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湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考数学试题（六）（Word版附解析）
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这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考数学试题（六）（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考试卷数学六原卷版docx、湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考试卷数学六Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
命题人：黄文辉 审题人 陈朝阳､黄爱民
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.
【详解】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，
故.
故选:B.
2. 已知，若为纯虚数，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z，根据z为纯虚数求出a的值，即可求得答案.
【详解】由题意得，
因为为纯虚数，所以，
故，所以，故，
故选：B．
3. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ）
A B. C. 0.8D. 0.96
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
所以该数据的残差为.
故选：C.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中的系数.
【详解】展开式通项为，
则的展开式中含项为，
即的系数为.
故选：A.
6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.
【详解】设线段、、、中点分别为、、、，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，
则，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，
则，则，
所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为.
故选：D.
7. 学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解
【详解】记“选派人中至少有名男老师”为事件，“选派人中有名女老师”为事件，
则，，
显然，所以.
故选：B.
8. 已知对任意实数都有，若不等式，（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，求导利用已知条件，得出，求导，得出函数的单调性，令，利用过定点以及函数的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.
【详解】令
，即，(为常数)
则
因为，所以，即
，
在区间 上单调递减，在区间上单调递增
令，由于过定点，则函数和图像如下图所示
要使得的解集中恰有两个整数，则有
解得：
故选C
【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出过定点，结合函数的图像，数形结合来分析问题，属于难题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用对数函数单调性判断B；利用不等式性质判断C；利用基本不等式判断D.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，由，得，B正确；
对于C，由，得，则，C正确；
对于D，由，，得，，D正确.
故选：BCD
10. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则中点到轴的距离为4
B. 弦的中点的轨迹为抛物线
C. 若，则直线的斜率
D. 的最小值等于9
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A，设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹判断B，结合向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C，由题可得，然后根据基本不等式求解判断D.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，
对于A，依题意，，解得，
线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误；
对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：，
由消去x得，，
则，，，
设线段中点坐标为，则，消去可得，
因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确；
对于C，显然，由，得，，
由选项B知，有，又，则，，
因此直线的斜率，C正确；
对于D，由选项B知，，
则，
因此，
当且仅当，即时取得等号，D正确.
故选：BCD
11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为，则为定值2
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到三点共线，得到平面，故点为平面的距离为定值，四面体的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，表达出，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出，，得到，画出图形，数形结合得到其最小值.
【详解】A选项，在上分别取，使得，，
因为，所以，
因为，所以，即，
故，即，
所以三点共线，
因为，，所以，
故平面，故点为平面的距离为定值，
又为定值，故四面体的体积为定值，A正确；
B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥，
又题意得，
则，B错误；
C选项，取的中点，因为底面为菱形，，
故⊥，
以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，设，
则，
化简得，
点满足，
即点在正方形内，包括边界，
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，
如图所示：
因为，，故，
故为等腰直角三角形，，
故点的轨迹长度为，C正确；
D选项，若且，，
即，即，
又，，设，
设，即，
解得，即，
，
如图所示，
设，且⊥，⊥，
在线段上取一点，设，则，
故，
显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为，
由勾股定理得，
故的最小值为，
D正确.
故选：ACD
【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12. 已知向量.若，则实数的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算即可.
【详解】因为，
所以.
又，
所以，解得.
故答案为：.
13. 若，，则tanα＝__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得，再由同角关系式求得，．
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
解得，
所以，
所以．
故答案为：．
14. 已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】由条件求，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.
【详解】解：如图，
根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）过作，交线段于，且，求角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；
（2）根据平面向量基本定理可得，再根据数量积为0求解得即可.
【小问1详解】
由正弦定理得：．
∵，∴，
∴
∴，
又，∴，又为三角形内角，∴．
【小问2详解】
因为在边上，且，所以．
因为，所以，
所以．
在中，，，∴．
16. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
取得中点，连接，
，，，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，；
【小问2详解】
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,如图，
则，
∴，
设为平面CMN的一个法向量，则，
取，则，故，
又为平面的一个法向量，
，，
故二面角的正弦值为.
17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分
（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜概率均为.
①记小李以3：1取胜的概率为.若当时，取最大值.求的值；
②若以①中的值作为的值，这轮比赛小李所得积分为，求分布列及均值，
【答案】（1）
（2）①；②分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由题可得，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望.
【小问1详解】
比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是
；
【小问2详解】
①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的最大值点；
②的可能取值为，
，
，
，
.
所以的分布列为
的期望为
.
18. 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，；②
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；
（2）①求出直线DN与EM方程，得到Q点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为.
【小问2详解】
①依题意，设直线DE方程为.
联立，得，
易知
设，，则，.
因为轴，轴，
所以，.
所以直线DN：，
直线EM：，
联立解得.
从而点Q在定直线上.
②因为，
又，则，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.
19. 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
（1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
（2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
（3）已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）既不充分也不必要条件；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；
（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，得到，进而得出结论；
（3）①由题意得到，求得；②由题意求得且，令，求得，得到存在使得，进而得到单调性，分类讨论，即可求解.
小问1详解】
解：对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，
所以函数为“同定义域函数”，此时，，
由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，
对于函数，则，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
【小问2详解】
解：若成立，，则，
设，则，所以为“单向导函数”，
又设，则，所以为“双向导函数”，
但不是常值函数，所以不是的必要条件；
若成立，则，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.
【小问3详解】
解：①由题意，，且，
所以，所以；
②由题意，所以且，
令，
可得，且，
因为为单调递增函数，且，
所以存在使得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
（i）当时，即，
所以，
此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以；
（iii）当且时，，
所以函数在上存在两个极值点，
若，即时，极大值点为；
若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，
由当时，，
令，则，
设，
则，
所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，
综上可得，，所以实数的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20
命题人：黄文辉 审题人 陈朝阳､黄爱民
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.
【详解】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，
故.
故选:B.
2. 已知，若为纯虚数，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z，根据z为纯虚数求出a的值，即可求得答案.
【详解】由题意得，
因为为纯虚数，所以，
故，所以，故，
故选：B．
3. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ）
A B. C. 0.8D. 0.96
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
所以该数据的残差为.
故选：C.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中的系数.
【详解】展开式通项为，
则的展开式中含项为，
即的系数为.
故选：A.
6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.
【详解】设线段、、、中点分别为、、、，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，
则，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，
则，则，
所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为.
故选：D.
7. 学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解
【详解】记“选派人中至少有名男老师”为事件，“选派人中有名女老师”为事件，
则，，
显然，所以.
故选：B.
8. 已知对任意实数都有，若不等式，（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，求导利用已知条件，得出，求导，得出函数的单调性，令，利用过定点以及函数的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.
【详解】令
，即，(为常数)
则
因为，所以，即
，
在区间 上单调递减，在区间上单调递增
令，由于过定点，则函数和图像如下图所示
要使得的解集中恰有两个整数，则有
解得：
故选C
【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出过定点，结合函数的图像，数形结合来分析问题，属于难题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用对数函数单调性判断B；利用不等式性质判断C；利用基本不等式判断D.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，由，得，B正确；
对于C，由，得，则，C正确；
对于D，由，，得，，D正确.
故选：BCD
10. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则中点到轴的距离为4
B. 弦的中点的轨迹为抛物线
C. 若，则直线的斜率
D. 的最小值等于9
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A，设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹判断B，结合向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C，由题可得，然后根据基本不等式求解判断D.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，
对于A，依题意，，解得，
线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误；
对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：，
由消去x得，，
则，，，
设线段中点坐标为，则，消去可得，
因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确；
对于C，显然，由，得，，
由选项B知，有，又，则，，
因此直线的斜率，C正确；
对于D，由选项B知，，
则，
因此，
当且仅当，即时取得等号，D正确.
故选：BCD
11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为，则为定值2
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到三点共线，得到平面，故点为平面的距离为定值，四面体的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，表达出，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出，，得到，画出图形，数形结合得到其最小值.
【详解】A选项，在上分别取，使得，，
因为，所以，
因为，所以，即，
故，即，
所以三点共线，
因为，，所以，
故平面，故点为平面的距离为定值，
又为定值，故四面体的体积为定值，A正确；
B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥，
又题意得，
则，B错误；
C选项，取的中点，因为底面为菱形，，
故⊥，
以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，设，
则，
化简得，
点满足，
即点在正方形内，包括边界，
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，
如图所示：
因为，，故，
故为等腰直角三角形，，
故点的轨迹长度为，C正确；
D选项，若且，，
即，即，
又，，设，
设，即，
解得，即，
，
如图所示，
设，且⊥，⊥，
在线段上取一点，设，则，
故，
显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为，
由勾股定理得，
故的最小值为，
D正确.
故选：ACD
【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12. 已知向量.若，则实数的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算即可.
【详解】因为，
所以.
又，
所以，解得.
故答案为：.
13. 若，，则tanα＝__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得，再由同角关系式求得，．
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
解得，
所以，
所以．
故答案为：．
14. 已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】由条件求，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.
【详解】解：如图，
根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）过作，交线段于，且，求角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；
（2）根据平面向量基本定理可得，再根据数量积为0求解得即可.
【小问1详解】
由正弦定理得：．
∵，∴，
∴
∴，
又，∴，又为三角形内角，∴．
【小问2详解】
因为在边上，且，所以．
因为，所以，
所以．
在中，，，∴．
16. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
取得中点，连接，
，，，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，；
【小问2详解】
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,如图，
则，
∴，
设为平面CMN的一个法向量，则，
取，则，故，
又为平面的一个法向量，
，，
故二面角的正弦值为.
17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分
（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜概率均为.
①记小李以3：1取胜的概率为.若当时，取最大值.求的值；
②若以①中的值作为的值，这轮比赛小李所得积分为，求分布列及均值，
【答案】（1）
（2）①；②分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由题可得，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望.
【小问1详解】
比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是
；
【小问2详解】
①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的最大值点；
②的可能取值为，
，
，
，
.
所以的分布列为
的期望为
.
18. 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，；②
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；
（2）①求出直线DN与EM方程，得到Q点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为.
【小问2详解】
①依题意，设直线DE方程为.
联立，得，
易知
设，，则，.
因为轴，轴，
所以，.
所以直线DN：，
直线EM：，
联立解得.
从而点Q在定直线上.
②因为，
又，则，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.
19. 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
（1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
（2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
（3）已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）既不充分也不必要条件；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；
（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，得到，进而得出结论；
（3）①由题意得到，求得；②由题意求得且，令，求得，得到存在使得，进而得到单调性，分类讨论，即可求解.
小问1详解】
解：对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，
所以函数为“同定义域函数”，此时，，
由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，
对于函数，则，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
【小问2详解】
解：若成立，，则，
设，则，所以为“单向导函数”，
又设，则，所以为“双向导函数”，
但不是常值函数，所以不是的必要条件；
若成立，则，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.
【小问3详解】
解：①由题意，，且，
所以，所以；
②由题意，所以且，
令，
可得，且，
因为为单调递增函数，且，
所以存在使得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
（i）当时，即，
所以，
此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以；
（iii）当且时，，
所以函数在上存在两个极值点，
若，即时，极大值点为；
若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，
由当时，，
令，则，
设，
则，
所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，
综上可得，，所以实数的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．色差x
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