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人教版7 数学广角——植树问题教案
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这是一份人教版7 数学广角——植树问题教案，共7页。教案主要包含了温故引新，精准教学，练习巩固，全课小结等内容，欢迎下载使用。
教材解读
本节课是五年级“数学广角”的内容，是数学中一类很经典的问题。教材编排了三个例题，例1是小路种树（两端都栽），例2是两端都不栽，例3是圆形池塘周围栽树，其本质是只种一端。可以看出围绕植树问题的三种模型，教材采取的是小步子教学，3种类型3个课时，这样的编排有利于学生在单位时间里迅速、牢固的掌握某一种模型中棵树与段数之间的关系，而且难度逐步提升，符合知识的逻辑序。植树问题看似复杂，但究其本质都是除法包含除“一个数里面有几个几”的问题延伸，对此，我对教材进行结构化的整合，将例1和例2进行整合教学，通过把“点数与段数”的关系作为一种模型加以呈现，引导学生建构三种不同的数量关系，感受知识的生长，形成结构化的认识。
学情分析
对教学的班级43名学生进行了前测。四道前测题，包括有教材的例题1、例2、例3的改编题，涵盖了植树问题的三种模型，并进行数据分析，借助sl理论分析可得：学生整体上处于水平1和水平2的阶段，可见学生对于植树问题是有着一定的经验和基础的。但分析学生的错误算式发现，很多学生不管题目变化一律采取“段数＋1”的方法解决，存在盲目的公式套用，此外，学生信息读取、分析问题的能力的能力也有待加强，看到两端种加＋2，两端不种就－2等。
教学目标与重难点
教学目标：
1. 经历观察、猜测、对比、推理、归纳等活动，基于“点与段”的理解建立“植树问题”与除法“包含除”问题的联系。
2. 借助实物图、线段图等多元表征的方式，沟通图、算式和意义的三维联系,借助一一对应的思想建立并体会“植树问题”的模型内涵,感悟“化归”、“数形结合”等数学思想。
3. 在真实情境中应用“植树问题”模型来解决实际问题，提高解决问题的能力，发展推理意识和应用意识。
教学重点：分析植树问题三种类型中点与段的关系，建立模型
教学难点：正确运用植树问题的模型解决实际问题
教学过程
一、温故引新、引发思考
（一）复习旧知
1. 学校要进行跳大绳比赛，一根20米的长绳，每5米分1段，可以分几段？
2. 你们是怎么算的呢？为什么用除法解决？
3. 这道题其实是求20里面有几个5，二年级我们学过像这样的平均分问题要用除法来解决。
（二）引发思考
1. 20米的路，每隔5米栽一棵树，一共要栽多少棵树？
2. 学生画出示意图，要求简单清楚，再列式计算。
【设计意图】基于学生已有的用除法解决问题的经验设计了2个平均分的问题,让植树问题回归除法意义的本源,帮助学生初步感受植树问题和用除法解决问题之间的关联,关注知识之间的纵向联系,为后续建立模型做好铺垫。
二、精准教学、感悟模型
（一）两端都种
1. 学生介绍两端都种的植树情况，学生根据汇报进行提问。
2. 问题1:这道题为什么也用除法？
问题2:20÷5=4,4表示什么?
问题3:4表示4个间隔,4个间隔加上1后,为什么会变成5棵树呢?
3. 1个间隔，就对应着后面的这1棵树。间隔和树是一一对应的，所以4+1里的4已经是和4个间隔一一对应的4棵树。你找到加上的这一棵树在哪里吗？
4.仔细看，这两道题，有什么相同点和不同点？
相同：都是平均分，图一样，都是4段！
不同点：一个是在求有几段，是段数，一个是在求点数！
5. 小结：当两端都种的时候，棵数＝段数＋1。
（二）一端不种
1. 有些方案是4棵树，想一想他是怎么种的？生活中什么情况会这样种树呢？
2. 这时候算式怎么列呢？（出示算式：20÷5=4）这个4代表什么？
3. 小结：当只种一端的时候，树和段刚好一一对应，棵数＝段数。
（三）两段都不种
1. 那3棵树是什么情况呢？生活中有没有这样的可能呢？
2. 这时候棵树和段数有什么关系呢？这个—1对应图中的哪里呢？
3. 小结：当两端都不种的时候，棵数＝段数－1。
（四）建立模型
1．看来这个问题存在三种不同的情况，仔细看，这三种情况下什么变了，什么始终不变？
2．如果数量变多呢？这个关系还成立吗？你发现了什么？
（1）当两端都种时,段数+1=点数；点比一一对应多1。如果用a代表总长度，b代表每一段的间隔长度，n代表点数，你会算点数吗？
（2）当两端都不种时,段数-1=点数;
（3）当只种一端时,段数=点数。
3. 小结：无论是哪一种情况，关键要先求出段数，根据实际情况再来对点数进行调整。
4.同学们你觉得植树问题是新知识还是旧知识？原来我们之前学的平均分成多少份是在求段数！而今天学的植树问题是在求点数！
【设计意图】这个环节其实整合了教材的2个例题，教材的编排步调比较小，将植树问题分为“两端都要栽”“一端栽、一端不栽”“两端都不栽”“封闭图形情况”“方阵问题”几个层次,编排多个例题，看似不同，但其中蕴含的棵数和段数之间的一一对应关系本质是不变的,所运用的探究方法也是不变的。对此本课将线段型植树问题的三种情况整合到一节课进行教学,紧紧围绕“点与段”之间的关系展开，每一个模型的建立都围绕一个核心问题，每一个核心问题都驱动学生深度思考,核心素养也在解决问题的过程中得以生长。
三、练习巩固、运用模型
（一）寻找生活中的植树问题
1. 同学们，现在你们觉得你们学会植树问题了吗？植树问题是不是植树的问题呢？植树问题有没有不植树的问题呢？
2.想一想生活中哪些问题也属于植树问题？
3.出示排队、楼层、路灯等图片，学生说出对应的“点”是什么，“段”是什么。
（二）对比练习、突破难点
1.学生独立思考，完成两道选择题。
（1）共有30个间隔，两端都挂，一共有（ ）个灯笼。
A.29 B.30 C.31 D.都有可能
（2）工人从工厂出发4000米的路上设置电线杆，每200米设置一根，一共设置（ ）根电线杆。
A.19 B.20 C.21 D.都有可能
2. 学生交流反馈：第一题属于两端都种，这道题树变成了——灯笼，点数比段数多1。
第二题发现关键信息“从工厂出发”明确属于只种一端的情况，所以点数＝段数。
（三）变式提高、感悟模型
1. 木工要把20米的木头每5米锯成一段，锯一段要3分钟，一共需要几分钟？
2.请对的学生做小老师去教学错误的学生。
3. 随机采访一位原先做错但经过小老师讲解已经明白的学生，让他进行讲解。
4. 变式题：木工要把35米的木头每7米锯成一段，每锯一段要3分钟，一共需要几分钟？
5. 这两道题目一样吗？数学题目很多时候只是穿上了不同的外衣，但是它里面的道理和方法都是一样的！
6. 小结：生活中像这样的植树问题有很多。我们要透过现象看本质，想这样需要考虑点数和段数之间对应关系的问题都属于植树问题。
［设计意图］整个练习环节，有效借助信息化的智慧教育手段，实时把握学生动态，真正的做到了精准教学，从“帮扶”到“放手”，从“师生”到“生生”，真正的关注每一个学生的发展，真正的让课堂变成学生自学、互学的平台。
四、全课小结、感悟模型
1.同学们，今天这节植树问题，你最大的收获是什么？学植树问题，是为了种树吗？那是为了什么？
2. 种树是假,掌握植树问题背后的数学思考、数学方法、数学思想才是这节课的目的。只要你们有一双数学的眼睛，就会发现生活中有很多植树的问题！
［设计意图：最后让学生畅谈收获，感悟数学知识的内部关联，进一步激发探究数学的乐趣。］
教材解读
本节课是五年级“数学广角”的内容，是数学中一类很经典的问题。教材编排了三个例题，例1是小路种树（两端都栽），例2是两端都不栽，例3是圆形池塘周围栽树，其本质是只种一端。可以看出围绕植树问题的三种模型，教材采取的是小步子教学，3种类型3个课时，这样的编排有利于学生在单位时间里迅速、牢固的掌握某一种模型中棵树与段数之间的关系，而且难度逐步提升，符合知识的逻辑序。植树问题看似复杂，但究其本质都是除法包含除“一个数里面有几个几”的问题延伸，对此，我对教材进行结构化的整合，将例1和例2进行整合教学，通过把“点数与段数”的关系作为一种模型加以呈现，引导学生建构三种不同的数量关系，感受知识的生长，形成结构化的认识。
学情分析
对教学的班级43名学生进行了前测。四道前测题，包括有教材的例题1、例2、例3的改编题，涵盖了植树问题的三种模型，并进行数据分析，借助sl理论分析可得：学生整体上处于水平1和水平2的阶段，可见学生对于植树问题是有着一定的经验和基础的。但分析学生的错误算式发现，很多学生不管题目变化一律采取“段数＋1”的方法解决，存在盲目的公式套用，此外，学生信息读取、分析问题的能力的能力也有待加强，看到两端种加＋2，两端不种就－2等。
教学目标与重难点
教学目标：
1. 经历观察、猜测、对比、推理、归纳等活动，基于“点与段”的理解建立“植树问题”与除法“包含除”问题的联系。
2. 借助实物图、线段图等多元表征的方式，沟通图、算式和意义的三维联系,借助一一对应的思想建立并体会“植树问题”的模型内涵,感悟“化归”、“数形结合”等数学思想。
3. 在真实情境中应用“植树问题”模型来解决实际问题，提高解决问题的能力，发展推理意识和应用意识。
教学重点：分析植树问题三种类型中点与段的关系，建立模型
教学难点：正确运用植树问题的模型解决实际问题
教学过程
一、温故引新、引发思考
（一）复习旧知
1. 学校要进行跳大绳比赛，一根20米的长绳，每5米分1段，可以分几段？
2. 你们是怎么算的呢？为什么用除法解决？
3. 这道题其实是求20里面有几个5，二年级我们学过像这样的平均分问题要用除法来解决。
（二）引发思考
1. 20米的路，每隔5米栽一棵树，一共要栽多少棵树？
2. 学生画出示意图，要求简单清楚，再列式计算。
【设计意图】基于学生已有的用除法解决问题的经验设计了2个平均分的问题,让植树问题回归除法意义的本源,帮助学生初步感受植树问题和用除法解决问题之间的关联,关注知识之间的纵向联系,为后续建立模型做好铺垫。
二、精准教学、感悟模型
（一）两端都种
1. 学生介绍两端都种的植树情况，学生根据汇报进行提问。
2. 问题1:这道题为什么也用除法？
问题2:20÷5=4,4表示什么?
问题3:4表示4个间隔,4个间隔加上1后,为什么会变成5棵树呢?
3. 1个间隔，就对应着后面的这1棵树。间隔和树是一一对应的，所以4+1里的4已经是和4个间隔一一对应的4棵树。你找到加上的这一棵树在哪里吗？
4.仔细看，这两道题，有什么相同点和不同点？
相同：都是平均分，图一样，都是4段！
不同点：一个是在求有几段，是段数，一个是在求点数！
5. 小结：当两端都种的时候，棵数＝段数＋1。
（二）一端不种
1. 有些方案是4棵树，想一想他是怎么种的？生活中什么情况会这样种树呢？
2. 这时候算式怎么列呢？（出示算式：20÷5=4）这个4代表什么？
3. 小结：当只种一端的时候，树和段刚好一一对应，棵数＝段数。
（三）两段都不种
1. 那3棵树是什么情况呢？生活中有没有这样的可能呢？
2. 这时候棵树和段数有什么关系呢？这个—1对应图中的哪里呢？
3. 小结：当两端都不种的时候，棵数＝段数－1。
（四）建立模型
1．看来这个问题存在三种不同的情况，仔细看，这三种情况下什么变了，什么始终不变？
2．如果数量变多呢？这个关系还成立吗？你发现了什么？
（1）当两端都种时,段数+1=点数；点比一一对应多1。如果用a代表总长度，b代表每一段的间隔长度，n代表点数，你会算点数吗？
（2）当两端都不种时,段数-1=点数;
（3）当只种一端时,段数=点数。
3. 小结：无论是哪一种情况，关键要先求出段数，根据实际情况再来对点数进行调整。
4.同学们你觉得植树问题是新知识还是旧知识？原来我们之前学的平均分成多少份是在求段数！而今天学的植树问题是在求点数！
【设计意图】这个环节其实整合了教材的2个例题，教材的编排步调比较小，将植树问题分为“两端都要栽”“一端栽、一端不栽”“两端都不栽”“封闭图形情况”“方阵问题”几个层次,编排多个例题，看似不同，但其中蕴含的棵数和段数之间的一一对应关系本质是不变的,所运用的探究方法也是不变的。对此本课将线段型植树问题的三种情况整合到一节课进行教学,紧紧围绕“点与段”之间的关系展开，每一个模型的建立都围绕一个核心问题，每一个核心问题都驱动学生深度思考,核心素养也在解决问题的过程中得以生长。
三、练习巩固、运用模型
（一）寻找生活中的植树问题
1. 同学们，现在你们觉得你们学会植树问题了吗？植树问题是不是植树的问题呢？植树问题有没有不植树的问题呢？
2.想一想生活中哪些问题也属于植树问题？
3.出示排队、楼层、路灯等图片，学生说出对应的“点”是什么，“段”是什么。
（二）对比练习、突破难点
1.学生独立思考，完成两道选择题。
（1）共有30个间隔，两端都挂，一共有（ ）个灯笼。
A.29 B.30 C.31 D.都有可能
（2）工人从工厂出发4000米的路上设置电线杆，每200米设置一根，一共设置（ ）根电线杆。
A.19 B.20 C.21 D.都有可能
2. 学生交流反馈：第一题属于两端都种，这道题树变成了——灯笼，点数比段数多1。
第二题发现关键信息“从工厂出发”明确属于只种一端的情况，所以点数＝段数。
（三）变式提高、感悟模型
1. 木工要把20米的木头每5米锯成一段，锯一段要3分钟，一共需要几分钟？
2.请对的学生做小老师去教学错误的学生。
3. 随机采访一位原先做错但经过小老师讲解已经明白的学生，让他进行讲解。
4. 变式题：木工要把35米的木头每7米锯成一段，每锯一段要3分钟，一共需要几分钟？
5. 这两道题目一样吗？数学题目很多时候只是穿上了不同的外衣，但是它里面的道理和方法都是一样的！
6. 小结：生活中像这样的植树问题有很多。我们要透过现象看本质，想这样需要考虑点数和段数之间对应关系的问题都属于植树问题。
［设计意图］整个练习环节，有效借助信息化的智慧教育手段，实时把握学生动态，真正的做到了精准教学，从“帮扶”到“放手”，从“师生”到“生生”，真正的关注每一个学生的发展，真正的让课堂变成学生自学、互学的平台。
四、全课小结、感悟模型
1.同学们，今天这节植树问题，你最大的收获是什么？学植树问题，是为了种树吗？那是为了什么？
2. 种树是假,掌握植树问题背后的数学思考、数学方法、数学思想才是这节课的目的。只要你们有一双数学的眼睛，就会发现生活中有很多植树的问题！
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