福建省莆田市城厢区南门学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

这是一份福建省莆田市城厢区南门学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．计算（﹣6）﹣（﹣3）的结果等于（ ）
A．-9 B．9 C．-3 D．3
2．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ）
A．14B．12C．13D．16
3．中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的4000多年间，不同朝代有不同形状和材质的“权”作为衡量的量具.下面是一个“C”形增砣砝码，其俯视图如下图所示，则其主视图为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，已知a∥b，l与a、b相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（ ）
A．120°B．110°C．100°D．70°
5．下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（ ）
A．1m−3B．1m−1C．1m+1D．1m+3
6．已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=3:4:5B．∠C=∠A+∠B
C．∠A:∠B:∠C=1:5:6D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
7．下列计算中，正确的是（ ）
A．x+2x=3x2B．x2•x3=x6
C．x2+x3=x5D．2x2·3x3=6x5
8．不等式组x+1≤2x+3>0的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝20°，则∠BOD的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
10．已知关于x的二次函数y=(x+3)2−4的图象上有两点Ax1,y1,Bx2,y2,x1A．y1y2C．y1=y2D．y1+8=−y2
二、填空题
11．小明想了解“精准扶贫”的有关知识，上网在百度搜索中输入“2019精准扶贫工作”后找到相关结果约3470000个，把3470000用科学记数法表示为 ．
12．因式分解：1−2a+a2= ．
13．已知关于x的方程x2+mx﹣2＝0有一根是x＝1，则方程另一根是 ．
14．如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若ADBD=12，BC=9 ，则DE的长等于 。
15．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C=60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，F是BC边上的点，过F点的反比例函数y=kx k>0的图像与AC边交于点E．若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点D处，则点F的坐标为 ．
三、解答题
17．计算：−12−2+2cs30°−1−3．
如图，▱ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E、F分别是OB、OD的中点，连接AE、CF．
求证：AE=CF。
先化简，再求值：(1+1x−2)÷x2−12x−4，其中x=2−1．
20．一只不透明袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程．
（1）每一次摸到白球的概率为____________；
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接OD．
(1)尺规作图：先作线段CD的垂直平分线l，交AC于点E，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)DE是⊙O的切线吗？请说明理由；
22．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x(1≤x≤48)天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
23．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下：
如图1，AH为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度AH．立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1000步，D，B，H成一线，从BC退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从DE退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步，结果用步来表示）
解：∵AH∥BC，∴△BCF∽△HAF，∴BFHF=____①____，
又∵DE∥AH，∴△DEG∽___②____，∴DGHG=DEAH，
又∵BC=DE，∴BFHF=DGHG，即123123+HB=127127+1000+HB，∴BH=30750（步）
又∵BFHF=BCAH，∴AH=BC⋅HFBF， AH=5×(30750+123)123=1255（步）

(1)请补全上述求解过程中①②所缺的内容；
(2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．如图4，测量得∠AEK=α，∠ACK=β，BD=a，DE=b，求出此座山峰的高度AH。
24．（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为 ；②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
25．直线y=kx+b经过点A(1,2)，与抛物线y=−x2+2x+a（a为常数，且a>1）相交于点Bx1,y1，Cx2,y2两点，当x1−x2的值最小时，BC=22，设抛物线y=−x2+2x+a的顶点为D。
(1)求a的值；
(2)当直线BC与BD互相垂直时，求B点坐标；
(3)若抛物线y=−x2+2x+a与x轴负半轴交于点F，点E在x轴上，当tan(∠DFO+∠DEO)=4时，求点E的坐标．
时间x（天）
1≤x<30
30≤x≤48
售价
x+30
60
日销售量（kg）
−2x+120
2023-2024学年南门学校九年级寒假自测卷
参考答案及解析：
一、单选题
1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．D 10．B
10.【分析】求出二次函数的对称轴为直线x=−3，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断y1 与 y2的大小；
【详解】解：∵y=(x+3)2−4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−3，
∵x1∴x1+x2=−8，
∴x1+x22=−4，
∵−4<−3，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1>y2．
故选：B．
二、填空题
11．3.47×106 12．（a-1）2 13．﹣2 14．3 15．83﹣8π3 16．4，2132
16.
【详解】过点E作EM⊥OB于点M，
∵ △CEF沿EF折叠得到△DEF，
∴ ∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，
∵∠MED+∠MDE=90°,∠BDF+∠MDE=90°
∴∠MED=∠BDF
∵∠EMD=∠DBF=90°
∴Rt△MED∽Rt△BDF
∴EDDF=MEBD
∵ OA=3、OB=4且E、F两点在y=kx的图像上
∴ Ek3,3、F4,k4，则OM=AE=k3，BF=k4
∴CE=DE=4−k3，CF=DF=3−k4
∴4−k33−k4=3BD，即BD=94
在Rt△BDF中，DF2=BD2+BF2
∴3−k42=942+k42
解得：k=218
∴反比例函数解析式为：y=218x
当x=4时，y=218×4=2132即F4,2132
故答案是：4,2132.
三、解答题
17．5
【详解】解：原式=4+2×32−3−1 ，
=4+3−3+1，
=5．
【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊三角函数值，化简绝对值和零指数幂，解题的关键是熟练掌握以上知识的运算法则及其应用．
18．
【详解】如图，连接AF、CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F为OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴AC与EF互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE=CF；
19．2x+1，2．
【详解】原式=(x−2x−2+1x−2)÷(x+1)(x−1)2(x−2)=x−1x−2⋅2(x−2)(x+1)(x−1)=2x+1，
当x=2−1时，
原式=22−1+1=22=2．
20．（1）13；（2）见解析，23
【详解】解：（1）∵袋子中装有1个白球和2个红球种，
∴每一次摸到白球的概率=13；
故答案为：13
（2）根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，恰好摸到1个白球，1个红球有4种，
所以摸到1个白球，1个红球的概率46＝23．
21．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：DE是⊙O的切线，理由如下：
∵直线l是线段CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠A=90°，
∴∠OBD+∠C=90°，
∴∠ODB+∠EDC=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
22．【详解】（1）解：当1≤x<30时，售价为x+30元，商品的进价为20元/kg，日销售量为−2x+120kg，
∴利润为：y=x+30−20×−2x+120，
整理得，y=−2x2+100x+12001≤x<30；
当30≤x≤48时，售价为60元，商品的进价为20元/kg，日销售量为−2x+120kg，
∴利润为：y=60−20×−2x+120，
整理得，y=−80x+480030≤x≤48；
综上所述，y=−2x2+100x+12001≤x<30−80x+480030≤x≤48．
（2）解：由（1）可知，当1≤x<30时，y=−2x2+100x+1200=−2x−252+2450，
∴当x=25时，利润为2450元；
当30≤x≤48时，y=−80x+4800，
∵−80<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=30时，y=−80×30+4800=2400，
∴当x=30时，利润为2400元；
∵2450>2400，
∴第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元．
23．
【详解】（1）解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例
∵AH∥BC，
∴△BCF∽△HAF，
∴BFHF=BCAH，
又∵DE∥AH，
∴△DEG∽△HAG，
∴DGHG=DEAH，
又∵BC=DE，
∴BFHF=DGHG，
即123123+HB=127127+1000+HB，
∴BH=30750（步）
又∵BFHF=BCAH，∴AH=BC⋅HFBF， AH=5×30750+123123=1255（步）
故答案为：相似三角形的对应边成比例；BCAH；△HAG；
（2）在Rt△AKE中，∵tanα=AKEK，
∴EK=AKtanα，
在Rt△AKC中，∵tanβ=AKCK，
∴CK=AKtanβ，
∵CE=KE−KC，
∴AKtanα−AKtanβ=a
∴AK=atanα⋅tanβtanβ−tanα，
∴AH=AK+KH=AK+DE=atanα⋅tanβtanβ−tanα+b．

24．
【详解】（1）问题发现：
①如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴ACBD=1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，
（2）类比探究：
如图2，ACBD=3，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴ODOC＝tan30°＝33，
同理得：OBOA＝tan30°＝33，
∴ODOC＝OBOA，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD＝OCOD=3 ，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸：
①点C与点M重合时，如图3，
同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，ACBD＝3，
设BD=x，则AC=3x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=7，
∴AB=2OB=27，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(3x)2+(x−2)2＝(27)2，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=33；
②点C与点M重合时，如图4，
同理得：∠AMB=90°，ACBD＝3，
设BD=x，则AC=3x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(3x)2+（x+2）2=(27)2.
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=23；.
综上所述，AC的长为33或23．
25．
【详解】
（1）解：
∵直线y=kx+b经过点A(1,2)，
∴k+b=2
∴y=k(x−1)+2，
它与抛物线y=−x2+2x+a（a为常数，且a>1）相交于点Bx1,y1，Cx2,y2两点，
则k(x−1)+2=−x2+2x+a，
化简得x2+(k−2)x−a−k+2=0，
x1+x2=2−k，x1·x2=2−k−a，
(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2，
=(2−k)2−4(2−k)+4a，
=k2+4a−4，
当k=0时，有最小值4a−4，
又当x1−x2的值最小时，BC=22，
此时x1−x2=22．
所以4a−4=8，
a=3.
（2）由（1）得抛物线解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
则顶点为D的坐标为(1，4)，设B点坐标为(m，−m2+2m+3)，
BD2=(m−1)2+(−m2+2m−1)2=(m−1)2+(m−1)4
BA2=(m−1)2+(−m2+2m+1)2=(m−1)2+[2−(m−1)2]2，
DA2=4,
当DA2=BD2+BA2时，直线BC与BD互相垂直；
即(m−1)2+(m−1)4+(m−1)2+[2−(m−1)2]2=4,
解得，(m−1)2=0或(m−1)2=1，
解得，m1=1（舍去）；m2=0，m3=2；
则B点坐标为(0，3)或(2，3)，
（3）解：当0=−x2+2x+3时．
解得x1=−1，x2=3，
所以点F的坐标为(−1，0)，由（2）可知抛物线对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交于点H，在对称轴上画点G，使G点坐标为(1，8)，
则tan∠GFO=4，
作DM⊥FG于M，
则4DM=MG，(4DM)2+DM2=16，
解得，DM=41717，GM=161717，
GF=22+82=217，
FM=FG−MG=181717，
tan∠MFD=DMMF=29，
因为tan(∠DFO+∠DEO)=4，
所以tan∠DEO=29，即DHHE=29，
所以，EH=18，
则E点坐标为(19,0)或(−17,0)；