苏科版八年级下册第12章 二次根式12.1 二次根式当堂检测题

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1．已知x、y为实数，且y=x−2023+2023−x+1，则x+y的值是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出x的值，代入求得y的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：∵x−2023≥0，2023−x≥0，
∴x−2023=0，
∴x=2023，
∴y=1，
∴x+y=2023+1=2024，
故选：C．
2．已知x−11−7−x+x−92=3y−2，则2x−18y2的值为（ ）．
A．22B．20C．18D．16
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：解：∵x−11一定有意义，
∴x≥11，
∴x−11−7−x+x−92=3y−2，
x−11+7−x+x−9=3y−2，
整理得：x−11=3y，
∴x−11=9y2，
则2x−18y2=2x−2x−11=22．
故答案为：22．
3．已知﹣1＜a＜0，化简(a+1a)2−4+(a−1a)2+4的结果为___．
【分析】根据题意得到a−1a>0，a+1a<0，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可.
【详解】解：原式=a2+2+1a2−4+a2−2+1a2+4 =a2−2+1a2+a2+2+1a2=a−1a2+a+1a2
∵−1∴0∴a>1a， a2+1>0，
∴a−1a>0，a+1a=a2+1a<0，
原式=a−1a2+a+1a2=a−1a−a−1a=−2a
故答案为：−2a．
4．若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=2a+b−c+b−6，则c＝______．
【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．
【详解】解：根据题意，得a−199=0199−a=0，
解得a＝199，
则2a+b−c+b−6=0，
所以2×199+b−c=0b−6=0，
解得b=6c=404，
故答案为：404．
5．已知整数x，y满足xy+yx−2022x−2022y+2022xy=2022，则x−y−7的最小值为 _____．
【分析】原式可变形为xy(x+y)−2022(x+y)+2022xy−20222=0，然后因式分解为(x+y+2022)(xy−2022)=0，从而得到xy−2022=0，进而分析得出
x=337，y=6，则答案可得．
【详解】解：xy+yx−2022x−2022y+2022xy=2022，
变形为xy(x+y)−2022(x+y)+2022xy−20222=0，
∴(x+y+2022)(xy−2022)=0，
∴xy−2022=0，
∴xy=2022=2×3×337，
∵x，y均为整数，x−y−7>0，
∴x−y−7最小值时x=337，y=6，
∴x−y−7最小值为337−6−7=324=18．
故答案为：18．
6．已知实数x，y，m满足等式3x+5y−3−m +2x+3y−m2= x+y−2− 2−x−y，求m+4的值.
【分析】根据二次根式的性质，分别计算等式的左右两边，根据非负数之和为0，列三元一次方程组，进而求得m的值，再将m代入求解即可．
【详解】依题意得：x+y−2≥02−x−y≥0∴x+y=2∴3x+5y−3−m+(2x+3y−m)2=0
又∵3x+5y−3−m≥0，(2x+3y−m)2≥0
得3x+5y−3−m=02x+3y−m=0x+y=2
解得x=1，y=1，m=5，
∴m+4=5+4=3．
1．若A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120212+120222，则A=（ ）（其中A表示不超过A的最大整数）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【分析】根据1+1n2+1n+12=n+1n−1n+12，得出1+1n2+1n+12=n+1n−1n+1=1+1n−1n+1，将A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120212+120222进行变形为：
【详解】解：对于正整数n，有
1+1n2+1n+12=1+1n2−2n+1n+12=n+1n2−2n+1n+12=n+1n−1n+12，
∴1+1n2+1n+12=n+1n−1n+1=1+1n−1n+1，
∴A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+120212+120222
=1+11−12+1+12−13+1+13−14+⋅⋅⋅+1+12021−12022
=2022−12022，
因此，不超过A的最大整数为2021，故C正确．
故选：C．
2．已知T1=1+112+122=94=32，T2=1+122+132=4936=76，T3=1+132+142=13122=1312，…Tn=1+1n2+1n+12，其中n为正整数．设Sn=T1+T2+T3+⋯+Tn，则S2022值是（ ）
A．202220222023B．202320222023C．202212023D．202312022
【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
T1=1+112+122=32=1+(1−12)，
T2=1+122+132=76=1+(12−13)，
T3=1+132+142=1312=1+(13−14)，
……
Tn=1+1n2+1n+12=1+(1n−1n+1)，
∴S2022=T1+T2+T3+⋯+T2022
=1+(1−12)+1+(12−13)+1+(13−14)+⋅⋅⋅+1+(12022−12023)
=1×2022+(1−12+12−13+13−14+⋅⋅⋅+12022−12023)
=2022+(1−12023)
=202220222023．
故选：A．
3．将一组数据3，6，3，23，15，…，310，按下面的方法进行排列：3，6，3，23，15；
32，21，26，33，30；
⋯；
若23的位置记为1，4，26的位置记为2，3，则这组数中87的位置记为（ ）
A．6，4B．5，3C．5，2D．6，5
【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得87是第29个数，进而判断87是第6行的第4个数．
【详解】解：一组数据的排列变形为
3×1，3×2，3×3，3×4，3×5；
3×6，3×7，3×8，3×9，3×10；
⋯；
由题意可知，每行5个数，
∵87=3×29，
∴87是第29个数，
∵29÷5=5…4，
∴87是第6行的第4个数，
∴87的位置记为6，4，
故选：A．
4．观察下列各式：
1+112+122=1+11×2…………①
1+122+132=1+12×3…………②
1+132+142=1+13×4…………③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律1+1n2+1n+1)2=___________（n为正整数）；
(2)计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+120222+120232=___________；
(3)如果1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+1n−12+1n2=n−15，那么n=___________．
【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答；
（2）利用（1）的规律解答即可；
（3）利用（1）的规律解答即可．
【详解】（1）解：∵1+112+122=1+11×2，
1+122+132=1+12×3，
1+132+142=1+13×4，……
∴1+1n2+1n+1)2=1+1nn+1=n2+n+1nn+1．
故答案为：n2+n+1nn+1；
（2）解：原式=1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+12022×2023
=2022+1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023
=2022+20222023
=202220222023．
故答案为：202220222023；
（3）解：根据题意，得1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+1n−1n=n−15，
∴n−1+1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n=n−15，
∴n−1n=n−15，
∴n=5，
经检验得n=5是原方程的解．
故答案为：n=5．
5．观察下面的式子：S1=1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142…Sn=1+1n2+1(n+1)2
（1）计算：S1= ，S3= ；猜想Sn= （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=S1+S2+S3+…+Sn（用n的代数式表示）．
【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+112+…+1+1nn+1，求出答案即可．
【详解】（1）∵S1=1+112+122=94 ，∴S1=32；
∵S2=1+122+132=4936，∴S2=76；
∵S3=1+132+142=169144，∴S2=1312；
∵Sn=1+1n2+1n+12=n2+n+12n+12n2，∴Sn=nn+1+1n（n+1)；
（2）解：S=32+76+1312+…+nn+1+1nn+1
=1+12+1+16+1+112+…+1+1nn+1
=n+1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1
=n+1−1n+1
=n2+2nn+1
1．材料：如何将双重二次根式a±2b(a>0，b>0，a±2b>0)化简呢？如能找到两个数m，n(m>0,n>0)，使得(m)2+(n)2=a，即m+n=a，且使m⋅n=b，即m⋅n=b，那么a±2b=(m)2+(n)2±2m⋅n=(m±n)2 ∴ a±2b=|m±n|，双重二次根式得以化简．
例如化简：3±22，
因为3=1+2且2=1×2，
∴3±22=(1)2+(2)2±21×2∴3±22=|1±2|，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成a±2b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：5±26=___________，12±235=___________；
(2)化简：9±62；
(3)计算：3−5+2±3．
【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
（2）把62变形成218，仿照阅读材料的方法可得答案；
（3）将5变形成254，3变形成234，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
【详解】（1）解：5±26=(3±2)2=3±2，
12±235=(7±5)2=7±5，
故答案为：3±2，7±5；
（2）9±62=9±218=(6±3)2=6±3；
（3）3−5+2+3
=3−254+2+234
=(52−12)2+(32+12)2
=52−12+32+12
=10+62，
同理可得3−5+2−3=10+6−222．
2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：
若设a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若a+b7=m+n72，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=______，b=______；
(2)若a+63=m+n32，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简下列格式：
①5+26
②7−210
③4−10+25+4+10+25．
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3n2计算对应a的值；
（3）设4−10+25+4+10+25=t，两边平方得到t2=4−10+25+4 +10+25 +216−(10+25)，然后利用（1）中的结论化简得到t2=6+25，最后把6+25写成完全平方形式可得到t的值．
【详解】（1）设a+b7=m+n72=m2+7n2+2mn7（其中a、b、m、n均为整数），
则有a=m2+7n2，b=2mn；
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵6=2mn，
∴mn=3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=m2+3n2=12+3×32=28；
当m=3，n=1时，a=m2+3n2=32+3×12=12；
即a的值为12或28；
（3）①5+26=3+2+23×2=3+22=3+2
②7−210=5+2−25×2=5−22=5−2
③设4−10+25+4+10+25=t，
则t2=4−10+25+4 +10+25 +216−(10+25)
=8+26−25
=8+2(5−1)2
=8+25−1
=6+25
=5+12，
∴t=5+1．
3．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式5−26，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下
5−26=2−2×2×3+3
＝22−2×2×3+32
＝2−32
=2−3
=3−2
(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简4−23．
(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若a+2b= m+n2，则a+2b=(m+n)+2mn ，所以a=m+n,b=mn，若a+217= m+n2，且a，m，n为正整数，m>n；求a，m，n的值．
【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；
（2）先将m+n2展开，然后与a+217对边得到a=m+n、17=mn，再根据a，m，n为正整数，m>n确定m、n的值，进而求得a的值．
【详解】（1）解：4−23
=1−2×1×3+3
=（1）2−2×1×3+（3）2
=（1−3）2
=1−3
=3−1．
（2）解：∵a+217= (m+n)2=m+2mn+n
∴a=m+n，17=mn
∵a，m，n为正整数，m>n
∴m=17，n=1，a=m+n=17+1=18．
4．阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：(1)2+(2)2−2×1×2=(1−2)2=1−2=2−1
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．
如：x2+22x+3=x2+2·2·x+(2)2+1=(x+2)2+1
∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1，即x2+22x+3≥1
∴x2+22x+3的最小值为1
阅读上述材料解决下面问题：
（1）4−23= ，5+26= ；
（2）求x2+43x+11的最值；
（3）已知x=3−13−43，求−14(4+23)x2y2+(3+1)xy−5的最值．
【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；
（2）利用完全平方公式配方即可求解；
（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.
【详解】（1）4−23=(3−1)2=3−1=3−1，5+26=(3+2)2=3+2=3+2；
故答案为：3−1；3+2
（2）∵x2+43x+11=x2+43x+12−1=(x+23)2−1≥-1
∴x2+43x+11的最小值为-1；
（3）∵x=3−13−43=3−(23−1)2=3−(23−1)=4−23=3−1
∴−14(4+23)x2y2+(3+1)xy−5
=−14(4+23)(4−23)y2+(3+1)(3−1)y−5
=−y2+2y−5
=−(y−1)2−4≤-4
故−14(4+23)x2y2+(3+1)xy−5的最大值为-4.
5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=________，b=________；
(2)若7−43=e−f32，且e、f均为正整数，试化简：7−43；
(3)化简：7+21−80．
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；
（2）将7−43变为22−2×2×3+32即可求解；
（3）将7+21−80化为1+52进行求解即可．
【详解】（1）解：∵c+d32=c2+23cd+3d2=c2+3d2+23cd，
∴a=c2+3d2，b=2cd，
故答案为：c2+3d2，2cd；
（2）∵7−43=4−2×2×3+3=22−2×2×3+32=2−32，
∴7−43=2−32；
（3）7+21−80
=7+1−45+20=7+1−252
=7+25−1
=6+25
=1+25+5
=1+52
=1+5．
1．已知x(x−y)=3y(5y−x)，求2x−xy+3yx+xy−6y．
【分析】先根据所给的式子进行因式分解求出x=3y，然后代入所求式子进行求解即可．
【详解】解：∵x(x−y)=3y(5y−x)，
∴x2−xy=15y2−3xy，
∴x2+2xy−15y2=0，
∴x+5yx−3y=0，
∴x+5y=0或x−3y=0，
当x+5y=0时，可以得到x=y=0所求式子无意义，应该舍去，
∴x−3y=0，
∴x=3y，
∴x=9y
∴2x−xy+3yx+xy−6y=18y−3y+3y9y+3y−6y=3．
2．已知x=110−3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)值．
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；
（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．
【详解】（1）∵x=110−3=10+3，
y=110+3=10−3，
∴x+y=210，x−y=6，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(210)2=40．
（2）∵x=10+3，y=10−3，
∴x−2>0，y+1>0，
∴x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)
=x−2x(x−2)−y+1y(y+1)
=1x−1y
=110+3−110−3
=10−3−10−3
=−6．
3．已知a=3−13+1，b=3+13−1
（1）求a2−ab+b2的值；
（2）若a的小数部分为m，b的小数部分为n，求m+nm－n的值．
【分析】（1）利用二次根式的加法运算和乘法运算求得a+b和ab，对所求式子利用完全平方公式变形，进而整体代入求出即可；
（2）首先利用分母有理化法则求出a，b的值，根据1<3<2，可得m，n的值，进而代入求值即可．
【详解】（1）a+b=3−13+1+3+13−1=3−12+3+123+13−1=4−23+4+232=4，
ab=3−13+1⋅3+13−1=1，
a2−ab+b2
=a+b2−3ab
=42−3
=13；
（2）a=3−13+1=2−3，b=3+13−1=2+3，
∵1<3<2，−2<−3<−1，
∴2−2<2−3<2−1，2+1<2+3<2+2，
即0<2−3<1，3<2+3<4
∴2−3的整数部分是0，小数部分是2−3，即m=2−3，
2+3的整数部分是3，小数部分是3−1，即n=3−1，
∴m+nm−n
=2−3+3−12−3−3+1
=3−23．
4．已知x=3−12，y=3+12，m=1x−1y，n=yx+xy．
（1）求m,n的值；
（2）若a−b=n+2，ab=m，求a+b的值．
【分析】（1）由x和y的值求出xy，y－x和x2+y2，将m和n分别变形，从而求值；
（2）根据（1）中m和n的值，将a−b变形，求出a+b的值，再根据(a+b)2=a+b+2ab求出a+b的值.
【详解】解：（1）∵x=3−12，y=3+12
∴xy=322−122=12，y−x=1，
∴x2+y2=y−x2+2xy=2，
∴m=y−xxy=2，n=x2+y2xy=4；
（2）∵a−b=n+2=6，
∴a+b−2ab=36，
∵ab=m=2，
∴a+b−4=36，即a+b=40，
∴(a+b)2=a+b+2ab=40+4=44，
又∵a+b>0，
∴a+b=211.
5．正数m,n满足m+4mn−2m−4n+4n=3，求m+2n−8m+2n+2002的值.
【分析】由已知m+4mn−2m−4n+4n=3可进行因式分解得m+2n−3m+2n+1=0，又m，n为正数，可得m+2n=3，整体代入要求式中即可解题.
【详解】原式可变形为m+4mn+4n−2m+4n−3=0
m+2n2−2m+2n+3=0
m+2n−3m+2n+1=0，
又∵ m，n为正数，
∴m+2n=3．
∴m+2n−8m+2n+2002=3−83+2002=−1401．
1．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如25，53，12+1的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
25=2×55×5=255；①
53=5×33×3=153；②
12+1=1×2−12+12−1=2−122−12=2−1；③
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，12+1还可以用以下的方法化简；
12+1=2−12+1=22−122+1=2+12−12+1=2−1；④
(1)请参照方法④化简：27+5；
(2)化简：56+32；
(3)化简：13+1+15+3+17+5⋅⋅⋅+12n+1+2n−1.（n为正整数）
【分析】（1）分子、分母都乘以7−5，进行化简即可；
（1）先化为最简二次根二次根式，再相加即可；
（3）先将各式分母有理化，再进一步计算即可．
【详解】（1）27+5
=27−57+57−5
=27−572−52
=27−57−5
=7−5；
（2）56+32
=5662+3×22×2
=566+62
=463
（3）原式=3−12+5−32+7−52+⋯+2n+1−2n−12
=2n+1−12.
2．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为a×a=a，2+12−1=1，所以a与a，2+1与2−1互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)3−2的有理化因式是________；化简：3+23−2=________；
(2)化简：13+1+15+3+17+5+⋯⋯+1289+287
(3)拓展应用：已知，a=2020−2019，b=2021−2020，c=2022−2021，
试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据题目中的例子分别确定它们有理化因式即可；
（2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可；
（3）先分别求出1a,1b,1c进行分母有理化，然后进行比较，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵3−23+2=−1
∴3−2的有理化因式是3+2；
∴3+23−2=3+23+23−23+2=7+433−4=7+43−1=−7−43．
故答案为3+2；−7−43．
（2）解：13+1+15+3+17+5+⋯⋯+1289+287
=3−12+5−32+7−52+⋯⋯+17−2872
=−12+172
=8．
（3）解：a>b>c，理由如下：
1a=12020−2019=2020+20192020−20192020+2019=2020+2019
1b=12021−2020=2021+20202021−20202021+2020=2021+2020
1c=12022−2021=2022−20212022−20212022+2021=2022+2021
∵1a<1b<1c
∴a>b>c．
3．先阅读下面的材料，再解答问题．
因为a+ba−b=a2−b2=a−b，
所以a−b=a+ba−b．
特别地，14+1314−13=1，
所以114−13=14+13．
当然，也可以利用14−13=1，得1=14−13，
所以114−13=14−1314−13142−13214−13，
=14+1314−1314−13，
=14+13，
这种变形也是将分母有理化．
利用上述的思路方法，计算：
(1)12+1+13+2+…+12023+20222023+1；
(2)34−13−613−7−23+7．
【分析】（1）根据题意，先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；
（2）根据题意，先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式=2−12+12−1+3−23+23−2+…+2023−20222023+20222023−20222023+1 =2−1+3−2+…+2023−20222023+1
=2−1+3−2+…+2023−20222023+1
=2023−12023+1
=2023−1
=2022；
（2）解：原式=34+134−134+13−613+713−713+7−23−73+73−7
=34+133−613+76−23−72
=4+13−13+7−3−7
=4+13−13−7−3+7
=1．
4．【材料阅读】
材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如23+1的式子，可以通过分母有理化进行化简或计算．如化简：23+1．具体方法如下：
方法一：23+1=23−13+13−1=3−1．
方法二：23+1=3−13+1=32−123+1=3−13+13+1=3−1．
材料二：我们在学习分式时知道，对于公式ba+ca=b+ca可以逆用．即：b+ca=ba+ca．
【问题解决】
（1）化简：310−7=______；
（2）计算：12+1−13+2+13+2−14+3+⋅⋅⋅+1100+99−1101+100；
（3）计算：12+2+132+23+143+34+⋅⋅⋅+12120+2021．
【分析】（1）将分式分母有理化，利用材料一的方法求解即可；
（2）先去括号，利用裂项相消法，只剩第一和最后一个式子，再利用材料一的方法分母有理化即可；
（3）先分母有理化，再根据材料二的方法，利用裂项相消法，即可求解．
【详解】解：（1）310−7=3(10+7)(10−7)(10+7)=10+7．
故答案为：10+7．
（2）12+1−13+2+13+2−14+3+⋅⋅⋅+1100+99−1101+100
= 12+1−13+2+13+2−14+3+⋅⋅⋅+1100+99−1101+100
=12+1−1101+100
=2−1+100−101
=9+2−101．
（3）12+2+132+23+143+34+⋅⋅⋅+12120+2021
=21−221+221−2+32−2332+2332−23+43−3443+3443−34+⋅⋅⋅ +2120−20212120+20212120−2021
=21−22+32−236+43−3412+⋅⋅⋅+2120−2021420
=1−22+22−33+33−44+⋅⋅⋅+2020−2121
=1−2121
5．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式13+2的运算时，通常有如下两种方法将其化简：
方法1：13+2=3−23+23−2=3−23−2=3−2（以上化简的步骤叫分母有理化）；
方法2：13+2=3−23+2=32−223+2=3+23−23+2=3−2．
请选用适当的方法，解答如下问题：
（1）化简：23+1+25+3+27+5+⋅⋅⋅+22019+2021．
（2）若a=15−4，b=16−5，c=17−6，请你根据以上方法直接写出a，b，c的大小关系．
（3）已知m为正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，且a2+b2+1968ab+2=2020，求m3+3m2−m−6的值．
【分析】（1）根据题中二次根式的运算进行化简，即可求解；
（2）根据题中二次根式的运算进行化简，即可比较大小；
（3）先将a,b化简，得到a+b=4m+2，ab=1,代入a2+b2+1968ab+2=2020，得到2m+12=13，再将m3+3m2−m−6变形即可化简求解．
【详解】（1）23+1+25+3+27+5+⋅⋅⋅+22019+2021
=23−13+13−1+2(5−3)(5+3)(5−3)+27−57+57−5+⋅⋅⋅ +22021−20192021+20192021−2019
=3−1+5−3+7−5+⋅⋅⋅2021−2019
=2021−1．
（2）a=15−4=5+4，b=16−5=6+5，c=17−6=7+6，
∴c>b>a．
（3）a=m+1−mm+1+m=m+1−mm+1−mm+1+mm+1−m=2m+1−2mm+1，
b=m+1+mm+1−m=m+1+mm+1+mm+1−mm+1+m=2m+1+2mm+1，
∴a+b=4m+2，
ab=2m+12−2mm2+12=4m2+4m+1−4m2+4m=1，
∴a2+b2+1968ab+2=2020，
a+b2+1966ab+2=2020
4m+22+1966+2=2020
4m+22=52
2m+12=13，
∴4m2+4m+1=13，
∴m2+m=3，
∴m2=3−m，m3=m2⋅m=3m−m2，
∴m3+3m2−m−6
=3m−m2+3m2−m−6
=2m2+2m−6
=2×3−m+2m−6
=6−2m+2m−6
=0．
6．我们将(a+b)、(a−b)称为一对“对偶式”，因为(a+b)(a−b)=(a)2−(b)2 =a−b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(a+b)和(a−b)中的“”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如13=33×3=33，2+22−2=(2+2)2(2+2)×(2−2)=3+ 22．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小17−2________16−3（用“>”、“<”或“=”填空）；
（2）已知x=5+25−2，y=5−25+2，求x2+y2的值；
（3）计算：23+3+253+35+275+57+……+29997+9799
【答案】（1）>；（2）x2+y2=322；（3）99−9999
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；
（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；
（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
【详解】（1）∵17−2＝7+2(7−2)(7+2)=7+23,16−3=6+3(6−3)(6+3)=6+33；
比较7+2与6+3
∵7＞6，2＞3，∴7+2＞6+3，∴17−2〉16−3．
（2）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（5+25−2+5−25+2 ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝322
答：x2+y2的值为322．
（3）23+3+253+35+275+57+……+29997+9799
＝2(3−3)(3+3)(3−3)+2(53−35)(53+35)(53−35)+2(75−57)(75+57)(75−57)+……+2(9997−9799)(9997+9799)(9997−9799)＝1﹣33+33﹣55+55﹣77+…+9797﹣9999
＝1﹣9999
＝99−9999