湖南省浏阳市2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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（时量：120分钟 总分：150分 考试形式：闭卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解.
【详解】由题意，所以.
故选：C.
2. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义得，再运用二倍角公式解决即可.
【详解】由题得，角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，
所以,
所以，
所以，
故选：A
3. 已知是定义域为的偶函数，则（ ）．
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的性质列方程求出，代入计算即可.
【详解】由是定义域为的偶函数得
，解得，
.
故选：B.
4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】∵，，
，，
根据零点的存在性定理知，
函数的零点所在区间为．
故选：B
5. “”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先分别解出指数不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案.
【详解】，或，
可以推出或，
当或不能推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 函数的图像大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和区间内的值域，用排除法得到图像.
【详解】函数，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，排除AB选项；
当时，，排除D选项；
故选：C
7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.
【详解】函数中，
在上单调递减，在上单调递减，且，
则函数在定义域上单调递减，
，
，解得：，
即不等式的解集为.
故选：D.
8. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的零点，得出的零点的范围，根据二次函数的性质列不等式组得出a的范围．
【详解】，函数定义域为，
任取，有，，，
则，即，所以在上单调递增，
由，∴只有一个零点，
函数与互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．
，解得或
（1）当，即 ，存在唯一零点，时， 符合题意；时，不符合题意；
（2）当，即 或 ，，；，；
若在 上只有1个零点，则，
即，解得．
若在 上有两个零点，则 ，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9. 已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（ ）
A. 命题（2）是全称量词命题
B. 命题（1）否定为：存在
C. 命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等
D. 命题（1）和（2）被否定后，都是真命题
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，由全称量词命题的定义即可判断；对于BC，由命题否定的定义即可判断；由命题及其否定的真假性的关系即可得解.
【详解】对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确；
对于B，命题（1）的否定为：存在，故B正确；
对于C，命题（2）的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误；
对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误.
故选：AB.
10. 函数（是常数，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质验证各选项的结论是否正确.
【详解】由图象可知，，
，函数最小正周期，，
，即，由，得，
所以，
，A选项错误；
，，是正弦函数的单调递增区间，
所以在区间上单调递增，B选项正确；
将的图象向左平移个单位，得函数的图象，
其中，不是函数最值，轴不是函数图象的对称轴，不是偶函数，C选项错误；
，
所以，D选项正确.
故选：BD
11. 设，，，以下四个命题中正确的是（ ）．
A. 若为定值，则有最大值
B. 若，则有最大值4
C. 若，则有最小值4
D. 若总成立，则的取值范围为
【答案】CD
【解析】
【分析】对A，利用均值不等式判断；对B，C构造不等式，解不等求得最值，判断是否正确；对D，分离变量，转化为恒成立，再用基本不等式求的最小值，求得的范围，得到是否正确.
【详解】为定值时，应有最小值，∴A不正确；
当时，
，∴B不正确；
，
当且仅当，等号成立，∴C正确；
由，又，
∴，∴，∴D正确．
故选：CD.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，构造不等式求最值，属于中档题.
12. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（ ）
A. 若为“函数”，则
B. 函数在上是“函数”
C. 函数在上是“函数”
D. 若为“函数”，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差，可判断D.
【详解】A选项，由（1）知，由（2）得时，，即，∴，故A正确；
B选项，显然满足（1），若x，，则，，若x，，
设，，则，，与（2）不符，故B不正确；
C选项，，∵，∴，满足（1），，满足（2），故C正确；
D选项，∵，
∴
，
∵，∴，∴，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，且，则实数值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值.
【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素互异性，舍去；
若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，
所以.
故答案为：3.
【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.
14. 若幂函数在上单调递增，则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性求得.
【详解】是幂函数，所以，
解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意.
当时，在上单调递增，符合题意.
所以的值为.
故答案为：
15. 已知，若，则___________.
【答案】8
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
详解】解：由，且
所以是方程的两根，
解得或，
又，所以，即，又
从而，且，则，．
所以.
故答案为：8.
16. 已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】通过数形结合，首先研究方程的根的情况，结合以及已知条件可知关于的方程有两个不同的根，且，由此即可得解.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与直线的图象如图所示：
由图可知当或时，方程无解，
当时，方程有两个不同的根，
当时，方程有四个不同的根，
由题意可知，关于的方程恰有6个不同实数解，
即关于的方程恰有6个不同实数解，
所以关于的方程有两个不同的根，且不妨设，
由韦达定理得.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是由关于的方程恰有6个不同实数解，得到关于的方程有两个不同的根，且满足，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合或．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由补集、并集的概念即可求解.
（2）由包含关系分类讨论即可求解.
【小问1详解】
当时，，或，
所以，因此，.
小问2详解】
当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由，可得，解得，此时．
综上，，即实数的取值范围是.
18. 已知都是锐角，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平方关系以及两角和差的正弦公式即可求解.
（2）由平方关系以及两角和差的正切公式即可求解.
【小问1详解】
已知都是锐角，．
，
.
【小问2详解】
已知都是锐角，，
，，
．
19. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系式为．已知5h后消除了10%的污染物，试求：
（1）后还剩百分之几的污染物：
（2）污染物减少50%所需的时间．（参考数据：，，）
【答案】（1）10个小时后还剩的污染物.
（2）污染物减少50%所需要的时间为35个小时.
【解析】
【分析】(1)由5小时后剩留的污染物列等式求出中k的值，得到具体关系式后代求得10个小时后还剩污染物的百分数；
(2)由污染物减少50%,即列等式有求解污染物减少50%所需要的时间.
【小问1详解】
(1)由. 可知时,
当时. ,
所以,
当时, ,所以10个小时后还剩的污染物.
【小问2详解】
(2)当时,有,解得
,
所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时.
20. 已知.
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）若，求的最大值和最小值.
【答案】（1），单调递增区间为
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）对化简得，则，，，解出即可；
（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.
【小问1详解】
依题意得：
，
则，
由，，
得，
所以的单调递增区间为．
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，
则当，即时，，
当，即时，，
所以在时的最大值和最小值分别为：，．
21. 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】（1）选①，
（2）当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为．
【解析】
【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.
【小问1详解】
解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，
对于②，当时，，又，
所以，故不符合题意，故选①，
由表中的数据可得，，解得
∴．
【小问2详解】
解：高速上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
∴，
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
∵，∴当时，，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，
该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为．
22. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
【小问1详解】
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不是 “自均值函数”.
【小问2详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.
【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.
0
10
40
60
0
1420
4480
6720