广东省韶关市乐昌市乐昌市第一中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

这是一份广东省韶关市乐昌市乐昌市第一中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题，共17页。试卷主要包含了下列各数，下列分式中，属于最简分式的是，下列计算正确的是，已知一个函数满足下表等内容，欢迎下载使用。

考试范围：数与式、方程（组）与不等式（组）、函数；考试时间：120分钟；
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.下列各数：3，0，−5，0.48，−(−7)，−|−8|，(−4)2中，负数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 22a−4B. a2a2−2aC. a+1a2+1D. a−1a2−1
3.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a3·a3=a9C. (a3)2=a6D. (ab)2=ab2
4.实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a−b|−a2的结果是( )
A. 2a−bB. b−2aC. bD. −b
5.已知一个函数满足下表(x为自变量)：
则这个函数的表达式为 ( )
A. y=9xB. y=−9xC. y=x9D. y=−x9
6.不等式组x−1≤0x+3>0中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知x=−1,y=2是二元一次方程组3x+2y=m,nx−y=1的解，则m−n的值是 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.一次函数y=cx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能为( )
A. B. C. D.
9.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，设这个班有学生x人，下列方程正确的是( )
A. 3x+20=4x−25B. 3x−25=4x+20
C. 4x−3x=25−20D. 3x−20=4x+25
10.若二次根式 2−m有意义，且关于x的分式方程m1−x+2=3x−1 有正数解，则符合条件的整数m的和是( )
A. −7B. −6C. −5D. −4
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11.当x 时，代数式 1x+3有意义．
12.若 m+2+n−32=0，则mn的值是 ．
13.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．
14.不等式3x−15−x−12≥1的最小整数解是______．
15.若方程组3x−y=t2x+5y=6t，则 xy=______．
16.二次函数的图象经过点(4,−3)，且当x=3时，有最大值−1，则该二次函数解析式为 ．
17.若a3+3a2+a=0，则2023a2a4−2023a2+1= ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每题6分，共18分。
18. 2sin60∘−| 3−2|+(π− 10)0− 12+(−12)−2．
19.因式分解：
(1)2x(x+y)−6y(x+y)．
(2)(5m+n)2−(m−5n)2．
20.若关于x的分式方程 2x−2+mxx2−4=3x+2 无解，求m的值．
四、解答题（二）本大题共2小题，每题10分，共20分。
21.如图，在平面直角坐标系中作出函数y=2x+6的图象，利用图象解答下列问题：
(1)求方程2x+6=0的解；
(2)求不等式2x+6>4的解集；
(3)若−2≤y≤2，求x的取值范围．
22.列方程解应用题：
初二(1)班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
五、解答题（三）本大题共2小题，每题12分，共24分。
23.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin(180∘−α)，csα=−cs(180∘−α).
(1)求sin120∘，cs120∘，sin150∘的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，csB是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
如图，对称轴为直线x=−1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−3,0)，且点(2,5)在抛物线y=ax2+bx+c上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线与y轴的交点；
①点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P点坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2023-2024学年乐昌市第一中学九年级数学下册开学考试试卷答案
【答案】
1. B 2. C 3. C 4. C 5. B 6. A 7. D
8. B 9. A 10. D
11. >−3
12. −8
13. −2
14. 7
15. 1116
16. y=−2(x−3)2−1
17. 0或−20232016
18. 3.
19. 解：(1)原式=2(x+y)(x−3y)；
(2)原式=[(5m+n)+(m−5n)][(5m+n)+(m−5n)]
=(5m+n+m−5n)(5m+n−m+5n)
=(6m−4n)(4m+6n)
=4(3m−2n)(2m+3n)．
20. 解：2x−2+mxx2−4=3x+2，
2(x+2)+mx=3(x−2)，
2x+4+mx=3x−6，
x−mx=10，
x=101−m，
∵当x=2时分母为0，方程无解，
即101−m=2，m=−4时方程无解；
当x=−2时分母为0，方程无解，
即101−m=−2，m=6时方程无解，
当m=1时，x=101−m无意义，方程无解，
故m的值为：−4或1或6．
21. 解：如下图，在直角坐标系中取点(−3,0)和点(0,6)作直线，即是一次函数y=2x+6的图象；
(1)由图象可知：当x=−3时，y=0，所以方程2x+6=0的解为x=−3；
(2)由图象可知：当x>−1时，y>4，所以不等式2x+6>4的解集为x>−1；
(3)由图象可知：当−2≤y≤2时，−4≤x≤−2．

22. 解：(1)设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得：60x=601.5x+14+14，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，
1.5x=1.5×40=60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
(2)设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
14+60−y60=60−y40，
解得：y=30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
23. 解：(1)由题意得sin120∘=sin(180∘−120∘)=sin60∘= 32，
cs120∘=−cs(180∘−120∘)=−cs60∘=−12，
sin150∘=sin(180∘−150∘)=sin30∘=12．
(2)∵三角形的三个内角的比是1:1:4，
∴三个内角分别为30∘，30∘，120∘．
①当∠A=30∘，∠B=120∘时，方程的两根为x1=12，x2=−12．
将x=12代入方程，得4×(12)2−m×12−1=0，解得m=0，
∴方程为4x2−1=0．
经检验，x=−12是方程4x2−1=0的根，
∴m=0满足题意．
②当∠A=120∘，∠B=30∘时，方程的两根为x1=x2= 32，不满足题意．
③当∠A=30∘，∠B=30∘时，方程的两根为x1=12，x2= 32．
将x=12代入方程，得4×(12)2−m×12−1=0，解得m=0，
∴方程为4x2−1=0．
经检验，x= 32不是方程4x2−1=0的根，
∴此种情况不满足题意．
综上所述，m=0，∠A=30∘，∠B=120∘．

24. 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
又∵点A(−3,0)与(2,5)在抛物线上，
∴9a−3b+c=04a+2b+c=5−b2a=−1，
解得a=1b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3;
(2)①由(1)知，二次函数的解析式为y=x2+2x−3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,−3)，与x轴的另一交点为B(1,0)，
则OC=3，OB=1，
设P点坐标为(x,x2+2x−3)，
∵S△POC=4S△BOC，
∴12×3×|x|=4×12×3×1，
∴|x|=4，
则x=±4，
当x=4时，x2+2x−3=16+8−3=21，
当x=−4时，x2+2x−3=16−8−3=5，
∴点P的坐标为(4,21)或(−4,5)；
②设直线AC的解析式为y=kx+t，
将A(−3,0)，C(0,−3)代入得−3k+t=0t=−3，
解得k=−1t=−3，
∴直线AC的解析式为y=−x−3，
设Q点坐标为(x,−x−3)，−3≤x≤0，
则D点坐标为(x,x2+2x−3)，
∴QD=(−x−3)−(x2+2x−3)=−x2−3x=−(x+32)2+94，
∴当x=−32时，线段QD的长度有最大值94．
【解析】
1. 解：负数有−5，−|−8|共2个．
故选：B．
简化可得：3，0，−5，0.48，7，−8，16.结果小于0的数是负数．
正确理解正、负数的概念，区分正、负数的关键就是看它的值是大于0还是小于0，不能只看前面是否有负号．
2. 【分析】
此题考查了最简分式，最简分式即为分式的分式分母没有公因式．
利用最简分式的定义判断即可得到结果．
【解答】
解：A、22a−4=1a−2，不合题意；
B、a2a2−2a=aa−2，不合题意；
C、原式为最简分式，符合题意；
D、原式=a−1a−1a+1=1a+1，不合题意．
故选：C．
3. 【分析】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
【解答】
解：∵a2与a3不是同类项，∴选项A不正确；
∵a3·a3=a6≠a9，∴选项B不正确；
∵(a3)2=a3×2=a6，∴选项C正确；
∵(ab)2=a2b2≠ab2，∴选项D不正确．
故选：C．
4. 【分析】
此题考查了数轴、平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意 a2=|a|．
首先由数轴可得a【解答】
解：根据题意得：a∴a−b<0，
∴|a−b|− a2=|a−b|−|a|=(b−a)−(−a)=b−a+a=b．
故选：C．
5. 【分析】
本题考查反比例函数的概念，熟知反比例函数的意义是解答此题的关键．
由于表中每对变量的积都为−9不变，则这个两个变量成反比例函数关系，设此反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，再把x=−3，y=3代入求出k的值即可．
【解答】
解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，
设函数的解析式为y=kx(k≠0)，
把x=−3，y=3代入得，k=−9，
∴该函数的解析式为：y=−9x．
6. 解：解不等式x−1≤0得x≤1，
解不等式x+3>0得x>−3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：．
故选：A．
先分别解两个不等式得到−3本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
7. 【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组的解有关知识，将方程组的解代入方程组得到关于m、n的方程组即可．
【解答】
解：把x=−1y=2代入3x+2y=mnx−y=1可得，
−3+4=m−n−2=1,
解得m=1n=−3,
∴m−n=1−(−3)=4．
故选D．
8. 解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，由直线可知，b>0，错误；
B、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，由直线可知，c>0，b<0，正确；
C、由抛物线可知，a<0，b>0，c<0，由直线可知，c>0，b>0，错误；
D、由抛物线可知，a<0，b=0，c>0，由直线可知，c>0，b>0，错误．
故选：B．
先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=cx+b图象相比较看是否一致．
本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9. 【分析】
本题考查了一元一次方程的应用.根据找出相等关系建立一元一次方程是解题关键．
【解答】
解：设有x名学生，则：
3x+20=4x−25，
故选：A．
10. 【分析】
本题考查二次根式有意义的条件、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键．根据二次根式 2−m有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程m1−x+2=3x−1的解为x=m+52，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【解答】
解：去分母得，−m+2(x−1)=3，
解得，x=m+52，
∵关于x的分式方程m1−x+2=3x−1有正数解，
∴m+52>0，
∴m>−5，
又∵x=1是增根，当x=1时，m+52=1，即m=−3，
∴m≠−3，
∵ 2−m有意义，
∴2−m≥0，
∴m≤2，
因此−5∵m为整数，
∴m可以为−4，−2，−1，0，1，2，其和为−4，
故选D．
11. 略
12. ∵ m+2+n−32=0， m+2≥0，(n−3)2≥0，∴m+2=0，n−3=0，解得m=−2，n=3，∴mn=(−2)3=−8．
方法解读 初中常见非负数：绝对值、算术平方根、偶次方．非负数有如下性质：非负数的和或积仍是非负数：若几个非负数的和为0.则每个非负数必等于0．
13. 【分析】本题考查了一元二次方程的解(根)：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=−2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】
解：∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=−2，
故答案为−2．
14. 解：6x−2−5x+5≥10
x≥7
∴不等式3x−15−x−12≥1的最小整数解是7，
故答案为：7．
先求出不等式的解集，即可得出答案．
本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，关键是求出不等式的解集．
15. 解：3x−y=t ②2x+5y=6t ①
①+②×5得：17x=11t，
解得：x=11t17，
把x=11t17代入②得：33t17−y=t，
解得：y=16t17，
所以xy=1116，
故答案为：1116．
把t当成已知数，求出方程组的解，再代入求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，能求出二元一次方程组的解是解此题的关键．
16. 【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意设出函数的顶点式，代入点(4,−3)，根据待定系数法即可求得．
【解答】
解：设二次函数的解析式为y=a(x−3)2−1，
把点(4,−3)代入得：−3=a(4−3)2−1，
解得a=−2，
∴y=−2(x−3)2−1．
故答案为y=−2(x−3)2−1．
17. 【分析】由题意得a=0或a2+3a+1=0，再分情况进行代入求解．
【解答】解：∵a3+3a2+a=a(a2+3a+1)=0，
∴a=0或a2+3a+1=0．
当a=0时，2023a2a4−2023a2+1=2023×0204−2023×02+1=01=0；
当a2+3a+1=0时，a+1a=−3，
∴(a+1a)2=a2+2+1a2=(−3)2=9，
∴a2+1a2=9−2=7，
∴a4−2023a2+12023a2=a22023−1+12023a2=12023(a2+1a2)−1=12023×7−1=72023−1=−20162023，
∴2023a2a4−2023a2+1=−20232016，
故答案为：0或−20232016．
18. 略
19. (1)利用提公因式法因式分解即可；
(2)利用提公因式法及平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20. 本题须先求出分式方程的解，再根据分式方程无解的条件列出方程，最后求出方程的解即可．
本题主要考查了分式方程的解，在解题时要能灵活应用分式方程无解的条件，列出式子是本题的关键．
21. 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用描点法画出函数y=2x+6的图象．
(1)找出函数图象与x轴的交点的横坐标；
(2)找出函数值大于4所对应的自变量的取值范围；
(3)观察函数图象，找出当−2≤y≤2时自变量x所对应的取值范围．
22. 本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中的等量关系列出方程．
(1)根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
(2)根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
23. 见答案
24. 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质和二次函数的最值，以及三角形面积．
(1)因为抛物线的对称轴为直线x=−1，点A(−3,0)与(2,5)在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
(2)①先由二次函数的解析式为y=x2+2x−3，得到B，C点坐标，然后设P点坐标为(x,x2+2x−3)，根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=−x−3，再设Q点坐标为(x,−x−3)，则D点坐标为(x,x2+2x−3)，然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
x
−3
−2
−1
1
2
3
y
3
4.5
9
−9
−4.5
−3