数学八年级下册12.1 二次根式课后作业题

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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
号：20699741．（2022春•铜梁区期末）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．18aB．a2+4C．2a3D．13
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝32a，不符合题意；
B、原式为最简二次根式，符合题意；
C、原式＝a2a，不符合题意；
D、原式=33，不符合题意．
故选：B．
2．（2022春•高青县期末）若y=x−2+4−2x−3，则（x+y）2022等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题．
【解答】解：∵y=x−2+4−2x−3，
∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x＝2．
∴y=x−2+4−2x−3=0+0﹣3＝﹣3．
∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：A．
3．（2022春•河西区期中）已知96n是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．96B．6C．24D．2
【分析】根据96＝42×6n，若96n是整数，则96n一定是一个完全平方数，即可求解．
【解答】解：96＝42×6n，则96n是整数，
则正整数n的最小值6．
故选：B．
4．（2022春•饶平县校级期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
3，m，x2+1，34，−m2−1，a3（a≥0），2a+1（a＜12）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：3一定是二次根式；
当m＜0时，m不是二次根式；
对于任意的数x，x2+1＞0，则x2+1一定是二次根式；
34是三次方根，不是二次根式；
﹣m2﹣1＜0，则−m2−1不是二次根式；
a3是二次根式；
当a＜12时，2a+1可能小于0，不是二次根式．
故选：A．
5．（2022春•麻城市期中）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则yx+xy的值是（ ）
A．−52B．52C．±52D．254
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴x、y同号，并且x、y都是负数，
解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，
当x＝﹣1，y＝﹣4时，yx+xy=−4−1+−1−4
＝2+12
=52；
当x＝﹣4，y＝﹣1时，yx+xy=−1−4+−4−1
=12+2
=52，
则yx+xy的值是52，
故选：B．
6．（2022春•沙坪坝区校级月考）已知方程x+3y=300，则此方程的正整数解的组数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先把300化为最简二次根式，由x+3y=300可知x，y化为最简根式应与3为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．
【解答】解：∵300=103，x，y为正整数，
∴x，y化为最简根式应与3为同类根式，只能有以下三种情况：
x+3y=3+93=43+63=73+33=103．
∴x1=3y1=27，x2=48y2=12，x3=147y3=3，共有三组解．
故选：C．
7．（2022春•沙坪坝区校级月考）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．0.49与30.7B．5x2y与15xy2
C．x−y与x+yx2−y2D．yxx3y5与xyxy2
【分析】把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断．
【解答】解：A、0.49=0.7，不是二次根式，本项错误；
B、5x2y=x5y，15xy2=y55x，不是同类二次根式，本项错误；
C、x+yx2−y2=1x−yx−y与x−y是同类二次根式，本项正确；
D、yxx3y5=y3xy，xyxy2=xx不是同类二次根式，本项错误，
故选：C．
8．（2022春•内黄县校级月考）如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（4﹣23）cm2B．（83−4）cm2C．（83−12）cm2D．8cm2
【分析】欲求S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，故HC＝4cm，LM＝LF＝23cm，进而解决此题．
【解答】解：如图．
由题意知：S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，
∴HC＝4cm，LM＝LF＝23cm．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（4﹣23）×23
＝（83−12）（cm2）．
故选：C．
9．（2022春•沙坪坝区校级月考）二次根式除法可以这样解：如2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（ ）
①若a是2的小数部分，则3a的值为2+1；
②比较两个二次根式的大小16−2＞15−3；
③计算23+3+253+35+275+57+⋯+29997+9799=1−33；
④对于式子15−2，对它的分子分母同时乘以5−2或5或7﹣210，均不能对其分母有理化；
⑤设实数x，y满足（x+x2+2022）（y+y2+2022）＝2022，则（x+y）2+2022＝2022；
⑥若x=n+1−nn+1+n，y=1x，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n＝2．
A．①④⑤B．②③④C．②④⑤⑥D．②④⑥
【分析】①a=2−1，把3a直接分母有理化即可判断；
②把16−2和15−3分别分母有理化比较大小即可；
③把23+3+253+35+275+57+⋯+29997+9799的各项先分母有理化，再裂成两项计算即可；
④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断；
⑤先化简成x+x2+2022=y2=2022−y和y+y2+2022=x2+2022−x两个式子，把两个式子相加即可求出x+y＝0，再判断即可；
⑥分别把x和y分母有理化，求出x+y和xy的值，代入19x2+123+19y2＝1985，求出x2+y2＝98，再求出x+y的值即可．
【解答】解：①若a是2的小数部分，则3a=32−1=3(2+1)(2−1)(2+1)=32+3，
故①错误，不符合题意；
②∵16−2=6+2(6−2)(6+2)=6+22，15−3=5+32，6+2＞5+3，
∴16−2＞15−3，
故②正确，符合题意；
③23+3+253+35+275+57+⋯+29997+9799
=3−33+53−3515+75−5735+...+9997−97999603
＝1−33+33−55+55−77+...+9797−9999
＝1−9999
＝1−1133，
故③错误；
④15−2=5−2(5−2)(5−2)=5−27−210，
15−2=5(5−2)×5=55−10，
15−2=7−210(5−2)(7−210)=7−210155−172，
∴均不能对其分母有理化，
故④正确；
⑤∵（x+x2+2022）（y+y2+2022）＝2022，
∴（x+x2+2022）=2022y+y2+2022，
∴x+x2+2022=y2+2022−y，
同理y+y2+2022=x2+2022−x，
两式相加得，x+y＝0，
∴（x+y）2+2022＝2022，
故⑤正确；
⑥x=n+1−nn+1+n=(n+1−n)2(n+1+n)(n+1−n)=2n+1﹣2n(n+1)，
y=1x=n+1+nn+1−n=2n+1+2n(n+1)，
∴x+y＝4n+2，xy＝1，x＞0，y＞0，
∴19x2+123+19y2＝1985，
∴x2+y2＝98，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝100，
∴x+y＝10，
∴n＝2，
故⑥正确；
故选：C．
10．（2022•鄞州区校级自主招生）设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172，则S最接近的整数是（ ）
A．2015B．2016C．2017D．2018
【分析】先对通式进行化简，然后将S的各项代入计算即可．
【解答】解：∵1+1n2+1(n+1)2
=n2(n+1)2+n2+(n+1)2[n(n+1)]2
=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1[n(n+1)]2
=(n2+n+1)2[n(n+1)]2
=n2+n+1n(n+1)
＝1+1n(n+1)
＝1+1n−1n+1，
S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172
＝（1+1−12）+（1+12−13）+…+（1+12016−12017）
＝2016+（1−12+12−13+13−14+⋯+12016−12017
＝2017−12017，
所以S最接近的整数是2017，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2022•合肥模拟）使代数式x−2x有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，x≥2．
故答案为：x≥2．
12．（2022秋•平昌县月考）化简：﹣a−1a化成最简二次根式为 −a ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意a＜0，
﹣a−1a=(−a)2×(1−a)=−a，
故答案为：−a．
13．（2022春•玉林期中）若a=−1+1−4t2，b=−1−1−4t2，则aba+b= ﹣t ．（结果用含t的式子表示）
【分析】先根据二次根式的加法和二次根式的乘法法则求出a+b和ab的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵a=−1+1−4t2，b=−1−1−4t2，
∴a+b=−1+1−4t2+−1−1−4t2=−1，
ab=−1+1−4t2×−1−1−4t2
=12−(1−4t)24=t，
∴aba+b=t−1
＝﹣t，
故答案为：﹣t．
14．（2022春•苏州期末）像（5+2）（5−2）＝3、a•a=a（a≥0）、（b+1）（b−1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出3−2的一个有理化因式 3+2 ．
【分析】根据题意可以解答本题．
【解答】解：∵(3−2)(3+2)=1，
∴3+2是3−2的一个有理化因式．
故答案为：3+2（答案不唯一）．
15．（2022春•沙坪坝区校级月考）实数a、b满足a2−4a+4+36−12a+a2=10−|b+4|−|b−2|，则a2+b2的最大值为 52 ．
【分析】根据a2=|a|化简变形得：|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，a到2和6的距离之和＝4，b到﹣4和2的距离之和是6，得到2≤a≤6，﹣4≤b≤2，根据|a|最大为6，|b|最大为4即可得出答案．
【解答】解：原式变形为(a−2)2+(a−6)2+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∴a到2和6的距离之和是4，b到﹣4和2的距离之和是6，
∴2≤a≤6，﹣4≤b≤2，
∴|a|最大为6，|b|最大为4，
∴a2+b2＝62+（﹣4）2＝36+16＝52．
故答案为：52．
16．（2022秋•闵行区校级期中）已知x=n+1−nn+1+n，y=n+1+nn+1−n，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 2 ．
【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解．
【解答】解：∵x=n+1−nn+1+n=(n+1−n)2(n+1+n)(n+1−n)=（n+1−n）2＝2n+1﹣2n(n+1)，
y=n+1+nn+1−n，(n+1+n)2(n+1−n)(n+1+n)=（n+1+n）2＝2n+1+2n(n+1)，
∴x+y＝4n+2，xy＝1，
将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，
化简得x2+y2＝98，
（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（2022春•亭湖区校级月考）计算：
（1）3×6÷8；
（2）35+212−20+1432；
（3）ab2÷ba×a3b；（其中a＞0，b＞0）
（4）（3+5）2+（3−1）（3+1）．
【分析】（1）先算乘法，再算除法即可；
（2）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（3）根据二次根式的乘除法可以解答本题；
（4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：（1）3×6÷8
＝32÷22
=32；
（2）35+212−20+1432
＝35+2−25+2
=5+22；
（3）ab2÷ba×a3b（其中a＞0，b＞0）
＝ba•ab•aab
＝aba3
＝a2ba；
（4）（3+5）2+（3−1）（3+1）
＝3+215+5+3﹣1
＝10+215．
18．（2022秋•管城区校级月考）如果13−7的整数部分是a，小数部分是b，求ab的值．
【分析】由13−7=3+72，可得整数部分是a＝2，小数部分是b=7−12，继而求得ab的值．
【解答】解：∵13−7=3+7(3−7)(3+7)=3+72，
∵2＜7＜3，
∴2＜3+72＜3，
∴a＝2，b=3+72−2=7−12，
∴ab=a÷b＝2÷7−12=47−1=27+23．
19．（2022•自流井区校级自主招生）已知a−1+|4﹣b|＝0，先化简，再求值．
（bab+b+aab−a）÷aba+b×a−ba+b．
【分析】首先把各个二次根式分母有理化，然后约分，最后求出a的值，代入即可．
【解答】解；（bab+b+aab−a）÷aba+b×a−ba+b
＝（bab+b+aab−a）×a+bab×a−ba+b，
＝（ab−ba−b−ab+aa−b）×a−bab，
=−a−bab，
∵a−1+|4﹣b|＝0，
∴a＝1，b＝4，
原式=−1−44=−54．
20．（2022春•闵行区校级期中）已知x=1a−a，求x+2+4x+x2x+2−4x+x2的值．
【分析】先将所求式子分母有理化，然后化简，再根据x=1a−a，可以用a的代数式表示x，再将关于x的式子代入化简后的式子，整理化简即可．
【解答】解：x+2+4x+x2x+2−4x+x2
=(x+2+4x+x2)(x+2+4x+x2)(x+2−4x+x2)(x+2+4x+x2)
=(x+2)2+2(x+2)4x+x2+4x+x2(x+2)2−(4x+x2)
=x2+4x+4+2(x+2)4x+x2+4x+x2x2+4x+4−4x−x2
=2x2+8x+4+2(x+2)4x+x24
=x2+4x+2+(x+2)4x+x22，
∵x=1a−a，
∴x=1a−2+a，
∴x+2=1a+a，x2+4x+2＝a2+1a2，x2+4x＝a2+1a2−2，
则原式=a2+1a2+(1a+a)a2+1a2−22
=a2+1a2+(1a+a)(1a−a)22
=a2+1a2+(1a+a)(1a−a)2
=a2+1a2+1a2−a22
=2a22
=1a2．
21．（2022秋•市中区校级期中）如图，正方形的面积为72厘米2，它的四个角是面积为8厘米2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的体积是多少？（结果保留根号）
【分析】由大正方形的面积和小正方形的面积分别求得其边长，再求得长方体的底边与高，然后按照长方体的体积公式计算即可．
【解答】解：∵大正方形的面积为72厘米2，
∴大正方形的边长为72=62（cm），
∵四个角是面积为8厘米2的小正方形，
∴小正方形的边长为8=22（cm），
∴这个长方体的底边长为：62−42=22（cm），高为22cm，
∴这个长方体的体积是：(22)2×22=162（cm3）．
22．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（2+1）（2−1）＝1，（3+2）（3−2）＝1，（4+3）（4−3）＝1…
（1）观察上面规律，计算下面的式子12+1+13+2+14+3+⋯+199+100
（2）利用上面的规律
比较11−10与12−11的大小．
【分析】（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；
（2）根据上面的规律可以比较11−10与12−11的大小．
【解答】解：（1）12+1+13+2+14+3+⋯+199+100
=(2−1)+(3−2)+(4−3)+⋯+（100−99）
=2−1+3−2+4−3+⋯+100−99
=100−1
＝10﹣1
＝9；
（2）∵11−10=(11−10)(11+10)11+10=111+10，
12−11=(12−11)(12+11)12+11=112+11，
又∵12+11＞11+10，
∴111+10＞112+11，
即11−10＞12−11．
23．（2022春•罗山县期末）先阅读下列解答过程，再解答．
形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，
即（a）2+（b）2＝m，ab=n，那么便有：
m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）．
例如：化简：7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，
即（4）2+（3）2＝7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
根据上述例题的方法化简：13−242．
【分析】首先确定m＝13，n＝42，然后确定两个数的和是13，积是42，然后根据例题即可解答．
【解答】解：∵m＝13，n＝42，
又∵6+7＝13，6×7＝42，
即（6）2＝6，（7）2＝7，6×7=42，
∴13−242=(6−7)2=7−6．