实验中任意抽取﹣一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是 ；
（2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．
【解答】解：（1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的有2种结果，
所以他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率为＝．
24．（6分）一位运动员在距篮圈中心（点C）水平距离5m处竖直跳起投篮（A为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3m时，达到最高点（点B），此时高度为3.85m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点C）到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.75m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【解答】解：以地面为x轴，过B点垂直于地面的直线为x轴，与地面的交点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意得，B（0，3.85），C（2，3.05），
∴设抛物线解析式为y＝ax2+3.85，
把点C坐标代入解析式得：4a+3.85＝3.05，
解得a＝﹣0.2，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+3.85，
设球出手时，他跳离地面的高度为h m，
根据题意可知，h+1.75+0.15＝﹣0.2×9+3.85
解得h＝0.15．
答：球出手时，他跳离地面的高度是0.15m．
25．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
又∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠BCD，
∴∠OEC＝∠B，
∴AB∥OE，
又∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接DE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE∥AC，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
∵CD为斜边中线，CD＝5，
∴AB＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝8，
∴BE＝＝4，
∵∠B＝∠B，∠BFE＝∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
∴EF＝2.4．
26．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣6ax+2（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）已知点（4，y1），（2，y2），（﹣1，y3），（﹣2，y4）都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1 ＝ y2（用“＞”“＝”“＜”填空）；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣6ax+2（a≠0）．
∴当x＝0时，y＝2，函数图象的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴y轴的交点坐标为（0，2），函数图象的对称轴为直线x＝3；
（2）①∵函数图象的对称轴为直线x＝3，
∴点（4，y1）和点（2，y2）关于直线x＝3对称，
∴y1＝y2；
故答案为：＝；
②∵函数图象的对称轴为直线x＝3，﹣2＜﹣1＜2＜3，y1＝y2，
∴当开口向上时，则y1＝y2＜y3＜y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
当开口向下时，则y1＝y2＞y3＞y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1＝y2＞y3＞0＞y4，
∴y3≥0，y4＜0，即当x＝﹣1时，y3＝a+6a+2≥0，
x＝﹣2时，y4＝4a+12a+2＜0，
解得﹣≤a＜﹣，
∴a的取值范围为﹣≤a＜﹣．
27．（7分）已知等边△ABC，点D、点B位于直线AC异侧，∠ADC＝30°．
（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，
①根据题意补全图形；
②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：
Ⅰ．AD+CD＝BD；
Ⅱ．AD2+CD2＝BD2，其中正确的是 Ⅱ （填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；
（2）如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断（1）②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．
【解答】解：（1）①图形如图所示：
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝∠D+∠CAD，∠D＝30°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴CA＝CD＝AB，
∵AB+AD＞BD，
∴AD+CD＞BD．故Ⅰ错误．
∵∠BAC＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2，故Ⅱ正确，
故答案为：Ⅱ；
（2）结论：AD2+CD2＝BD2．
理由：如图2中，以AD为边向下作等边△ADE，连接BE．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵∠ADC＝30°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AE＝AD，∠AED＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝30°，BE＝CD，
∴∠BED＝∠AED+∠AEB＝90°，
∴△BDE为直角三角形，
∴BE2+DE2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2．
28．（7分）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（6，﹣2），C（﹣1，5）．
（1）在点D（2，2），E（﹣4，0），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 D，F ；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
【解答】解：（1）当A点是D点的中点时，对应点为（2，﹣4）；当B点是D点的中点时，对应点为（14，﹣4）；
当A点是E点的中点时，对应点为（﹣4，﹣6）；当B点是E点的中点时，对应点为（8，﹣6）；
当A点是F点的中点时，对应点为（﹣8，﹣4）；当B点是F点的中点时，对应点为（4，﹣4）；
当A点是O点的中点时，对应点为（﹣2，﹣4）；当B点是O点的中点时，对应点为（10，﹣4）；
∴D、F与点O关于线段AB双对合，
故答案为：D、F；
（2）①设K（k，0），
∵A（﹣1，﹣2），T（0，t），
∴A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t），
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，
∵⊙K的直径为1，
∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴当圆G与圆H有交点，
∵GH＝，
∴≤2，
解得﹣2﹣≤t≤﹣2+；
②∵A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4），K（k，0），
∴A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4），
∴△ABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，
∵△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，
∴阴影区域与圆K有公共交点，
∵阴影部分是由△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，
如图2时，k﹣（2k+1）＝+1，解得k＝﹣；
如图3时，2k+1﹣k＝+1，解得k＝；
∴﹣≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，
设直线EG的解析式为y＝k'x+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2k﹣3，
∴M（2k﹣3，0），
∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2k﹣3平行，
∴∠KMN＝45°，
∴KM＝KN＝，
如图4时，k﹣（2k﹣3）＝，解得k＝3﹣，
如图5时，2k﹣3﹣k＝，解得k＝3+，
∴≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
综上所述：≤k≤或≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y
…
12
5
0
﹣4
0
5
…
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y
…
12
5
0
﹣4
0
5
…
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）