高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示复习练习题

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1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为eq \f(a,|a|).
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
考点一 平面向量的有关概念(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．
核心素养：数学抽象
1．给出下列命题：
①向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C．对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C．
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C．因为向量eq \f(a,|a|)的方向与向量a相同，向量eq \f(b,|b|)的方向与向量b相同，且eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，
所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．
当a＝2b时，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)，故a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件．
3．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为________．
解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．
答案：①②
考点二 平面向量的线性运算(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．
(2)掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义．
核心素养：数学运算
(1)(一题多解)在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b C．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
(2)在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，点E是线段eq \(BC,\s\up6(→))的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＝________，μ＝________．
【解析】 (1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，
则四边形AEDF为平行四边形，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A．
优解一：eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A．
优解二：由eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，得eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A．
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD．
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FC,\s\up6(→))－eq \(FB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(3,4)，μ＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)A (2)eq \f(3,4) eq \f(1,2)
考点三 平面向量共线定理的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意义．
核心素养：逻辑推理
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】 (1)证明：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
课堂跟踪练习 一
1．下列四个结论：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝0； ③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝0；④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝0.
其中一定正确的结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C．①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，①正确；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，②错；
③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0，③正确；④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝0，④正确．
故①③④正确．
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
解析：因为D为边BC的中点，所以eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，又eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝－2eq \(PD,\s\up6(→))，所以λ＝－2.
答案：－2
3．已知向量a与b不共线，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0 C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
解析：选D．由eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λn，,m＝λ，))所以mn－1＝0.
4.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AK,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＝________．
解析：因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→)).由向量加法的平行四边形法则可知，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AK,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝λ(eq \f(5,2)eq \(AE,\s\up6(→))＋2eq \(AF,\s\up6(→)))＝eq \f(5,2)λeq \(AE,\s\up6(→))＋2λeq \(AF,\s\up6(→))，由E，F，K三点共线，可得λ＝eq \f(2,9).
答案：eq \f(2,9)
平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒] 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
2．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
考点一 平面向量基本定理的应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解平面向量的基本定理及其意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B．eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________．
【解析】 (1)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.
(2)由题图可设eq \(CG,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))(x＞0)，则eq \(CG,\s\up6(→))＝x(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝x(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \f(x,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋xeq \(CB,\s\up6(→)).因为eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))不共线，所以λ＝eq \f(x,2)，μ＝x，所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)C (2)eq \f(1,2)
考点二 平面向量的坐标运算(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．
核心素养：数学运算
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，因为eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
所以eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
所以eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
考点三 平面向量共线的坐标表示(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
核心素养：数学运算
角度一 利用向量共线求向量或点的坐标
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
【解析】 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq \(DC,\s\up6(→))＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2，4)．
【答案】 (2，4)
角度二 利用两向量共线求参数
已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
【答案】 A
课堂跟踪练习 二
1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝eq \f(1,3)AB，BQ＝eq \f(1,3)BC，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b B．－eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b C．eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b D．－eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b
解析：选A．由题意知eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A．
2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解：(1)因为eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，所以r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，又因为eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋(m＋1)eq \(OA,\s\up6(→))，
依题意eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共线，所以m＋1＝0，解得m＝－1.
3．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0)
解析：选A．3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A．
4．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，则向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标是________．
解析：由点C是线段AB上一点，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，得eq \(BC,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→)).设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标是(4，7)．
答案：(4，7)
3．如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________．
解析：以e1的起点为原点建立平面直角坐标系，
则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝－3，,y＝1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))即a＝－2e1＋e2.
答案：－2e1＋e2
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．
解析：因为a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，m－1)．
因为(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，所以2－(－1)·(m－1)＝0.所以m＝－1.
答案：－1
5．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)法一：因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝eq \f(3,2).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A、B、C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)).所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝eq \f(3,2).
基础巩固练习
1．(多选)下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
解析：选BC．A不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确，由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且方向相同，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，因此eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).故“eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．
C正确，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确，当b＝0时不成立．
2．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A．－2 B．－4 C．－3 D．－1
解析：选D．因为a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝eq \f(1,2)b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D．
3．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C．结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
4．设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．－3 D．3
解析：选B．法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－eq \f(1,3).故选B．
法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，故由a与b共线可得，eq \f(1,－3)＝eq \f(－λ,－1)，解得λ＝－eq \f(1,3).故选B．
5．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若点E满足eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，则点E的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
解析：选A．易知eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，
则3eq \(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).
6．已知平面内一点P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
解析：选C．由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，即eq \(PC,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→))，故点P在线段AC上．
7．已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．－eq \r(2) D．eq \r(2)
解析：选A．eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝AB－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝1，μ＝－eq \f(1,2)，因此eq \f(λ,μ)＝－2.
8．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，eq \(QR,\s\up6(→))＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6) C．eq \f(7π,6) D．eq \f(11π,6)
解析：选CD．因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即eq \(QR,\s\up6(→))≠0，因为P，Q，R三点共线，所以eq \(PQ,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))共线，所以存在实数λ，使eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(QR,\s\up6(→))，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝2λ，,sin α＝－λ，))解得sin α＝－eq \f(1,2).
又α∈(0，2π)，故α可为eq \f(7π,6)或eq \f(11π,6).
9．已知平面内四点A，B，C，D，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ的值为________．
解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有eq \f(1,3)＋λ＝1，λ＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
10．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的取值范围是________．
解析：eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，当eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))同向时，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；当eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))反向时，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13；
当eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线时，3