专题7.6 锐角三角函数章末九大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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\l "_Tc25597" 【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc25597 \h 1
\l "_Tc32654" 【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc32654 \h 2
\l "_Tc21021" 【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】 PAGEREF _Tc21021 \h 3
\l "_Tc17309" 【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】 PAGEREF _Tc17309 \h 4
\l "_Tc26825" 【题型5 解非直角三角形】 PAGEREF _Tc26825 \h 6
\l "_Tc11437" 【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】 PAGEREF _Tc11437 \h 7
\l "_Tc9593" 【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】 PAGEREF _Tc9593 \h 8
\l "_Tc4507" 【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】 PAGEREF _Tc4507 \h 9
\l "_Tc7632" 【题型9 构造直角三角形解决实际问题】 PAGEREF _Tc7632 \h 10
【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】
【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE=8，CE=2，则tan∠AEB的值为（ ）

A．375B．275C．335D．435
【变式1-1】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB，连接BC、DE交于点F，则cs∠BFE的值为 ．
【变式1-2】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若AGGE=73，则tanA= ．

【变式1-3】（2023春·江苏常州·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC边上的高，将△ABC绕点C旋转到△EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cs∠EAF= ．
【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】
【例2】（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点，如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，如果点P为直角△ABC的自相似点，那么tan∠ACP= ．
【变式2-1】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，连结AC，延长BC到点E，使CE=AC，过点E作AC的平行线与AD的延长线交于点F．

(1)求证：四边形ACEF是菱形；
(2)连结AE，若tan∠ACB=158，则tan∠AEF的值为________．
【变式2-2】（2023秋·上海黄浦·九年级统考期末）如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cs∠BAF= ．
【变式2-3】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O．点M是BC边的中点，连接AM、OM，作CF∥AM．已知OC平分∠BCF，OB平分∠AOM，若BD=32，则sin∠BAM的值为
【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】
【例3】（2023春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处，连接BF，且BE=EF，∠BEF的正弦值为2425，则ADAB的值为（ ）
A．23B．45C．35D．2425
【变式3-1】（2023·福建·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M、N分别在边AB、AD上（不与端点重合），且DM⊥CN于点P．若∠APD=135°，则cs∠MNP= ．
【变式3-2】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，csB=35，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C′，且使得B′恰好落在AB边上，A′B′与AC交于点D，则B′DCD的值为（ ）

A．25B．720C．310D．920
【变式3-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．25+34B．25+1C．25+32D．25＋2
【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】
【例4】（2023·广东惠州·校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．

(1)求证：AD=AF；
(2)若AOAF=23，求tan∠OAD的值．
【变式4-1】（2023·湖北武汉·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，PB交⊙O于D，点C是弧BD上一点，PC=PA．

(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若CD∥AB，求sin∠PCD的值．
【变式4-2】（2023·浙江杭州·校考三模）如图1，三角形ABC内接于圆O，点D在圆O上，连接AD和CD，CD交AB于点E，∠ADE+∠CAB=90°

(1)求证：AB是直径；
(2)如图2，点F在线段BE上，AC=AF，∠DCF=45°
①求证：DE=DA；
②若AB=kAD，用含k的表达式表示csB．
【变式4-3】（2023·广东湛江·统考二模）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；
(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB=26，求AE⋅AP的值．
【题型5 解非直角三角形】
【例5】（2023·天津河北·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，连接AC，点E在AC上，∠DEF=90°,EC平分∠DEF,AE= ．

【变式5-1】（2023春·九年级单元测试）在△ABC中，AB=2，AC=3，cs∠ACB=223，则∠ABC的大小为 度．
【变式5-2】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期末）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为255（即csC=255），则AC边上的中线长是 ．
【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知：在△ABC中，BA=BC，sin∠CAB=45，点E是AC的中点，F是直线BC上一点，连接EF，将△EFC沿着EF折叠，点C的对应点为D，连接AD．

(1)如图1，若点D在线段AB上，求证：EF∥AD；
(2)如图2，DF与AB交于点M，连接AF，若∠DAF=∠EAF，求证：点M是AB的中点；
(3)如图3，点F在CB延长线上，DF与AB交于点M，EF交AB于点N，若DE=EN=3，求MF·MA．
【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】
【例6】（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，sinA=1213,BC=13,CD=24，点E在边CD上，将△BCE沿直线BE翻折，点C落在点F处，且AF=BF，则CE的长为 ．
【变式6-1】（2023·上海·九年级期末）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B′处，线段B′D交边AB于点F，联结AB′，当△AB′F是直角三角形时，BE的长为 ．
【变式6-2】（2023春·浙江·九年级期末）如图，四边形ABCD，CEFG均为菱形，∠A=∠F，连结BE，EG，EG//BC，EB⊥BC，若sin∠EGD=13，菱形ABCD的周长为12，则菱形CEFG的周长为 ．
【变式6-3】（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠ACB，G是线段OD上一点，且∠DGC−∠DCG=90°，①当AC⊥BD时，OGGD的值为 ，②当tan∠CDB=24时，OGGD的值为 ．

【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】
【例7】（2023·江苏无锡·校联考一模）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=8，点E在BC上且CE=AE，则CE= ；若点F为平面内一点，且∠AFC=90°，连接EF，当tan∠CEF=2时，EF的值为 ．
【变式7-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠ABC，tan∠ADC=43，延长AB、DC交于点P，若CD=114，PB=3CD，则线段AD的长为 ．
【变式7-2】（2023春·江苏常州·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE=∠B，F是DE延长线上一点，连接FC，∠FCE=∠ACD．
(1)判断△CDF的形状，并说明理由；
(2)若AD=4，求EFDE的值；
(3)若sinB=35，BD=BE．
①求BDDE的值；
②求FC的长．
【变式7-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交BD于点E．

(1)求证：∠BAC=2∠D；
(2)若BC=AC，且cs∠BAC=35，求BEDE，
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F,BFDF=3，其中BEDE=12，连接AD、EC，求ABBC．
【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】
【例8】（2023·黑龙江绥化·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．

(1)求证：BC是圆O的切线；
(2)求证：AD2=AF⋅AB；
(3)若BE=16，sinB=513，求AD的长．
【变式8-1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）点D在以AB为直径的⊙O上，分别以AB，AD为边作平行四边形ABCD．
(1)如图（1），若∠C=45°，求证：CD与⊙O相切；
(2)如图（2），CD与⊙O交于点E，若csA=35，求DECE的值．
【变式8-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，D为BC延长线上一点，连接AD，∠DAC=∠B．

(1)求证：AD为⊙O的切线；
(2)若E为弧AB的中点，连接AE、CE，tan∠AEC=23，CE=10，求⊙O的半径．
【变式8-3】（2023·湖南长沙·校考一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，PD是⊙O的切线．

(1)求证：BE=CE；
(2)若BP=3，∠P=∠PDB，求图中阴影部分的周长；
(3)如图2，AM=BM，连接DM，交AB于点N，若tan∠DMB=12，求MN:MD的值．
【题型9 构造直角三角形解决实际问题】
【例9】（2023·浙江温州·校联考二模）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壶嘴EF=150cm，且CD∥AB，EF∥BC，DE=3AE，则sin∠FED= ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，FD∥l，则此时出水口F到桌面的距离为 cm．

【变式9-1】（2023春·浙江·九年级专题练习）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°．

(1)求BO的长．
(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43，sin64°≈0.90，cs64°≈0.44）
【变式9-2】（2023·浙江温州·统考二模）如图1是一款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮⊙O的直径为12cm，拖盘OE与后轮⊙O′相切于点N，手柄OF⊥OE．侧面为矩形ABCD的货物置于拖盘上，AB=20cm，BC=52cm．如图3所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点B旋转，点C落在OF上，若tan∠ABE=15，则OC的长为 cm，同一时刻，点C离地面高度ℎ=56cm，则点A离地面高度为 cm．

【变式9-3】（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄OA=5cm，BE是底座，OA与BE所成的夹角为36.8°，O点是把柄转轴所在的位咒，且O点到底座BE的距离OC=2cm．OD与一根套管相连，OD可绕O点转动，此时，OD∥BE，套管内含打孔针MN，打孔针的顶端M触及到OA，但与OA不相连，MN始终与BE垂直，且OM=1cm，MN=2cm．

(1)打孔针MN的针尖N离底座BE的距离是多少厘米?
(2)压下把柄OA，直到A点与B点重合，如图3，此时，M．D两点重合，把柄OA将压下打孔针MN并将它锲入放在底座BE上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针MN锲入底座BE有多少厘米？
（参考数据：sin36.8°≈35，cs36.8°≈45，tan36.8°≈34）