苏科版八年级下册10.5 分式方程巩固练习

这是一份苏科版八年级下册10.5 分式方程巩固练习，文件包含专题103分式方程十大题型举一反三苏科版原卷版docx、专题103分式方程十大题型举一反三苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc654" 【题型1 解分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc654 \h 1
\l "_Tc4759" 【题型2 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc4759 \h 2
\l "_Tc28244" 【题型3 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Tc28244 \h 3
\l "_Tc2691" 【题型4 根据分式方程的解求值】 PAGEREF _Tc2691 \h 4
\l "_Tc28399" 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】 PAGEREF _Tc28399 \h 4
\l "_Tc308" 【题型6 已知分式方程有增根求参数】 PAGEREF _Tc308 \h 5
\l "_Tc3194" 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】 PAGEREF _Tc3194 \h 5
\l "_Tc25173" 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】 PAGEREF _Tc25173 \h 6
\l "_Tc32752" 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】 PAGEREF _Tc32752 \h 6
\l "_Tc30474" 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】 PAGEREF _Tc30474 \h 8
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型1 解分式方程的一般方法】
【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x−2+3=4x−2的解是_________.
【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
(1)2xx+2−xx−1=1；
(2)1x+3−23−x=12x2−9．
【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式x−8x−7与分式17−x互为相反数．
【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
【知识点2 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型2 换元法解分式方程】
【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，
∴当y＝2时，x−1x=2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13．
经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程x−1x+xx−1=52中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1＝0．
【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y−1=0B．3y2−3y−1=0
C．3y2−y+1=0D．3y2−y−1=0
【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果16x2−8x+1=0，那么4x的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．4
【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组：1x+12x−y=3 3x−12x−y=1 ．
【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：
11×2=11–12；12×3=12–13；13×4=13–14；……
解答下面的问题：
(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)写成上面式子形式；
(2)说明你（1）中式子的正确性；
(3)直接写出11×2+12×3+13×4+ … +12021×2022的结果；
(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+1(2n−1)(2n+1)=n+1002n+202．
【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,14×5=14−15，…，回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+…+1(x+99)×(x+100)＝1x+100，则x的值为 _____．
【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：
16=12×3=12−13,112=13×4=13−14,120=14×5=14−
(1)由此可推断：142=___；
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；
(3)仿照以上方法解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1
【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：
16=12×3=12−13
112=13×4=13−14
120=14×5=14−15
……
(1)填空：142＝ ＝ ；
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+9)(x+10)=1(x+10)．
【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型4 根据分式方程的解求值】
【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axa−x=83的解为x=1，则a等于（ ）
A．−1B．1C．4D．8
【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x−1=x+axx−1的增根是x=1，则字母a的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式4-2】（2022·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，则m的值为________．
【变式4-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=−1，则2a−3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】
【例5】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程1−axx−2+2=12−x有解，则a的取值范围是________．
【变式5-1】（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程1x−2+x+mx2−4=3x+2无解，则m的值为( )
A．-6B．-10C．0或-6D．-6或-10
【变式5-2】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx−2+2m2−x=3m无解，则m的值是（ ）
A．1或13B．1或3C．13D．1
【变式5-3】（2022·重庆·二模）若关于x的不等式组2x−m≥−132(x+23)+12≤9有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程my−4y−2=2−3y−22−y有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7B．10C．13D．21
【知识点5 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型6 已知分式方程有增根求参数】
【例6】（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x−42x−4=2x+k3x−6有增根，则k是 _______________．
【变式6-1】（2022·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2−xx−3=a3−x−2时会产生增根，则a的值是__________．
【变式6-2】（2022·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1−kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值是（ ）
A．2B．1C．k≠2且k≠−2D．无法确定
【变式6-3】（2022·全国·八年级）若关于x的方程mx2−9+2x+3=1x−3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【题型7 已知分式方程有整数解求参数】
【例7】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x3−4＜−2x+332x+a−2≥51−2x，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程ay+2=2y−1y+2+1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−2B．3C．5D．10
【变式7-1】（2022·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程8−ax2−x﹣2＝xx−2有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7B．11C．12D．13
【变式7-2】（2022·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3≥x+131−3(x−1)＜14+2x有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程3y+153−y+2ayy−3=2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．4B．8C．11D．15
【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{x−3(x−2)>−2a+x2A．0B．1C．2D．5
【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】
【例8】（2022·重庆一中九年级阶段练习）若关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，且关于y的方程2ay−3=4−y−a3−y的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣3D．﹣1
【变式8-1】（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则m的取值范围为______．
【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，则k的取值范围为_____________．
【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】
【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2x＝3可转化为x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+6x＝5可转化为x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+12x＝7可转化为x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx−3＝2n+4的解为_____．
【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程
①1x+1=2x+1−1的解是x=0；
②2x+1=4x+1−1的解是x=1；
③3x+1=6x+1−1的解是x= ；
④4x+1=8x+1−1的解是x= ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．
【变式9-2】（2022·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：
方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x=1，
方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x=2，
方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x=3，
(1)请直接写出方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为________；
(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为−5的分式方程：________；
(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．
【变式9-3】（2022·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程x+1x=2+12的解为x1＝2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1＝3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1＝4，x2=14；…
(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+1x−3=a+1a−3；
(3)实践运用：对关于x的方程x−1x=m−1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2= ，请利用上面的规律，求关于x的方程x2−x−1x−1=m−1m−1的解．
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；
（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．
【变式10-1】（2022·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝1b−1a，若2⊕2x−1＝0，则x的值为（ ）
A．56B．54C．32D．−16
【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝1a−a−ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝12−2−12＝0.
(1)求5*4的值；
(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．
【变式10-3】（2022·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程3−21−x=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.